Duplicando el espacio

Espacio métrico con doble medida

En el plano euclidiano , siete discos de radio r /2 pueden cubrir cualquier disco de radio r , por lo que el plano es un espacio de duplicación con constante de duplicación 7 y dimensión de duplicación log ₂ 7.

En matemáticas , se dice que un espacio métrico X con métrica d se duplica si existe alguna constante de duplicación M > 0 tal que para cualquier x ∈ X y r > 0 , es posible cubrir la bola B ( x , r ) = { y | d ( x , y ) < r } con la unión de como máximo M bolas de radio ⁠a/2⁠ . ^[1] El logaritmo en base 2 de M se denomina dimensión de duplicación de X . ^[2] Los espacios euclidianos equipados con la métrica euclidiana habitual son ejemplos de espacios de duplicación donde la constante de duplicación M depende de la dimensión  d . Por ejemplo, en una dimensión, M = 3 ; y en dos dimensiones, M = 7 . ^[3] En general, el espacio euclidiano tiene dimensión de duplicación. ^{[2] [4]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Theta (d)}$

Teorema de incrustación de Assouad

Una cuestión importante en la geometría del espacio métrico es caracterizar aquellos espacios métricos que pueden ser incluidos en algún espacio euclidiano mediante una función bi-Lipschitz . Esto significa que, en esencia, se puede pensar en el espacio métrico como un subconjunto del espacio euclidiano. No todos los espacios métricos pueden estar incluidos en el espacio euclidiano. Los espacios métricos duplicantes, por otra parte, parecerían tener más posibilidades, ya que la condición de duplicación dice, en cierto modo, que el espacio métrico no es de dimensión infinita. Sin embargo, este no es el caso en general. El grupo de Heisenberg con su métrica de Carnot-Caratheodory es un ejemplo de un espacio métrico duplicante que no puede ser incluido en ningún espacio euclidiano. ^[5]

El teorema de Assouad establece que, para un espacio métrico M -duplicante X , si le damos la métrica d ( x , y ) ^ε para algún 0 < ε < 1 , entonces existe una función L -bi-Lipschitz , donde d y L dependen de M y ε . ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$

Medidas de duplicación

Definición

Se dice que una medida no trivial en un espacio métrico X se duplica si la medida de cualquier bola es finita y aproximadamente la medida de su doble, o más precisamente, si hay una constante C  > 0 tal que

${\displaystyle 0<\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))<\infty \,}$

para todo x en X y r  > 0. En este caso, decimos que μ es C-duplicación . De hecho, se puede demostrar que, necesariamente, C   2. ^[6] ${\displaystyle \geq }$

Un espacio de medida métrica que admite una medida de duplicación es necesariamente un espacio métrico de duplicación, donde la constante de duplicación depende de la constante  C. Por el contrario, todo espacio métrico de duplicación completo admite una medida de duplicación. ^{[7] [8]}

Ejemplos

Un ejemplo sencillo de una medida de duplicación es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano. Sin embargo, es posible tener medidas de duplicación en el espacio euclidiano que sean singulares con respecto a la medida de Lebesgue. Un ejemplo en la línea real es el límite débil de la siguiente secuencia de medidas: ^[9]

${\displaystyle d\mu _{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.}$

Se puede construir otra medida de duplicación singular μ en el intervalo [0, 1] de la siguiente manera: para cada k  ≥ 0, se divide el intervalo unitario [0,1] en 3 ^k intervalos de longitud 3 ^{− k} . Sea Δ la colección de todos esos intervalos en [0,1] obtenidos para cada k (estos son los intervalos triádicos ), y para cada intervalo I , sea m ( I ) su intervalo de "tercio medio". Fijemos 0 <  δ  < 1 y sea μ la medida tal que μ ([0, 1]) = 1 y para cada intervalo triádico I , μ ( m ( I )) =  δμ ( I ). Entonces esto da una medida de duplicación en [0, 1] singular a la medida de Lebesgue. ^[10]

Aplicaciones

La definición de una medida de duplicación puede parecer arbitraria o de interés puramente geométrico. Sin embargo, muchos resultados del análisis armónico clásico y la geometría computacional se extienden al contexto de espacios métricos con medidas de duplicación.

Véase también

• Dimensión de la carretera

Referencias

1. Heinonen, Juha (2001). Lecciones sobre análisis de espacios métricos . Universitext. Nueva York: Springer-Verlag. pp. x+140. ISBN 0-387-95104-0.
2. Gupta, A.; Krauthgamer, R.; Lee, JR (2003). "Geometrías limitadas, fractales e incrustaciones de baja distorsión". 44.º Simposio anual IEEE sobre fundamentos de la informática, 2003. Actas. págs. 534–543. doi :10.1109/SFCS.2003.1238226. ISBN. 0-7695-2040-5.S2CID 796386  .
3. W., Weisstein, Eric. "Problema de recubrimiento del disco". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de marzo de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Zhou, Felix (21 de febrero de 2023). "Duplicación de la dimensión y el ancho del árbol" (PDF) .
5. Pansu, Pierre (1989). "Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un". Ana. de Matemáticas . 2. 129 (1): 1–60. doi :10.2307/1971484. JSTOR  1971484.
6. Soria, Javier; Tradacete, Pedro (2019). "La constante de duplicación mínima de un espacio de medida métrica". Ann. Acad. Sci. Fenn. Math . 44 (2): 1015–1030. doi : 10.5186/aasfm.2019.4457 .
7. Luukainen, Jouni; Saksman, Eero (1998). "Todo espacio métrico de duplicación completo lleva una medida de duplicación". Proc. Amer. Math. Soc . 126 (2): 531–534. doi : 10.1090/s0002-9939-98-04201-4 .
8. Jouni, Luukkainen (1998). "DIMENSIÓN DE ASSOUAD: METRIZACIÓN ANTIFRACTAL, CONJUNTOS POROSOS Y MEDIDAS HOMOGÉNEAS". Revista de la Sociedad Matemática Coreana . 35 (1). ISSN  0304-9914.
9. Zygmund, A. (2002). Series trigonométricas. Vol. I, II . Cambridge Mathematical Library (tercera edición). Cambridge University Press. pp. xii, Vol. I: xiv+383 pp., Vol. II: viii+364. ISBN 0-521-89053-5.
10. Kahane, J.-P. (1969). "Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires". Enseñanza de matemáticas. (2) . 15 : 185-192.