En geometría finita , PG(3, 2) es el espacio proyectivo tridimensional más pequeño . Puede considerarse como una extensión del plano de Fano . Tiene 15 puntos, 35 líneas y 15 planos. [1] También tiene las siguientes propiedades: [2]
Tomemos un grafo completo K 6 . Tiene 15 aristas, 15 emparejamientos perfectos y 20 triángulos. Crea un punto para cada una de las 15 aristas y una línea para cada uno de los 20 triángulos y 15 emparejamientos. La estructura de incidencia entre cada triángulo o emparejamiento (línea) y sus tres aristas constituyentes (puntos) induce una PG(3, 2) .
Tome un plano de Fano y aplique las 5040 permutaciones de sus 7 puntos. Descarte los planos duplicados para obtener un conjunto de 30 planos de Fano distintos. Elija cualquiera de los 30 y elija los otros 14 que tengan exactamente una línea en común con el primero, no 0 ni 3. La estructura de incidencia entre los 1 + 14 = 15 planos de Fano y los 35 tripletes que cubren mutuamente induce una PG(3, 2) . [3]
PG(3, 2) se puede representar como un tetraedro . Los 15 puntos corresponden a los 4 vértices + 6 puntos medios de las aristas + 4 centros de las caras + 1 centro del cuerpo. Las 35 líneas corresponden a las 6 aristas + 12 medianas de las caras + 4 circunferencias inscritas en las caras + 4 alturas desde una cara hasta el vértice opuesto + 3 líneas que conectan los puntos medios de las aristas opuestas + 6 elipses que conectan cada punto medio de la arista con sus dos centros de caras no vecinas. Los 15 planos consisten en las 4 caras + los 6 planos "mediales" que conectan cada arista con el punto medio de la arista opuesta + 4 "conos" que conectan cada vértice con la circunferencia inscrita de la cara opuesta + una "esfera" con los 6 centros de las aristas y el centro del cuerpo. Esto fue descrito por Burkard Polster . [4] La representación tetraédrica tiene la misma estructura que la representación visual de la tabla de multiplicar para los sedeniones . [5]
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PG(3, 2) se puede representar como un cuadrado. A los 15 puntos se les asignan coordenadas binarias de 4 bits desde 0001 hasta 1111, aumentadas con un punto etiquetado como 0000, y se disponen en una cuadrícula de 4×4. Las líneas corresponden a las clases de equivalencia de conjuntos de cuatro vértices que se unen mediante la operación XOR para obtener 0000. Con ciertas disposiciones de los vértices en la cuadrícula de 4×4, como la ordenación por filas "natural" o la ordenación por mapa de Karnaugh , las líneas forman subestructuras simétricas como filas, columnas, transversales o rectángulos, como se ve en la figura. (Existen 20160 órdenes de este tipo, como se ve a continuación en la sección sobre automorfismos). Esta representación es posible porque geométricamente las 35 líneas se representan como una biyección con las 35 formas de dividir un espacio afín de 4×4 en 4 planos paralelos de 4 celdas cada uno. Así lo describió Steven H. Cullinane.
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El diagrama de Doily, que se utiliza a menudo para representar el cuadrángulo generalizado GQ(2, 2), también se utiliza para representar PG(3, 2) . Richard Doily lo describió. [2]
PG(3, 2) surge como un fondo en algunas soluciones del problema de la colegiala de Kirkman . Dos de las siete soluciones no isomorfas de este problema pueden ser incrustadas como estructuras en el 3-espacio de Fano. En particular, una extensión de PG(3, 2) es una partición de puntos en líneas disjuntas, y corresponde a la disposición de las niñas (puntos) en filas disjuntas (líneas de una extensión ) para un solo día del problema de la colegiala de Kirkman. Hay 56 extensiones diferentes de 5 líneas cada una. Un empaquetamiento de PG(3, 2) es una partición de las 35 líneas en 7 extensiones disjuntas de 5 líneas cada una, y corresponde a una solución para los siete días. Hay 240 empaquetamientos de PG(3, 2) que caen en dos clases de conjugación de 120 bajo la acción de PGL(4, 2) (el grupo de colineación del espacio); una correlación intercambia estas dos clases. [6]
El grupo de automorfismos de PG(3, 2) asigna líneas a líneas. El número de automorfismos se obtiene hallando el número de formas de seleccionar 4 puntos que no sean coplanares; esto da como resultado 15⋅14⋅12⋅8 = 20160 = 8!/2. Resulta que el grupo de automorfismos de PG(3, 2) es isomorfo al grupo alternado de 8 elementos A 8 .
Se sabe que un PG( n , 2) se puede coordinar con (GF(2)) n + 1 , es decir, una cadena de bits de longitud n + 1 . Por lo tanto, PG(3, 2) se puede coordinar con cadenas de 4 bits.
Además, a la línea que une los puntos ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) y ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) se les pueden asignar naturalmente coordenadas de Plücker ( p 12 , p 13 , p 14 , p 23 , p 24 , p 34 ) donde p ij = a i b j − a j b i , y las coordenadas de la línea satisfacen p 12 p 34 + p 13 p 24 + p 14 p 23 = 0 . Cada línea en el espacio proyectivo 3 tiene, por tanto, seis coordenadas, y se puede representar como un punto en el espacio proyectivo 5-; los puntos se encuentran en la superficie p 12 p 34 + p 13 p 24 + p 14 p 23 = 0 .