Lituus (matemáticas)

Espiral

Rama para r positivo

La espiral de lituus ( / ˈ l ɪ tj u . ə s / ) es una espiral en la que el ángulo θ es inversamente proporcional al cuadrado del radio r .

Esta espiral, que tiene dos ramas según el signo de r , es asintótica respecto al eje x . Sus puntos de inflexión están en

${\displaystyle (\theta ,r)=\left({\tfrac {1}{2}},\pm {\sqrt {2k}}\right).}$

La curva recibió el nombre del antiguo lituus romano por Roger Cotes en una colección de artículos titulada Harmonia Mensurarum (1722), que se publicó seis años después de su muerte.

Representaciones de coordenadas

Coordenadas polares

Las representaciones de la espiral lituus en coordenadas polares ( r , θ ) vienen dadas por la ecuación

${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}},}$

donde θ ≥ 0 y k ≠ 0 .

Coordenadas cartesianas

La espiral de lituus con las coordenadas polares r = ⁠a/√θ​⁠ se puede convertir a coordenadas cartesianas como cualquier otra espiral con las relaciones x = r cos θ e y = r sen θ . Con esta conversión obtenemos las representaciones paramétricas de la curva:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta ,\\y&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta .\\\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones pueden a su vez reorganizarse en una ecuación en x e y :

${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

Derivación de la ecuación en coordenadas cartesianas

1. Dividir por : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {{\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta }{{\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta }}\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \theta .}$
2. Resuelve la ecuación de la espiral de lituus en coordenadas polares: ${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\Leftrightarrow \theta ={\frac {a^{2}}{r^{2}}}.}$
3. Sustituto : ${\displaystyle \theta ={\frac {a^{2}}{r^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right).}$
4. Sustituto : ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}}}\right)\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

Propiedades geométricas

Curvatura

La curvatura de la espiral lituus se puede determinar utilizando la fórmula ^[1]

${\displaystyle \kappa =\left(8\theta ^{2}-2\right)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}.}$

Longitud del arco

En general, la longitud del arco de la espiral de Lituano no se puede expresar como una expresión de forma cerrada , pero la longitud del arco de la espiral de Lituano se puede representar como una fórmula utilizando la función hipergeométrica gaussiana :

${\displaystyle L=2{\sqrt {\theta }}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta ^{2}}}\right)-2{\sqrt {\theta _{0}}}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta _{0}^{2}}}\right),}$

donde la longitud del arco se mide desde θ = θ ₀ . ^[1]

Angulo tangencial

El ángulo tangencial de la espiral lituus se puede determinar utilizando la fórmula ^[1]

${\displaystyle \phi =\theta -\arctan 2\theta .}$

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Lituus". MundoMatemático . Consultado el 4 de febrero de 2023 .

Enlaces externos

• "Lituus", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Lituus". MundoMatemático .
• Ejemplo interactivo usando JSXGraph.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Lituus", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
• https://hsm.stackexchange.com/a/3181 sobre la historia de la curva lituus.