Dilución de precisión (navegación)

Propagación de errores con topología variable.

Dilución de precisión ( DOP ), o dilución geométrica de precisión ( GDOP ), es un término utilizado en navegación por satélite e ingeniería geomática para especificar la propagación de errores como un efecto matemático de la geometría de los satélites de navegación sobre la precisión de la medición posicional.

Comprender la dilución geométrica de precisión (GDOP) con un ejemplo sencillo. En A, alguien midió la distancia hasta dos puntos de referencia y trazó su punto como la intersección de dos círculos con el radio medido. En B , la medición tiene algunos límites de error y su verdadera ubicación estará en cualquier lugar del área verde. En C el error de medición es el mismo, pero el error en su posición ha aumentado considerablemente debido a la disposición de los puntos de referencia.

Satélites de navegación con geometría deficiente para dilución geométrica de precisión (GDOP).

Satélites de navegación con buena geometría para dilución geométrica de precisión (GDOP).

Introducción

El concepto de dilución de precisión (DOP) se originó con los usuarios del sistema de navegación Loran-C . ^[1] La idea del DOP geométrico es indicar cómo los errores en la medición afectarán la estimación del estado final. Esto se puede definir como: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {GDOP} ={\frac {\Delta ({\text{output location}})}{\Delta ({\text{measured data}})}}}$

Conceptualmente, se pueden imaginar geométricamente errores en una medición que provocan que el término cambie. Lo ideal es que pequeños cambios en los datos medidos no produzcan grandes cambios en la ubicación de salida. Lo opuesto a este ideal es la situación en la que la solución es muy sensible a errores de medición. La interpretación de esta fórmula se muestra en la figura de la derecha, que muestra dos escenarios posibles con un PIBD aceptable y pobre. ${\displaystyle \Delta ({\text{measured data}})}$

Más recientemente, el término ha adquirido un uso mucho más amplio con el desarrollo y adopción del GPS. Despreciando los efectos ionosféricos ^[3] y troposféricos ^[4] , la señal de los satélites de navegación tiene una precisión fija. Por lo tanto, la geometría relativa del satélite-receptor juega un papel importante en la determinación de la precisión de las posiciones y horas estimadas. Debido a la geometría relativa de cualquier satélite dado a un receptor, la precisión en el pseudorango del satélite se traduce en un componente correspondiente en cada una de las cuatro dimensiones de posición medida por el receptor (es decir, , , y ). La precisión de múltiples satélites a la vista de un receptor se combina según la posición relativa de los satélites para determinar el nivel de precisión en cada dimensión de la medición del receptor. Cuando los satélites de navegación visibles están muy juntos en el cielo, se dice que la geometría es débil y el valor DOP es alto; cuando están muy separados, la geometría es fuerte y el valor DOP es bajo. Consideremos dos anillos superpuestos, o anillos , de diferentes centros. Si se superponen en ángulo recto, la mayor extensión de superposición es mucho menor que si se superponen casi en paralelo. Por lo tanto, un valor DOP bajo representa una mejor precisión posicional debido a la separación angular más amplia entre los satélites utilizados para calcular la posición de una unidad. Otros factores que pueden aumentar el DOP efectivo son obstrucciones como montañas o edificios cercanos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$

El DOP se puede expresar como una serie de medidas separadas:

HDOP

Dilución horizontal de precisión.

VDOP

Dilución vertical de precisión.

PDOP

Dilución de precisión de posición (3D)

TDOP

Dilución temporal de la precisión.

GDOP

Dilución geométrica de precisión.

Estos valores se derivan matemáticamente de las posiciones de los satélites utilizables. Los receptores de señales permiten la visualización de estas posiciones ( skyplot ), así como de los valores DOP.

El término también se puede aplicar a otros sistemas de localización que emplean varios sitios espaciados geográficamente. Puede ocurrir en contramedidas electrónicas ( guerra electrónica ) al calcular la ubicación de los emisores enemigos ( interruptores de radar y dispositivos de comunicaciones por radio). El uso de una técnica de interferometría de este tipo puede proporcionar cierta disposición geométrica en la que hay grados de libertad que no pueden tenerse en cuenta debido a configuraciones inadecuadas.

El efecto de la geometría de los satélites sobre el error de posición se denomina dilución geométrica de la precisión (GDOP) y se interpreta aproximadamente como una relación entre el error de posición y el error de distancia. Imaginemos que una pirámide cuadrada está formada por líneas que unen cuatro satélites con el receptor en la punta de la pirámide. Cuanto mayor sea el volumen de la pirámide, mejor (menor) será el valor del PIBD; cuanto menor sea su volumen, peor (mayor) será el valor del PIBD. Del mismo modo, cuanto mayor sea el número de satélites, mejor será el valor del GDOP.

Interpretación

Los factores DOP son funciones de los elementos diagonales de la matriz de covarianza de los parámetros, expresados ​​en un marco geodésico global o local.

Cálculo

Como primer paso para calcular la DOP, considere los vectores unitarios desde el receptor hasta el satélite i:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {x_{i}-x}{R_{i}}},{\frac {y_{i}-y}{R_{i}}},{\frac {z_{i}-z}{R_{i}}}\right),&R_{i}&={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}\end{aligned}}}$

donde denota la posición del receptor y denota la posición del satélite i. Formule la matriz, A, que (para 4 ecuaciones residuales de medición de pseudorango) es: ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}-x}{R_{1}}}&{\frac {y_{1}-y}{R_{1}}}&{\frac {z_{1}-z}{R_{1}}}&1\\{\frac {x_{2}-x}{R_{2}}}&{\frac {y_{2}-y}{R_{2}}}&{\frac {z_{2}-z}{R_{2}}}&1\\{\frac {x_{3}-x}{R_{3}}}&{\frac {y_{3}-y}{R_{3}}}&{\frac {z_{3}-z}{R_{3}}}&1\\{\frac {x_{4}-x}{R_{4}}}&{\frac {y_{4}-y}{R_{4}}}&{\frac {z_{4}-z}{R_{4}}}&1\end{bmatrix}}}$

Los primeros tres elementos de cada fila de A son los componentes de un vector unitario desde el receptor hasta el satélite indicado. El último elemento de cada fila se refiere a la derivada parcial de la polarización del reloj del receptor en pseudorango. Formule la matriz, Q , como la matriz de covarianza resultante de la matriz normal de mínimos cuadrados :

${\displaystyle Q=\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}$

En general:

${\displaystyle Q=\left(J_{\mathsf {x}}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}J_{x}\right)^{-1}}$

donde está el jacobiano de las ecuaciones residuales de medición del sensor , con respecto a las incógnitas ,; es el jacobiano de las ecuaciones residuales de medición del sensor con respecto a las cantidades medidas , y es la matriz de correlación para el ruido en las cantidades medidas. ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)=0}$ ${\displaystyle {\underline {x}}}$ ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle {\underline {d}}}$ ${\displaystyle C_{d}}$

Para el caso anterior de 4 ecuaciones residuales de medición de rango: , , , , , , y se ha supuesto que los ruidos de medición para las diferentes son independientes, lo que hace . ${\displaystyle {\underline {x}}=(x,y,z,\tau )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\underline {d}}=\left(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4}\right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \tau =ct}$ ${\displaystyle \tau _{i}=ct_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}=|\tau _{i}-\tau |={\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}-{\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$ ${\displaystyle J_{x}=A}$ ${\displaystyle J_{d}=-I}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle C_{d}=I}$

Esta fórmula para Q surge de aplicar la mejor estimación lineal insesgada a una versión linealizada de las ecuaciones residuales de medición del sensor sobre la solución actual , excepto que en el caso de BLUE es una matriz de covarianza de ruido en lugar de la matriz de correlación de ruido utilizada en DOP, y la razón DOP realiza esta sustitución para obtener un error relativo . Cuando es una matriz de covarianza de ruido, es una estimación de la matriz de covarianza de ruido en las incógnitas debidas al ruido en las cantidades medidas. Es la estimación obtenida mediante la técnica de cuantificación de la incertidumbre de primer orden y segundo momento (FOSM), que era lo último en la década de 1980. Para que la teoría FOSM sea estrictamente aplicable, las distribuciones del ruido de entrada deben ser gaussianas o las desviaciones estándar del ruido de medición deben ser pequeñas en relación con la tasa de cambio en la salida cerca de la solución. En este contexto, el segundo criterio suele ser el que se cumple. ${\displaystyle \Delta {\underline {x}}=-Q*\left(J_{x}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}f\right)}$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle Q}$

Este cálculo (es decir, para las 4 ecuaciones residuales de medición de tiempo de llegada/alcance) está de acuerdo con [6] donde la matriz de ponderación se simplifica hasta la matriz de identidad. ${\displaystyle P=\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}}$

Tenga en cuenta que P solo se simplifica hasta la matriz de identidad porque todas las ecuaciones residuales de medición del sensor son ecuaciones de tiempo de llegada (pseudo rango). En otros casos, por ejemplo cuando se intenta localizar a alguien que transmite en una frecuencia de socorro internacional , no se simplificaría hasta la matriz de identidad y en ese caso habría un componente de "frecuencia DOP" o FDOP además o en lugar del Componente TDOP. (Con respecto a "en lugar del componente TDOP": dado que los relojes de los satélites LEO heredados del Programa Internacional Cospas-Sarsat son mucho menos precisos que los relojes GPS, descartar sus mediciones de tiempo en realidad aumentaría la precisión de la solución de geolocalización). ${\displaystyle P}$

Los elementos de se designan como: ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^{2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}}$

PDOP, TDOP y GDOP vienen dados por: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\\operatorname {TDOP} &={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {PDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {tr} Q}}\\\end{aligned}}}$

Observe que GDOP es la raíz cuadrada de la traza de la matriz. ${\displaystyle Q}$

La dilución horizontal y vertical de la precisión,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\sigma _{n}^{2}+\sigma _{e}^{2}}}\\\operatorname {VDOP} &={\sqrt {\sigma _{u}^{2}}}\end{aligned}}}$,

ambos dependen del sistema de coordenadas utilizado. Corresponder al plano del horizonte local y a la vertical local en un sistema de coordenadas norte, este o arriba.

EDOP^2xxx x NDOP^2 xx xx VDOP^2 x xxx TDOP^2

DOP derivados:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}}}\\\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}}}\end{aligned}}}$

Ver también

• Error circular probable
• Cálculo de posicionamiento GNSS

Referencias

1. Richard B. Langley (mayo de 1999). "Dilución de precisión" (PDF) . Mundo GPS . Archivado (PDF) desde el original el 4 de octubre de 2011 . Consultado el 12 de octubre de 2011 .
2. Amigo, Gregorio ; Jenkin, Michael (2000). Principios computacionales de la robótica móvil . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-56876-5.
3. Paul Kintner, Universidad de Cornell; Todd Humphreys; Universidad de Texas-Austin; Joanna Hinks; Universidad de Cornell (julio-agosto de 2009). "GNSS y centelleo ionosférico: cómo sobrevivir al próximo máximo solar". Dentro de GNSS . Archivado desde el original el 6 de noviembre de 2011 . Consultado el 12 de octubre de 2011 .
4. "Errores de GPS (tutorial de Trimble)". Archivado desde el original el 7 de marzo de 2016 . Consultado el 8 de febrero de 2016 .
5. Isik, Oguz Kagan; Hong, Juhyeon; Petrunin, Iván; Tsourdos, Antonios (25 de agosto de 2020). "Análisis de integridad para la navegación basada en GPS de vehículos aéreos no tripulados en entornos urbanos". Robótica . 9 (3): 66. doi : 10.3390/robótica9030066 .
6. Sección 1.4.9 de Principios de posicionamiento por satélite.

Otras lecturas

• Factores DOP
• calcular manualmente el GDOP
• ERRORES DE POSICIÓN HORIZONTAL DE HDOP Y GPS

• Artículo sobre DOP y el programa Trimble: Determinación de los efectos de la geometría del satélite GPS local sobre la precisión de la posición.
• Notas e imagen GIF sobre el cálculo manual del GDOP: Geographer's Craft
• Errores de GPS y estimación de la precisión de su receptor: página web de precisión de GPS de Sam Wormley
• Exactitud, errores y precisión del GPS: Radio-Electronics.com Archivado el 22 de febrero de 2014 en Wayback Machine.