esferoide de maclaurina

Shape of a spinning body of self-gravitating fluid

Un esferoide de Maclaurin es un esferoide achatado que surge cuando un cuerpo fluido autogravitante de densidad uniforme gira con una velocidad angular constante. Este esferoide lleva el nombre del matemático escocés Colin Maclaurin , quien lo formuló para la forma de la Tierra en 1742. ^[1] De hecho, la figura de la Tierra es mucho menos achatada de lo que sugiere la fórmula de Maclaurin, ya que la Tierra no es homogénea, sino que tiene un núcleo de hierro denso. El esferoide de Maclaurin se considera el modelo más simple de figuras elipsoidales giratorias en equilibrio hidrostático, ya que supone una densidad uniforme.

fórmula de maclaurina

Velocidad angular del esferoide de Maclaurin en función de la excentricidad

Para un esferoide con semieje mayor ecuatorial y semieje menor polar , la velocidad angular viene dada por la fórmula de Maclaurin ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e^{2})\sin ^{-1}e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},}$

donde es la excentricidad de las secciones transversales meridionales del esferoide, es la densidad y es la constante gravitacional . La fórmula predice dos posibles figuras de equilibrio, una que se aproxima a una esfera ( ) cuando y la otra que se aproxima a un esferoide muy aplanado ( ) cuando . La velocidad angular máxima se produce en la excentricidad y su valor es , por lo que por encima de esta velocidad no existen cifras de equilibrio. El momento angular es ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$ ${\displaystyle e\rightarrow 1}$ ${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$ ${\displaystyle e=0.92996}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}/(\pi G\rho )=0.449331}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}}$

donde es la masa del esferoide y es el radio medio , el radio de una esfera del mismo volumen que el esferoide. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {a}}}$

Estabilidad

Para un esferoide de Maclaurin de excentricidad mayor que 0,812670, ^[3] un elipsoide de Jacobi del mismo momento angular tiene una energía total menor. Si tal esferoide está compuesto de un fluido viscoso (o en presencia de una reacción de radiación gravitacional), y si sufre una perturbación que rompe su simetría rotacional, entonces se alargará gradualmente hasta adoptar la forma elipsoidal de Jacobi, mientras disipa su exceso de energía como calor (u ondas gravitacionales ). Esto se denomina inestabilidad secular ; véase Inestabilidad de Roberts-Stewartson e Inestabilidad de Chandrasekhar-Friedman-Schutz . Sin embargo, para un esferoide similar compuesto de un fluido no viscoso (o en ausencia de reacción de radiación), la perturbación simplemente dará como resultado una oscilación no amortiguada. Esto se describe como estabilidad dinámica (u ordinaria ) .

Un esferoide de Maclaurin de excentricidad superior a 0,952887 ^[3] es dinámicamente inestable. Incluso si está compuesta de un fluido no viscoso y no tiene medios para perder energía, una perturbación adecuada crecerá (al menos inicialmente) exponencialmente. La inestabilidad dinámica implica inestabilidad secular (y la estabilidad secular implica estabilidad dinámica). ^[4]

Ver también

• elipsoide de Jacobi
• Esferoide
• elipsoide

Referencias

1. Maclaurin, Colin. Un tratado de fluxiones: en dos libros. 1. vol. 1. Ruddimans, 1742.
2. Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. vol. 10. New Haven: Prensa de la Universidad de Yale, 1969.
3. Poisson, Eric; Voluntad, Clifford (2014). Gravedad: Newtoniana, Postnewtoniana, Relativista. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 102-104. ISBN 978-1107032866.
4. Lyttleton, Raymond Arthur (1953). La estabilidad de masas líquidas en rotación. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781316529911.