Energía de enlace gravitacional

Energía mínima para sacar un sistema de un estado gravitacionalmente ligado

Los cúmulos de galaxias son las estructuras gravitacionalmente ligadas más grandes conocidas en el universo. ^[1]

La energía de enlace gravitacional de un sistema es la energía mínima que se le debe agregar para que el sistema deje de estar en un estado de enlace gravitacional . Un sistema de enlace gravitacional tiene una energía potencial gravitacional menor ( es decir , más negativa) que la suma de las energías de sus partes cuando estas están completamente separadas; esto es lo que mantiene al sistema agregado de acuerdo con el principio de energía potencial total mínima .

La energía de enlace gravitacional puede ser conceptualmente diferente dentro de las teorías de la gravedad newtoniana y la teoría de la gravedad de Albert Einstein llamada Relatividad General . En la gravedad newtoniana, la energía de enlace puede considerarse como la suma lineal de las interacciones entre todos los pares de componentes microscópicos del sistema, mientras que en la Relatividad General, esto solo es aproximadamente cierto si los campos gravitacionales son todos débiles. Cuando hay campos más fuertes presentes dentro de un sistema, la energía de enlace es una propiedad no lineal de todo el sistema y no puede atribuirse conceptualmente entre los elementos del sistema. En este caso, la energía de enlace puede considerarse como la diferencia (negativa) entre la masa ADM del sistema, tal como se manifiesta en su interacción gravitacional con otros sistemas distantes, y la suma de las energías de todos los átomos y otras partículas elementales del sistema si se desmonta.

Para un cuerpo esférico de densidad uniforme , la energía de enlace gravitacional U está dada en la gravedad newtoniana por la fórmula ^{[2] [3]} donde G es la constante gravitacional , M es la masa de la esfera y R es su radio. $${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$$

Suponiendo que la Tierra es una esfera de densidad uniforme (que no lo es, pero está lo suficientemente cerca como para obtener una estimación del orden de magnitud ) con M =5,97 × 10 ²⁴  kg y r =6,37 × 10 ⁶  m , entonces U =2,24 × 10 ³²  J. Esto equivale aproximadamente a una semana de la producción total de energía del Sol .37,5 MJ/kg , 60% del valor absoluto de la energía potencial por kilogramo en la superficie.

La dependencia real de la profundidad de la densidad, inferida a partir de los tiempos de viaje sísmico (ver ecuación de Adams-Williamson ), se da en el Modelo Preliminar de Referencia de la Tierra (PREM). ^[4] Usando esto, la energía de enlace gravitacional real de la Tierra se puede calcular numéricamente como U =2,49 × 10 ³²  J .

Según el teorema virial , la energía de enlace gravitacional de una estrella es aproximadamente dos veces su energía térmica interna para mantener el equilibrio hidrostático . ^[2] A medida que el gas en una estrella se vuelve más relativista , la energía de enlace gravitacional requerida para el equilibrio hidrostático se acerca a cero y la estrella se vuelve inestable (muy sensible a las perturbaciones), lo que puede conducir a una supernova en el caso de una estrella de alta masa debido a la fuerte presión de radiación o a un agujero negro en el caso de una estrella de neutrones .

Derivación dentro de la gravedad newtoniana para una esfera uniforme

La energía de enlace gravitacional de una esfera con radio se obtiene imaginando que se separa moviendo sucesivamente capas esféricas hasta el infinito, la más externa primero, y encontrando la energía total necesaria para eso. ${\displaystyle R}$

Suponiendo una densidad constante , las masas de una cáscara y la esfera dentro de ella son: y ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle m_{\mathrm {shell} }=4\pi r^{2}\rho \,dr}$$ $${\displaystyle m_{\mathrm {interior} }={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho }$$

La energía requerida para una capa es el negativo de la energía potencial gravitacional: $${\displaystyle dU=-G{\frac {m_{\mathrm {shell} }m_{\mathrm {interior} }}{r}}}$$

Integrando todas las capas obtenemos: $${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {\left(4\pi r^{2}\rho \right)\left({\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \right)}{r}}dr=-G{\frac {16}{3}}\pi ^{2}\rho ^{2}\int _{0}^{R}{r^{4}}dr=-G{\frac {16}{15}}{\pi }^{2}{\rho }^{2}R^{5}}$$

Dado que es simplemente igual a la masa del conjunto dividida por su volumen para objetos con densidad uniforme, por lo tanto ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}}$$

Y finalmente, al conectar esto a nuestro resultado obtenemos: $${\displaystyle U=-G{\frac {16}{15}}\pi ^{2}R^{5}\left({\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)^{2}=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$$

Energía de enlace gravitacional

${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$

Componente de masa negativo

Dos cuerpos, situados a una distancia R entre sí y que no se mueven mutuamente, ejercen una fuerza gravitatoria sobre un tercer cuerpo ligeramente más pequeño cuando R es pequeño. Esto puede verse como un componente de masa negativo del sistema, igual, para soluciones uniformemente esféricas, a: $${\displaystyle M_{\mathrm {binding} }=-{\frac {3GM^{2}}{5Rc^{2}}}}$$

Por ejemplo, el hecho de que la Tierra sea una esfera gravitacionalmente ligada de su tamaño actual cuesta 2,494 21 × 10 ¹⁵  kg de masa (aproximadamente una cuarta parte de la masa de Fobos ; véase más arriba el mismo valor en julios ), y si sus átomos estuvieran dispersos en un volumen arbitrariamente grande, la Tierra pesaría su masa actual más2,494 21 × 10 ¹⁵  kg kilogramos (y su atracción gravitatoria sobre un tercer cuerpo sería en consecuencia mayor).

Se puede demostrar fácilmente que este componente negativo nunca puede superar al componente positivo de un sistema. Una energía de enlace negativa mayor que la masa del propio sistema requeriría, de hecho, que el radio del sistema fuera menor que: que es menor que su radio de Schwarzschild : y, por lo tanto, nunca visible para un observador externo. Sin embargo, esto es solo una aproximación newtoniana y en condiciones relativistas también deben tenerse en cuenta otros factores. ^[5] $${\displaystyle R\leq {\frac {3GM}{5c^{2}}}}$$ ${\textstyle {\frac {3}{10}}}$ $${\displaystyle R\leq {\frac {3}{10}}r_{\mathrm {s} }}$$

Esferas no uniformes

Los planetas y las estrellas tienen gradientes de densidad radiales desde sus superficies de menor densidad hasta sus núcleos comprimidos, mucho más densos. Los objetos de materia degenerada (enanas blancas, púlsares de estrellas de neutrones) tienen gradientes de densidad radial más correcciones relativistas.

Las ecuaciones de estado relativistas de las estrellas de neutrones incluyen un gráfico de radio vs. masa para varios modelos. ^[6] Los radios más probables para una masa de estrella de neutrones dada están delimitados por los modelos AP4 (radio más pequeño) y MS2 (radio más grande). BE es la relación entre la masa de energía de enlace gravitacional equivalente y la masa gravitacional de la estrella de neutrones observada de M con radio R , $${\displaystyle BE={\frac {0.60\,\beta }{1-{\frac {\beta }{2}}}}}$$ $${\displaystyle \beta ={\frac {GM}{Rc^{2}}}.}$$

Dados los valores actuales

• ${\displaystyle G=6.6743\times 10^{-11}\,\mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}} }$^[7]
• ${\displaystyle c^{2}=8.98755\times 10^{16}\,\mathrm {m^{2}\cdot s^{-2}} }$
• ${\displaystyle M_{\odot }=1.98844\times 10^{30}\,\mathrm {kg} }$

y la masa estelar M expresada en relación con la masa solar, $${\displaystyle M_{x}={\frac {M}{M_{\odot }}},}$$

Entonces la energía de enlace fraccionaria relativista de una estrella de neutrones es

$${\displaystyle BE={\frac {885.975\,M_{x}}{R-738.313\,M_{x}}}}$$

Véase también

• Tensor de estrés-energía
• Pseudotensor de tensión-energía-momento
• Efecto Nordtvedt

Referencias

1. "Spot the cluster" (Encuentra el cúmulo). www.eso.org . Consultado el 31 de julio de 2017 .
2. Chandrasekhar, S. 1939, An Introduction to the Study of Stellar Structure (Chicago: U. of Chicago; reimpreso en Nueva York: Dover), sección 9, ecuaciones 90-92, pág. 51 (edición de Dover)
3. Lang, KR 1980, Fórmulas astrofísicas (Berlín: Springer Verlag), pág. 272
4. Dziewonski, AM ; Anderson, DL (1981). "Modelo preliminar de referencia de la Tierra". Física de la Tierra y los interiores planetarios . 25 (4): 297–356. Bibcode :1981PEPI...25..297D. doi :10.1016/0031-9201(81)90046-7.
5. Katz, Joseph; Lynden-Bell, Donald; Bičák, Jiří (27 de octubre de 2006). "Energía gravitacional en espaciotiempos estacionarios". Gravedad clásica y cuántica . 23 (23): 7111–7128. arXiv : gr-qc/0610052 . Código Bibliográfico :2006CQGra..23.7111K. doi :10.1088/0264-9381/23/23/030. S2CID  1375765.
6. Masas y radios de estrellas de neutrones Archivado el 17 de diciembre de 2011 en Wayback Machine , p. 9/20, parte inferior
7. "Valor CODATA 2022: constante de gravitación newtoniana". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .