Espectro de chirrido

El espectro de un pulso de chirrido describe sus características en términos de sus componentes de frecuencia. Esta representación en el dominio de la frecuencia es una alternativa a la forma de onda en el dominio del tiempo, más conocida, y las dos versiones están relacionadas matemáticamente mediante la transformada de Fourier . El espectro es de particular interés cuando los pulsos están sujetos a procesamiento de señales . Por ejemplo, cuando un pulso de chirrido es comprimido por su filtro adaptado , la forma de onda resultante contiene no solo un pulso estrecho principal sino también una variedad de artefactos no deseados, muchos de los cuales son directamente atribuibles a características espectrales del chirrido.

Una forma sencilla de obtener el espectro de un chirrido mediante una computadora es tomar una muestra de la forma de onda del dominio temporal a una frecuencia muy superior al límite de Nyquist y utilizar un algoritmo FFT para obtener el resultado deseado. Como este enfoque no era una opción para los primeros diseñadores, recurrieron al análisis analítico o a métodos gráficos o de aproximación. Sin embargo, estos primeros métodos siguen siendo útiles, ya que brindan información adicional sobre el comportamiento y las propiedades de los chirridos.

Pulso de chirrido

Una expresión general para una forma de onda oscilatoria, centrada en la frecuencia $ω 0$ es

$s(t)=a(t)\cdot \exp[j(\omega _{0}\cdot t+\theta (t))]$

donde y $θ$ (t) dan las variaciones de amplitud y fase de la forma de onda , con el tiempo. El espectro de frecuencia de esta forma de onda se obtiene calculando la Transformada de Fourier de , es decir $a(t)$ $s$
$s(t)$

$S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot \exp(-j\omega t)\cdot dt=\int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[j(\omega _{0}t+\theta (t))]\cdot \exp(-j\omega t)\cdot dt$
entonces
$S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[j\left\{(\omega _{0}-\omega )\cdot t+\theta (t)\right\}]\cdot dt$

En algunos casos especiales, la integral se puede resolver para obtener una expresión analítica , pero a menudo las características de y $θ$ (t) son tales que la integral solo se puede evaluar mediante un algoritmo de aproximación o mediante integración numérica . $a(t)$

Chirrido lineal

En el caso especial en que s(t) está restringido a ser un pulso ascendente, de punta plana, con su frecuencia instantánea variando como una función lineal del tiempo, entonces es posible una solución analítica.

Por conveniencia, se considera que el pulso tiene una amplitud unitaria y una duración T, con la amplitud y la fase definidas en el intervalo de tiempo -T/2 a +T/2. El barrido de frecuencia total es $Δ$ F, que varía de manera lineal desde - $Δ$ F/2 a + $Δ$ F/2 en el intervalo de tiempo definido.

Cuando la frecuencia es una función lineal del tiempo, la fase es una función cuadrática y s(t) se puede escribir

s(t)=1\cdot \exp[j(\Delta \Omega \cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2})]\qquad {\text{where}}\quad \Delta \Omega =2\pi \cdot \Delta F\qquad {\text{and}}\quad {\frac {-T}{2}}<t<{\frac {T}{2}}

El espectro de esta señal FM lineal es

S(\omega )=\int _{-T/2}^{T/2}\exp \left[j(\Delta \Omega \cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2})\right]\cdot \exp(-j\omega \cdot t)\cdot dt=\int _{-T/2}^{T/2}\exp \left[j\left\{(\Delta \Omega -\omega )\cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2}\right\}\right]\cdot dt

Completando el cuadrado y utilizando las integrales de Fresnel C(X) y S(X), ^[1]^{: 35}^[2]^{: 300} definido por

C(X)=\int _{0}^{X}\cos {\frac {\pi \cdot y^{2}}{2}}\cdot dy\qquad {\text{and}}\qquad S(X)=\int _{0}^{X}\sin {\frac {\pi \cdot y^{2}}{2}}\cdot dy

La expresión se puede evaluar ^[3]^[4]^[5]^[6]^{: 138}^[7] para dar:

S(\omega )={\sqrt {\left({\frac {\pi \cdot T}{\Delta \Omega }}\right)}}\cdot \exp \left[-j\left((\omega -\Delta \Omega )^{2}\cdot {\frac {T}{2\cdot \Delta \Omega }}\right)\right]\cdot [C(X_{1})+j\cdot S(X_{1})+C(X_{2})+j\cdot S(X_{2})]

donde y están dados por $X_{1}$ $X_{2}$

\quad X_{1}={\frac {{\frac {\Delta \Omega }{2}}+(\omega -\Delta \Omega )}{\sqrt {\frac {\pi \cdot \Delta \Omega }{T}}}}\quad {\text{and}}\quad X_{2}={\frac {{\frac {\Delta \Omega }{2}}+(\Delta \Omega -\omega )}{\sqrt {\frac {\pi \cdot \Delta \Omega }{T}}}}

Se puede considerar que el espectro FM lineal tiene tres componentes principales, a saber:

un término de amplitud, $|S(\omega )|={\sqrt {\frac {\pi \cdot T}{\Delta \Omega }}}\cdot \left[\left(C(X_{1})+C(X_{2})\right)^{2}+\left(S(X_{1})+S(X_{2})\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}$
un término de fase de la ley cuadrada, $\quad -\Phi _{1}(\omega )=(\omega -\Delta \Omega )^{2}\cdot {\frac {T}{2\cdot \Delta \Omega }}$
y un término de fase residual $\quad \Phi _{2}(\omega )=\arctan \left[{\frac {S(X_{1})+S(X_{2})}{C(X_{1})+C(X_{2})}}\right]$

La relación es aproximadamente la unidad en una gran parte del rango de frecuencia de interés, por lo que $Φ$ $2$ se aproxima a un ángulo de fase constante $π$ /4. Si se introduce un término de escala de frecuencia n, donde , entonces las expresiones para los argumentos de Fresnel se convierten en $\left[{\frac {S(X_{1})+S(X_{2})}{C(X_{1})+C(X_{2})}}\right]$ $n=2\cdot {\frac {(\omega -\omega _{0})}{\Delta \Omega }}$

X_{1}={\frac {\sqrt {T\cdot \Delta F}}{\sqrt {2}}}\cdot (1+n)

X_{2}={\frac {\sqrt {T\cdot \Delta F}}{\sqrt {2}}}\cdot (1-n)

Los espectros son ahora funciones del producto T. $Δ$ F, independientemente de cualquier valor particular de la frecuencia central y el ancho de banda. Este producto, T. $Δ$ F, se suele denominar el producto del tiempo por el ancho de banda del chirrido.

Se han publicado tablas de las integrales de Fresnel, ^[1]^{: 32–35}^[2]^{: 321–322} junto con rutinas matemáticas con las que calcular las integrales manualmente o por medio de un programa informático. Además, varios programas de software matemático, como Mathcad , MATLAB y Mathematica, tienen rutinas integradas para evaluar las integrales, ya sea como funciones estándar o en paquetes de extensión.

Se muestran algunos gráficos del espectro de potencia |S( $ω$ )| ² en función de la frecuencia, para productos de ancho de banda de tiempo de 25, 100, 250 y 1000. Cuando el producto es pequeño, las ondulaciones de Fresnel son muy evidentes, pero el espectro tiende a un perfil más rectangular para valores mayores.

En el caso de los gráficos de fase residual, $Φ$ 2( $ω$ ), los perfiles tienden a ser muy similares en un amplio rango de productos de ancho de banda de tiempo. A continuación se muestran dos ejemplos, para TxB = 100 y 250. Tienen un ángulo de fase cercano a un valor de $π$ /4 dentro del rango de chirp y solo comienzan a cambiar significativamente para frecuencias más allá de este rango. $\omega _{0}\pm \Delta \Omega /2$

En consecuencia, para frecuencias dentro del rango de barrido del chirrido, es el término de fase de ley cuadrática $Φ$ 1( $ω$ ) y su función de retardo de grupo ( = -d $Φ$ 1/d( $ω$ ) ) los que son de mayor interés. A continuación se muestra un gráfico del retardo de grupo. Tanto esta función como la fase $Φ$ 1( $ω$ ) son independientes del valor del producto tiempo-ancho de banda. Como se esperaba, el retardo de grupo es una función lineal con una duración T segundos, sobre un barrido de frecuencia de $Δ$ $Ω$ rads.

El término de fase residual agrega solo perturbaciones menores a esta característica dentro del rango de frecuencias . En frecuencias fuera de este rango, $Φ$ 2( $ω$ ) se desvía rápidamente de $π$ /4, y por lo tanto la fase total se desviará seriamente de una ley cuadrática allí. Afortunadamente, el contenido de energía del espectro de chirrido es muy pequeño en estas frecuencias (como se demuestra en una sección posterior). $\Delta \Omega \pm \Delta \Omega /2$

Chirridos no lineales

Cuando la característica Frecuencia-Tiempo no es lineal, la integral de Fourier es difícil de evaluar. En tales casos, es posible recurrir a un método de aproximación como la aproximación de fase estacionaria , o utilizar métodos numéricos.

Mediante el método de fase estacionaria

A menudo (como en las aplicaciones de radar) a(t) es una función de tiempo que varía lentamente y la fase $θ$ (t) es oscilatoria y varía rápidamente en el rango de integración. Con tales formas de onda, la aproximación de fase estacionaria se puede utilizar para investigar el espectro. ^[6]^{: 34}^[8]^[9]^[10] El método se basa en el hecho de que las principales contribuciones a la integral de Fourier provienen de la región donde la tasa de cambio de fase es mínima, es decir, cuando

${\frac {d}{dt}}[(\omega _{0}-\omega )t+\theta (t)]=0\qquad or\qquad (\omega -\omega _{0})-\theta '(t)=0$

A menos que $θ$ (t) sea una constante, el punto en el tiempo t _s en el que la fase es estacionaria variará de acuerdo con la frecuencia instantánea $ω s$ .
Expresando la diferencia entre ( $ω s$ - $ω 0$ ).t y $θ$ (t) como una serie de Taylor alrededor del tiempo t _s , pero descartando todos los términos excepto los tres primeros (de los cuales el segundo término es cero, aquí), la integral de Fourier se puede escribir, aproximadamente, como

$S(\omega )\approxeq a(t_{s})\int _{t_{s}-\delta }^{t_{s}+\delta }\exp \left[-j\left\{(\omega _{s}-\omega _{0})\cdot t-\theta (t_{s})-{\frac {\theta ''(t_{s})}{2}}\cdot (t-t_{s})^{2}\right\}\right]\cdot dt$

En esta ecuación, t _s representa un punto de tiempo constante, por lo que los términos que dependen únicamente de t _s pueden tomarse fuera de la integral. La expresión se simplifica a ^[6]^{: 39}^[10] , por lo que
$S(\omega )\approxeq {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {a(t_{s})}{\sqrt {|\theta ''(t)|}}}\cdot \exp \left[j\left\{(\omega _{0}-\omega _{s})t+\theta (t_{s})+{\frac {\pi }{4}}\right\}\right]$

$|S(\omega _{t})|^{2}\approxeq 2\pi \cdot {\frac {a^{2}(t)}{|\theta ''(t)|}}$

donde $ω t$ se utiliza para indicar la dependencia de la variable de frecuencia con respecto a t.
Se trata de una expresión muy útil que vincula el perfil espectral con las características de amplitud y fase del chirrido.

Para llevar a cabo el proceso inverso, es decir, encontrar la función del dominio del tiempo s(t) dados los datos del dominio de la frecuencia, se deriva la transformada de Fourier inversa.

$s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|S(\omega )|\cdot \exp[j(\Phi (\omega )+\omega \cdot t)]\cdot d\omega$

donde $Φ$ (x) es la función de fase del espectro. Los puntos de fase estacionaria para este integrando se encuentran en

$\Phi '(\omega )=-t$

y la relación corolaria, equivalente a la derivada para el espectro, se puede obtener mediante el método de fase estacionaria, y es

$a^{2}(t_{\omega })\approxeq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {|S(\omega )|^{2}}{|\Phi ''(\omega )|}}$

En efecto, el análisis de fase estacionaria proporciona las siguientes relaciones de pares de Fourier (aproximadas): ^[6]^{: 43} y
$a(t)\cdot \exp[j\theta (t)]\approxeq {\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }S(\omega )|\cdot \exp[j\{\Phi (\omega )+\omega \cdot t\}]\cdot d\omega$

$|S(\omega )|\cdot \exp[j\Phi (\omega )]\approxeq \int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[-j\{\omega t-\theta (t)\}]dt$

En consecuencia, se pueden obtener expresiones aproximadas para a(t) y $θ$ (t) cuando se proporciona el espectro, incluida su función de fase $Φ$ ( $ω ) y, de manera similar, se pueden obtener expresiones aproximadas para |S($ $ω$ | y $Φ$ ( $ω$ ) cuando se proporcionan las características de la señal. En la literatura se dan varios ejemplos del procedimiento ^[6]^{: 43}^[8]^[10]

Aunque las relaciones son sólo aproximadas, su precisión mejora a medida que aumenta el producto tiempo-ancho de banda. En los casos en que la envolvente de la señal y el módulo espectral se definen mediante una función gaussiana que varía suavemente, un producto T. $Δ$ F tan bajo como 15 dará resultados aceptables, pero si tanto a(t) como |S( $ω$ )| se definen mediante funciones rectangulares, entonces el producto T. $Δ$ F debe ser mucho mayor, normalmente superior a 100. ^[6]^{: 49}

Ejemplos

Por lo general, en el caso del radar, a(t) es una constante a lo largo de la duración de la señal y, por conveniencia, se supone que aquí es la unidad. Por lo tanto, las características de fase y amplitud, en el dominio de la frecuencia, están relacionadas por

$\Phi ''(\omega )=\pm {\frac {1}{2\pi }}\cdot |S(\omega )|^{2}$

Existen dos soluciones para $Φ$ ( $ω$ ), que son conjugados complejos entre sí. Los dos filtros con estas características se pueden utilizar como filtros transmisor y receptor de un sistema de radar y son intercambiables.
La característica de retardo de grupo D( $ω$ ), (donde D( $ω$ )=-d $Φ$ /d $ω$ ), es

$D(\omega )=-\Phi '(\omega )=-\int _{0}^{\infty }\Phi ''(\omega )\cdot d\omega +K$
entonces
$D(\omega )=\pm {\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{0}^{\infty }|S(\omega )|^{2}\cdot d\omega +K$

Por lo tanto, en el caso de una envolvente temporal rectangular, la característica de retardo dispersivo viene dada por la integral del cuadrado de la envolvente. ^[10] Si se toma el signo positivo, entonces el retardo de grupo aumenta con el aumento de la frecuencia y viceversa. El resultado es solo aproximado, pero es más preciso para valores grandes del producto del ancho de banda temporal.
Consideremos, como ejemplo, el caso de un espectro que es uniforme en el rango - $ω max$ /2 a $ω max$ /2, entonces

$|S(\omega )|^{2}=A\qquad for\qquad |\omega |<{\frac {\omega _{max}}{2}}$
entonces
$D(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int A\cdot d\omega +K={\frac {A}{2\pi }}\cdot \omega +K$

Pongamos D(- $ω max$ /2) = 0 y D( $ω max$ /2) = T, donde T es la duración del pulso, entonces K = T/2 y A = (2 π T)/ ω _max
así que, finalmente
$D(\omega )=T\cdot \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}\right]$

Como era de esperar, un espectro de frecuencia con la parte superior plana corresponde a un barrido de frecuencia lineal.

El chirrido lineal es sólo un caso especial que, en cualquier caso, puede calcularse con mayor precisión mediante los métodos de la sección anterior. La utilidad particular del método de fase estacionaria reside en su capacidad de proporcionar resultados cuando el barrido de frecuencia no es lineal. En tales casos, la respuesta espectral puede moldearse para cumplir con algunos criterios de diseño deseados, por ejemplo, lóbulos laterales bajos cuando se comprime un chirrido. Una de estas familias de funciones espectrales que se ha estudiado ^[6]^{: 51} está dada por

$|S(\omega )|^{2}=A_{n}\cdot cos^{n}\left({\frac {\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\qquad where\qquad |\omega |<{\frac {\omega _{max}}{2}}\qquad and\ n\ is\ an\ integer$

Es posible encontrar las características de retardo de grupo de estas funciones de una manera similar a la realizada anteriormente y se han calculado los resultados para n = 1 a 4. ^[6]^{: 51}
Aunque estas funciones coseno son susceptibles de manipulación matemática, rara vez se las elige para definir las características espectrales de un chirrido, en la práctica, porque cuando se comprimen dan pulsos principales amplios con altos niveles de lóbulo lateral. Una mejor característica (entre muchas) ^[11] es la función de Hamming, dada por

$|S(\omega )|^{2}=A\cdot \left[0.54+0.46\cdot cos\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]=A\cdot \left[0.08+0.92\cdot cos^{2}\left({\frac {\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]$

Se muestra un gráfico de esta característica, trazado en el rango - $ω max$ /2 a $ω max$ /2.

Aplicando las ecuaciones dadas anteriormente, se puede obtener la característica de retardo de grupo que logra esta forma espectral.

$D_{H}(\omega )=T\cdot \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+{\frac {1.7037}{4\pi }}\cdot sin\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]$

Ahora bien, dado que el principio de fase estacionaria muestra que existe una relación directa entre el tiempo transcurrido y el retardo instantáneo de la señal, entonces, para la ventana de Hamming, t/T se puede relacionar con $ω$ / $ω max$ mediante

${\frac {t}{T}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+{\frac {1.7037}{4\pi }}\cdot sin\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)$

Esta característica, que es el tiempo en función de la frecuencia, se muestra aquí. Al invertir el gráfico, se obtiene el gráfico más habitual (y más útil) de la frecuencia en función del tiempo, que también se muestra.

Se pueden investigar otras formas espectrales de la misma manera y los resultados, aunque aproximados, son sorprendentemente precisos, especialmente cuando el producto del ancho de banda del tiempo del pulso es alto.

El método de fase estacionaria no predice ni se ocupa de las ondulaciones de Fresnell, por lo que no puede ofrecer ningún medio por el cual se puedan minimizar estas ondulaciones. Como ejemplo, la figura siguiente muestra un espectro de chirrido con T. $Δ$ F = 250 obtenido para un chirrido no lineal que apunta a coincidir con la ventana de Hamming, utilizando los métodos descritos anteriormente. La figura muestra que el perfil espectral coincide bastante bien con la característica de Hamming, pero las ondulaciones de Fresnell, no predichas por el método, son muy evidentes.

Mediante métodos numéricos

Muestreo

Cuando no es posible evaluar una integral de Fourier por medios analíticos, suele ser posible obtener una solución aproximada mediante análisis numérico . Este procedimiento requiere que se tomen muestras de la función , generalmente a intervalos de tiempo equidistantes.

Una consecuencia del muestreo es que el espectro resultante es periódico en el dominio de la frecuencia. Además del espectro de banda base (deseado), se producen versiones adicionales del espectro, centradas en múltiplos de la frecuencia de muestreo. Para garantizar que no haya superposición de datos de frecuencia (es decir, que no haya aliasing ), se debe cumplir el teorema de muestreo de Nyquist . En la práctica, es aconsejable una frecuencia de muestreo sustancialmente mayor que la dictada por el teorema de muestreo ^[12]^{: 11}

Espectro de una señal muestreada: la transformada de Fourier de una señal de tiempo discreto

Una forma sencilla de aproximar una integral, como una integral de Fourier, es utilizar la " regla del rectángulo " estándar para la integración numérica. El método supone que el valor de la señal tomado en un instante de muestra permanece constante durante un intervalo de muestreo, hasta que se toma la siguiente muestra. Este procedimiento a veces se conoce como un "generador de vagón de caja" o un muestreo y retención de orden cero. ^[13]^{: 114}^[14]^{: 34} Si el intervalo de tiempo entre muestras es W, entonces s _n = s(nW), y la integral deseada se obtiene, aproximadamente, sumando las áreas rectangulares.

El resultado así obtenido es la convolución de un pulso rectangular con tamaño de paso W con los impulsos ubicados en los instantes de muestreo con pesos iguales a los valores de muestra. ^[12]^{: 12} En consecuencia, el espectro de interés tendrá superpuesta la respuesta de frecuencia del muestreo y retención, ^[13]^{: 135}^[14]^{: 36} y el espectro de la señal muestreada Ss está dado por: ^[12]^{: 12}

$Ss(\omega ))=W{\frac {\sin(\omega W/2)}{\omega W/2}}\cdot \left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }s_{n}\cdot \exp(-jn\omega W)\right]$

La primera parte de la expresión, es decir, la parte 'sin(x)/x', es la respuesta de frecuencia del muestreo y retención. Su amplitud disminuye con la frecuencia y cae al 63% de su valor pico en la mitad de la frecuencia de muestreo y es cero en múltiplos de esa frecuencia (ya que f _s = 1/W).

El segundo término de la ecuación se denomina transformada de Fourier de la señal discreta s _n . ^[12]^{: 12}^[15] Es una función continua sobre todos los $ω$ e implica un número infinito de sumas. En la práctica, el proceso de suma se puede truncar a un número finito de muestras, N, posiblemente porque la forma de onda es periódica o cero fuera del rango de muestras. Además, debido a que el mismo espectro se repite infinitamente, es posible limitar el interés a los datos espectrales dentro del rango de - $ω s$ /2 a + $ω s$ /2.

A modo de ejemplo, un chirrido exponencial (con su frecuencia máxima muy por debajo del límite de Nyquist) se muestrea en 256 puntos, como se muestra.

Se muestra el espectro muestreado, Ss( $ω$ ) de esta forma de onda, calculado utilizando la ecuación dada anteriormente. Para simplificar el gráfico, solo se han mostrado los resultados en frecuencias positivas. La influencia del espectro de frecuencia del circuito de retención de orden cero se ve claramente en el diagrama.

La porción de banda base del espectro se muestra con más detalle en la siguiente figura y la respuesta muestra una pendiente clara, siendo significativamente menor en las frecuencias más altas.

Aunque la característica de la retención de orden cero tiene una pequeña influencia en este resultado, la pendiente se debe principalmente a las propiedades del chirrido. La forma de onda barre relativamente rápido las frecuencias altas y pasa más tiempo barriendo las frecuencias bajas, en consecuencia hay menos contenido de energía en las frecuencias altas y más en las bajas. (Un chirrido lineal, por otro lado, tiene un espectro nominalmente plano porque sus frecuencias son barridas a la misma velocidad, como se muestra en algunos gráficos anteriores).

A través de la transformada de Fourier discreta

Si limitamos el interés en el espectro de salida a un número finito de puntos de datos discretos (= N), en frecuencias $ω m$ dadas por
$\omega _{m}={\frac {2\pi m}{NW}}\qquad for\qquad m=0,1,2,...N-1$

Entonces la fórmula para calcular la transformada de Fourier discreta es

$Ss_{m}\quad =Ss\left(j{\frac {2\pi m}{NW}}\right)\quad =\quad \sum _{n=0}^{N-1}s_{n}\cdot exp(-j\left({\frac {2\pi mn}{N}}\right)$

Los cálculos se pueden realizar mediante un algoritmo informático sencillo, ^[12]^{: 21} pero esto no es muy eficiente en el uso informático. En consecuencia, se han desarrollado algoritmos más eficientes, especialmente transformadas rápidas de Fourier (FFT). Los programas informáticos que implementan la FFT están ampliamente disponibles en la literatura ^[12]^{: 54}^[15]^{: 119, 412}^[16] y en programas CAD propietarios como Mathcad , MATLAB y Mathematica .
En el siguiente ejemplo, un chirp lineal con un producto de ancho de banda de tiempo de 25 se muestrea en 128 puntos (es decir, N = 128). En la figura se muestran muestras de la parte real de la forma de onda; tenga en cuenta que estas son muestras en el dominio del tiempo. El proceso FFT supone que la forma de onda es cíclica, por lo que estos 128 puntos de datos pueden considerarse parte de una secuencia que se repite infinitamente en el tiempo.

Chirrido lineal con TB=25 y N=128

Calculando la FFT de N puntos de estos datos, se obtiene el espectro discreto de la secuencia. La magnitud de este espectro se muestra en la figura adjunta, donde estos puntos de datos son muestras en frecuencia. Los datos son cíclicos, por lo que, en el gráfico, el punto de frecuencia cero está en n = 0 y también en n = 128 (es decir, ambos puntos tienen la misma frecuencia). El punto n = 64 corresponde a +fs/2 (y también a -fs/2).

Espectro de chirrido lineal, TB=25, N=128

Para mostrar el espectro con más detalle (pero no necesariamente con más resolución ^[17] ), la secuencia de tiempo se puede extender mediante relleno de ceros. ^[15]^{: 80–85}^[18]^[19] Por ejemplo, extender la secuencia de tiempo de 128 puntos con ceros para dar N = 4096 da como resultado que esa parte del espectro originalmente presentada en 16 muestras, ahora se presente en 512 muestras, como se muestra.

Propagación espectral

Hay muy poco contenido espectral más allá del rango de frecuencia de barrido de un pulso de chirrido y esto es especialmente cierto para formas de onda donde el producto de ancho de banda de tiempo es grande. La línea continua en el gráfico de la figura adyacente muestra resultados para chirridos lineales. Muestra, por ejemplo, que solo alrededor del 2% de la potencia total reside en frecuencias fuera del rango de barrido $Δ$ F cuando el ancho de banda de tiempo es 100, y es menos del 1/2% cuando T. $Δ$ F es 500.
En el caso de un chirrido no lineal, o un chirrido lineal formado por ponderación de amplitud, la fracción de potencia fuera de $Δ$ F es incluso menor, como se muestra en el gráfico, donde la línea discontinua es para espectros con perfiles de Hamming.
Esta baja dispersión espectral es particularmente significativa cuando se deben digitalizar señales de banda base, ya que permite elegir una frecuencia de muestreo que sea solo ligeramente superior al doble de la excursión de frecuencia máxima del chirrido.

Reducción de la ondulación espectral

Las ondulaciones de Fresnel en un espectro de chirridos son muy molestas, especialmente cuando los productos de ancho de banda temporal son bajos (menos de 50, por ejemplo) y su presencia conduce a niveles altos de lóbulos laterales temporales cuando los chirridos están sujetos a compresión de pulsos, como en los sistemas de radar y sonar . Surgen debido a las discontinuidades repentinas en la forma de onda del chirrido al comienzo y al final del pulso.

Aunque existen varios procedimientos que se pueden aplicar para reducir los niveles de ondulación, no todos son igualmente eficaces. Además, algunos de los métodos requieren la conformación de amplitud, o modulación de amplitud, del pulso de chirrido y esto hace que esos métodos no sean adecuados cuando, por ejemplo, los pulsos de chirrido se van a transmitir mediante un amplificador de potencia que funciona en una condición casi límite. Para tales sistemas, solo son apropiados los métodos que utilizan predistorsión de frecuencia (o fase).

Introducción de tiempos de subida y bajada de duración finita

Si las transiciones al inicio y al final del chirrido se hacen menos repentinas (o más 'redondeadas'), entonces se logra una reducción en la amplitud de la ondulación. ^[6]^{: 213}^[20]^[21] Las duraciones de las dos regiones de transición solo necesitan ser una pequeña fracción de la duración del pulso, y los valores sugeridos están entre 2/ $Δ$ F y 3/ $Δ$ F ^[20] pero, como se esperaba, cuando el producto de ancho de banda de tiempo del pulso es pequeño, se necesitan períodos de transición más largos. Los perfiles reales de estas regiones de ascenso y descenso de un pulso no parecen ser críticos y pueden proporcionarse, por ejemplo, mediante filtros limitadores de banda en implementaciones analógicas y una pendiente lineal en las digitales.

Dos ejemplos muestran los espectros de chirridos lineales con tiempos de subida finitos. El primero corresponde a un chirrido con un ancho de banda temporal de 250, donde los tiempos de subida y bajada son el 4 % de la duración total del pulso, y el segundo corresponde a un chirrido con un ancho de banda temporal de 25, donde los tiempos de subida y bajada son el 10 % del total. Estos dos espectros muestran una marcada reducción de la amplitud de ondulación en comparación con los espectros de chirridos lineales no modificados que se mostraron anteriormente.

Aplicación de distorsión de fase o frecuencia al pulso de chirrido

Se puede aplicar una técnica análoga a la característica de frecuencia de la forma de onda del chirrido añadiendo segmentos de distorsión FM lineal (distorsión de modulación de fase cuadrática) a la característica de frecuencia del chirrido, como se muestra. El método es eficaz porque las distorsiones de amplitud y fase que tienen similitud funcional pueden producir efectos similares cuando los factores de distorsión son pequeños. ^[20]^[22]

Esta distorsión adicional se denomina "predistorsión". Los valores sugeridos para estas regiones de distorsión, para lograr buenos resultados, se determinaron inicialmente como:
$\Delta f_{p}=0.75\Delta F\qquad and\qquad \delta =1/\Delta F$

En 1988, un trabajo posterior ^[23] propuso valores ligeramente diferentes, a saber:
$\Delta f_{p}=0.73\Delta F\qquad and\qquad \delta =0.86/\Delta F$

Los resultados se pueden mejorar aún más optimizando los valores para cada situación particular.

A continuación se muestran dos gráficos que muestran los efectos de la precorrección de frecuencia para anchos de banda de tiempo de 25 y 250. Estos se pueden comparar con los resultados de las secciones anteriores.

La reducción de la ondulación lograda mediante la precorrección de frecuencia, aunque significativa, parece ser menos exitosa que la lograda mediante los métodos de modulación de amplitud de la sección anterior. Sin embargo, se ha sugerido ^[21] que al implementar la precorrección de fase cúbica (en lugar de cuadrática), se pueden lograr resultados comparables.

Derivación de una forma de onda a partir de un espectro de frecuencia objetivo

Este método utiliza una transformada de Fourier inversa para derivar una forma de onda que tiene un espectro con la característica de fase de un chirrido elegido pero un nuevo perfil de amplitud que es rectangular y sin ondulaciones. El método es muy eficaz pero, por desgracia, la forma de onda así derivada tiene una duración de tiempo semiinfinita. Si, por conveniencia, la forma de onda recién derivada se trunca a una longitud práctica, entonces se reintroduce alguna ondulación en el espectro.

Como ejemplo, se muestra una forma de onda de chirrido lineal con un ancho de banda temporal de 25 junto con su magnitud espectral (mostrada por una línea continua) que, como se demostró anteriormente, tiene un gran componente de ondulación. Es posible encontrar, por medio de una FFT inversa, una forma de onda de chirrido que, en el dominio de la frecuencia, tiene la misma característica de fase que antes, pero con la característica de magnitud rectangular mostrada por la línea discontinua en el gráfico. La forma de onda de chirrido resultante de este proceso tiene una duración temporal muy larga, pero cuando se trunca, por ejemplo, a una longitud de 2T, entonces el espectro adquiere algo de ondulación una vez más, como se muestra.

Aplicación de funciones de ventana

Existen muchas aplicaciones en las que un espectro con un perfil de magnitud rectangular no es ideal. Por ejemplo, cuando una forma de onda de chirrido se comprime por medio de su filtro adaptado, entonces la forma de onda resultante se aproxima a la función sinc y, en consecuencia, tiene lóbulos laterales molestamente altos. A menudo, para mejorar las características del pulso y reducir los niveles de los lóbulos laterales, se modifica su espectro, típicamente a un perfil en forma de campana. Surgen problemas similares en el procesamiento de señales digitales donde la conformación espectral es proporcionada por una función de ventana , un proceso a veces llamado apodización . En el caso de un conjunto de antenas, se utiliza un perfil similar mediante "funciones de ponderación" para reducir los lóbulos laterales espaciales del patrón de radiación.

Aunque la conformación espectral de un chirrido se podría aplicar en el dominio de la frecuencia, se obtienen mejores resultados si la conformación se lleva a cabo en el dominio del tiempo. ^[24]^[25] Se muestran ejemplos de este proceso para chirridos lineales con productos de ancho de banda de tiempo de 250 y 25. Han sido conformados por una ventana de Blackman-Harris de 3 términos ^[11] dada por Los espectros, ahora en forma de campana, se ven libres de ondulaciones.
$|U(\omega )|^{2}=0.42323-0.49755\cos \left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)+0.07922\cos \left({\frac {4\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)$

Se pueden diseñar chirridos no lineales que tengan un espectro en forma de campana, como la ventana de Blackman-Harris que acabamos de analizar, y, en consecuencia, exhibirán una ondulación reducida en comparación con el chirrido lineal. Mediante el método de fase estacionaria descrito anteriormente, se puede obtener una relación aproximada entre el tiempo y la frecuencia:

${\frac {t}{T}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+0.1871\sin \left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)+0.014895\sin \left({\frac {4\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)$
Reorganizando la ecuación, se puede representar gráficamente la frecuencia en función del tiempo, lo que se ve aproximadamente como se muestra a la derecha.

Los chirridos no lineales con perfiles espectrales de una ventana de Blackman-Harris muestran una reducción de ondulación, pero pueden tener un rendimiento decepcionante debido a los perfiles de amplitud con tiempos de subida y bajada rápidos.

A continuación, se muestran, como ejemplos, dos gráficos de las magnitudes espectrales de dichos chirridos, con productos de ancho de banda temporal de 250 y 25, respectivamente. Estos chirridos tienen un contenido de energía reducido en sus regiones de frecuencias externas, pero aún muestran un rendimiento inferior al ideal.

Véase también

Compresión de pulsos , un proceso que utiliza formas de onda codificadas en frecuencia o fase para mejorar la relación señal/ruido de las señales recibidas.
Compresión de chirridos , un proceso de compresión solo para chirridos.

Referencias

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