Espectro de potencia de la materia

Espectro de potencia de la materia inferido a partir de varias sondas cosmológicas.

El espectro de potencia de la materia describe el contraste de densidad del universo (la diferencia entre la densidad local y la densidad media) como una función de escala. Es la transformada de Fourier de la función de correlación de la materia . A gran escala, la gravedad compite con la expansión cósmica y las estructuras crecen de acuerdo con la teoría lineal . En este régimen, el campo de contraste de densidad es gaussiano, los modos de Fourier evolucionan de forma independiente y el espectro de potencia es suficiente para describir completamente el campo de densidad. A pequeña escala, el colapso gravitacional no es lineal y solo se puede calcular con precisión utilizando simulaciones de N cuerpos . Se necesitan estadísticas de orden superior para describir el campo completo a pequeña escala.

Definición

Sea la sobredensidad de materia, una cantidad adimensional definida como: donde es la densidad media de materia en todo el espacio. ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )-{\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}},}$$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$

El espectro de potencia se entiende más comúnmente como la transformada de Fourier de la función de autocorrelación , , definida matemáticamente como: para . Esto determina entonces la relación fácilmente derivada con el espectro de potencia, , es decir ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle \xi (r)=\langle \delta (\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} ')\rangle ={\frac {1}{V}}\int d^{3}\mathbf {x} \,\delta (\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {r} ),}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x} '}$ ${\displaystyle P(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \xi (r)=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}P(k)e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}.}$

De manera equivalente, dejando como denotación la transformada de Fourier de la sobredensidad , el espectro de potencia viene dado por el siguiente promedio sobre el espacio de Fourier: ^[1] ${\displaystyle {\tilde {\delta }}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle \langle {\tilde {\delta }}(\mathbf {k} ){\tilde {\delta }}^{*}(\mathbf {k} ')\rangle =(2\pi )^{3}P(k)\delta ^{3}(\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$$

(tenga en cuenta que no se trata de una sobredensidad sino de la función delta de Dirac ). ${\displaystyle \delta ^{3}}$

Dado que tiene dimensiones de (longitud) ³ , el espectro de potencia a veces también se da en términos de la función adimensional: ^[1] ${\displaystyle P(k)}$ $${\displaystyle \Delta ^{2}(k)={\frac {k^{3}P(k)}{2\pi ^{2}}}.}$$

Desarrollo según expansión gravitacional

Si la función de autocorrelación describe la probabilidad de que una galaxia esté a cierta distancia de otra galaxia, el espectro de potencia de la materia descompone esta probabilidad en longitudes características, y su amplitud describe el grado en que cada longitud característica contribuye a la sobreprobabilidad total. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k\approx 2\pi /L}$

La forma general del espectro de potencia de la materia se entiende mejor en términos del análisis de la teoría de perturbación lineal del crecimiento de la estructura, que predice en primer orden que el espectro de potencia crece de acuerdo con:

$${\displaystyle P(\mathbf {k} ,t)=D_{+}^{2}(t)P(\mathbf {k} ,t_{0})=D_{+}^{2}(t)P_{0}(\mathbf {k} )}$$

¿Dónde está el factor de crecimiento lineal en la densidad, es decir, de primer orden , y se lo conoce comúnmente como espectro de potencia de la materia primordial ? Determinar el primordial es una cuestión relacionada con la física de la inflación. ${\displaystyle D_{+}(t)}$ ${\displaystyle \delta (r,t)=D_{+}(t)\delta _{0}(r)}$ ${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )}$

El más simple es el espectro de Harrison-Zeldovich (llamado así por Edward R. Harrison y Yakov Zeldovich ), ^{[2] [3]} que caracteriza según una ley de potencia, . Los espectros primordiales más avanzados incluyen el uso de una función de transferencia que media la transición del universo dominado por la radiación a un universo dominado por la materia. ${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle P_{0}(\mathbf {k} )=Ak}$

La forma amplia del espectro de potencia de la materia está determinada por el crecimiento de la estructura a gran escala , con el recambio (el punto donde el espectro pasa de aumentar con k a disminuir con k ) en , correspondiente a (donde h es la constante de Hubble adimensional ). ^[4] El número de onda co-móvil correspondiente a la potencia máxima en el espectro de potencia de masa está determinado por el tamaño del horizonte de partículas cósmicas en el momento de la igualdad materia-radiación, y por lo tanto depende de la densidad media de materia y en menor medida del número de familias de neutrinos ( ), , para . El en k menor (equivalentemente, escalas mayores) corresponde a escalas que eran mayores que el horizonte de partículas en el momento de la transición del régimen de predominio de la radiación al de predominio de la materia. ^{[5] [6]} En orden lineal en perturbaciones , la forma amplia del espectro de potencia sigue ${\displaystyle k_{eq}\approx 2\times 10^{-2}~h~{\text{Mpc}}^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{eq}=350~h^{-1}~{\text{Mpc}}}$ ${\displaystyle N\geq 3}$ ${\displaystyle k_{\text{eq}}=(2\Omega _{M}H_{0}^{2}z_{\text{eq}}/c^{2})=7.3\times 10^{-2}\Omega _{M}h^{2}{\text{Mpc}}^{-1}}$ ${\displaystyle T_{\text{cmb}}=2.728~\mathrm {K} }$ ${\displaystyle P_{0}(k)}$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle P({\bf {k,t)\propto {\begin{cases}k^{n_{s}}&k\ll k_{eq}\\k^{n_{s}-1}&k\gg k_{eq}\end{cases}}~,}}}$$

donde es el índice espectral escalar. ^[7] ${\displaystyle n_{s}\simeq 1}$

Referencias

1. Dodelson, Scott; Schmidt, Fabian (2020). Cosmología moderna - 2.ª edición . Academic Press. ISBN 978-0128159491.
2. Harrison, E. (1970). "Fluctuaciones en el umbral de la cosmología clásica". Physical Review . D1 (10): 2726–2730. Bibcode :1970PhRvD...1.2726H. doi :10.1103/PhysRevD.1.2726.
3. Zeldovich, Y. (1972). "Una hipótesis que unifica la estructura y la entropía del universo". MNRAS . 160 : 1P-3P. doi : 10.1093/mnras/160.1.1P .
4. Michael, Norman (2010). "Simulación de cúmulos de galaxias, 2. MARCO COSMOLÓGICO Y CRECIMIENTO DE PERTURBACIONES EN EL RÉGIMEN LINEAL".
5. Hu, Wayne; Sugiyama, Naoshi; Silk, Joseph (1997). "La física de las anisotropías del fondo de microondas". Nature . 386 (6620). Springer Science and Business Media LLC: 37–43. arXiv : astro-ph/9604166 . doi :10.1038/386037a0. ISSN  0028-0836.
6. Eisenstein, Daniel (1998). "Características bariónicas en la función de transferencia de materia". The Astrophysical Journal . 496 (2): 605. arXiv : astro-ph/9709112 . Código Bibliográfico :1998ApJ...496..605E. doi :10.1086/305424. S2CID  6505927.
7. Huterer, Dragan (2023). Un curso de cosmología: de la teoría a la práctica . Cambridge, Reino Unido Nueva York, NY, EE. UU.: Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-51359-0.

• Dodelson, Scott (2003). Cosmología moderna . Academic Press. ISBN 978-0-12-219141-1.
• Theuns, Cosmología Física
• Michael L. Norman, Simulación de cúmulos de galaxias