espectro de Ziegler

En matemáticas , el espectro de Ziegler (derecho) de un anillo R es un espacio topológico cuyos puntos son (clases de isomorfismo de) módulos R derechos inyectivos puros indescomponibles . Sus subconjuntos cerrados corresponden a teorías de módulos cerrados bajo productos arbitrarios y sumandos directos. Los espectros de Ziegler llevan el nombre de Martin Ziegler, quien los definió y estudió por primera vez en 1984. ^[1]

Definición

Sea R un anillo (asociativo, con 1, no necesariamente conmutativo). Una fórmula pp -n (derecha) es una fórmula en el lenguaje de módulos R (derechos) de la forma

$${\displaystyle \exists {\overline {y}}\ ({\overline {y}},{\overline {x}})A=0}$$

donde son números naturales, es una matriz con entradas de R y es una tupla de variables. ${\displaystyle \ell ,n,m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\ell +n)\times m}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle n}$

El espectro de Ziegler (derecho), de R es el espacio topológico cuyos puntos son clases de isomorfismo de módulos derechos inyectivos puros indescomponibles, denotados por , y la topología tiene los conjuntos ${\displaystyle \operatorname {Zg} _{R}}$ ${\displaystyle \operatorname {pinj} _{R}}$

$${\displaystyle (\varphi /\psi )=\{N\in \operatorname {pinj} _{R}\mid \varphi (N)\supsetneq \psi (N)\cap \varphi (N)\}}$$

como subbase de conjuntos abiertos, donde abarca (derecha) pp-1-fórmulas y denota el subgrupo que consta de todos los elementos que satisfacen la fórmula de una variable . Se puede demostrar que estos conjuntos forman una base. ${\displaystyle \varphi ,\psi }$ ${\displaystyle \varphi (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi }$

Propiedades

Los espectros de Ziegler rara vez son de Hausdorff y, a menudo, no tienen la propiedad . Sin embargo, siempre son compactos y tienen una base de conjuntos abiertos compactos dados por los conjuntos donde están las fórmulas pp-1. ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle (\varphi /\psi )}$ ${\displaystyle \varphi ,\psi }$

Cuando el anillo R es contable está sobrio . ^[2] Actualmente no se sabe si todos los espectros de Ziegler son sobrios. ${\displaystyle \operatorname {Zg} _{R}}$

Generalización

Ivo Herzog mostró en 1997 cómo definir el espectro de Ziegler de una categoría de Grothendieck localmente coherente , que generaliza la construcción anterior. ^[3]

Referencias

1. Ziegler, Martín (1 de abril de 1984). «Teoría de modelos de módulos» (PDF) . Anales de lógica pura y aplicada . PROBLEMA ESPECIAL. 26 (2): 149–213. doi : 10.1016/0168-0072(84)90014-9 .
2. Ivo Herzog (1993). Dualidad elemental de módulos. Trans. América. Matemáticas. Soc. , 340:1 37–69
3. Herzog, I. (1997). "El espectro Ziegler de una categoría de Grothendieck localmente coherente". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 74 (3): 503–558. doi :10.1112/S002461159700018X.