Ecuación del equilibrio poblacional

Las ecuaciones de equilibrio poblacional (PBE) se han introducido en varias ramas de la ciencia moderna, principalmente en Ingeniería Química , ^[1] para describir la evolución de una población de partículas. Esto incluye temas como cristalización , ^[2] lixiviación (metalurgia) , ^{[3] [4]} extracción líquido-líquido , dispersiones gas-líquido como electrólisis del agua , ^[5] reacciones líquido-líquido, conminución, ingeniería de aerosoles, biología (donde entidades separadas son células según su tamaño o proteínas intracelulares ^[6] ), polimerización , etc. Se puede decir que las ecuaciones de equilibrio poblacional se derivan como una extensión de la ecuación de coagulación de Smoluchowski que describe solo la coalescencia de partículas. Las PBE, de manera más general, definen cómo se desarrollan poblaciones de entidades separadas en propiedades específicas a lo largo del tiempo. Son un conjunto de ecuaciones diferenciales integro-parciales que proporcionan el comportamiento de campo medio de una población de partículas a partir del análisis del comportamiento de una sola partícula en condiciones locales. ^[7] Los sistemas de partículas se caracterizan por el nacimiento y muerte de partículas. Por ejemplo, considere el proceso de precipitación (formación de sólido a partir de una solución líquida) que tiene los subprocesos de nucleación , aglomeración , rotura, etc., que resultan en el aumento o disminución del número de partículas de un radio particular (suponiendo la formación de partículas esféricas). . El equilibrio poblacional no es más que un equilibrio en el número de partículas de un estado particular (en este ejemplo, tamaño ).

Formulación de PBE

Considere el número promedio de partículas con propiedades de partícula indicadas por un vector de estado de partícula ( x , r ) (donde x corresponde a propiedades de partícula como tamaño, densidad, etc., también conocidas como coordenadas internas y r corresponde a posición espacial o coordenadas externas) dispersado en una fase continua definida por un vector de fase Y ( r , t) (que nuevamente es una función de todos los vectores que denotan las propiedades de fase en varias ubicaciones) se denota por f ( x , r , t). Por lo tanto, le da a la partícula características en los dominios de propiedad y espacio. Sea h( x , r , Y ,t) la tasa de natalidad de partículas por unidad de volumen del espacio de estados de partículas, por lo que la conservación del número se puede escribir como ^[7]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,f(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,t)=\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,h(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,\mathbf {Y} ,t)}$

Esta es una forma generalizada de PBE. ^[7]

Solución al PBE

Para resolver estas ecuaciones se utilizan principalmente los métodos de Monte Carlo ^[8] , ^[9], los métodos de discretización ^[10] y los métodos de momentos ^{[8] [ 9 ] [11] [12] [13] [14]} . La elección depende de la aplicación y la infraestructura informática. ^[1]

Referencias

1. Totis, Niccolò; Nieto, César; Kuper, Armin; Vargas García, César; Singh, Abhyudai; Waldherr, Steffen (abril de 2021). "Un enfoque basado en la población para estudiar los efectos de las tasas de crecimiento y división en la dinámica de las estadísticas del tamaño de las células". Cartas de sistemas de control IEEE . 5 (2): 725–730. doi :10.1109/LCSYS.2020.3005069. ISSN  2475-1456. S2CID  220606401.
2. Hulburt, HM; Katz, S. (agosto de 1964). "Algunos problemas en la tecnología de partículas". Ciencias de la Ingeniería Química . 19 (8): 555–574. doi :10.1016/0009-2509(64)85047-8.
3. Bortot Coelho, Fabricio Eduardo; Balarini, Julio Cézar; Araújo, Estêvão Magno Rodrigues; Miranda, Tânia Lúcia Santos; Peres, Antonio Eduardo Clark; Martins, Alfonso Henriques; Salum, Adriane (junio de 2020). "Un enfoque de equilibrio poblacional para predecir el desempeño de reactores de lixiviación continua: validación del modelo en una planta piloto utilizando un concentrado de zinc tostado". Hidrometalurgia . 194 : 105301. Código bibliográfico : 2020HydMe.19405301B. doi :10.1016/j.hidromet.2020.105301. S2CID  216301270.
4. Coelho, Fabricio Eduardo Bortot; Balarini, Julio Cézar; Araújo, Estêvão Magno Rodrigues; Miranda, Tânia Lúcia Santos; Peres, Antonio Eduardo Clark; Martins, Alfonso Henriques; Salum, Adriane (enero de 2018). "Lixiviación de concentrado de zinc tostado: modelación y validación del equilibrio poblacional". Hidrometalurgia . 175 : 208–217. Código Bib : 2018HydMe.175..208C. doi :10.1016/j.hidromet.2017.11.013.
5. Bisang JM, Colli AN (2022). "Distribución de corriente y potencial en reactores electroquímicos bifásicos (con evolución de gas) mediante el método de volumen finito". Revista de la Sociedad Electroquímica . 169 (3): 034524. Código bibliográfico : 2022JElS..169c4524C. doi :10.1149/1945-7111/ac5d90. S2CID  247463029.
6. Alhuthali, Sakhr; Fadda, Sara; Goey, Cher H.; Kontoravdi, Cleo (1 de enero de 2017). "Modelo de equilibrio poblacional de múltiples etapas para comprender la dinámica del cultivo de células CHO por lotes alimentados". En Espuña, Antonio; Graells, Moisés; Puigjaner, Luis (eds.). 27º Simposio Europeo sobre Ingeniería de Procesos Asistida por Computadora . 27 Simposio europeo sobre ingeniería de procesos asistida por ordenador. vol. 40. Elsevier. págs. 2821–2826. doi :10.1016/B978-0-444-63965-3.50472-4. ISBN 9780444639653. {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda )
7. Ramkrishna, D .: Balances de población: teoría y aplicaciones a sistemas de partículas en ingeniería , Academic Press, 2000
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9. Hashemian, N.; Ghanaatpishe, M.; Armaou, A. (2016). "Desarrollo de un modelo de orden reducido para procesos de granulación de dos componentes mediante polinomios de Laguerre". Conferencia Americana de Control (ACC) 2016 . págs. 3668–3673. doi :10.1109/ACC.2016.7525483. ISBN 978-1-4673-8682-1. S2CID  7505525.
10. Lehnigk, Ronald; Bainbridge, William; Liao, Yixiang; Lucas, Dirk; Niemi, Timo; Peltola, Juho; Schlegel, Fabián (2022). "Un marco de modelado de equilibrio poblacional de código abierto para la simulación de flujos multifásicos polidispersos". Revista AIChE . 68 (3). doi : 10.1002/aic.17539 . S2CID  245082193.
11. Descripción de la dinámica de aerosoles mediante el método de cuadratura de momentos, Robert McGrawa, Aerosol Science and Technology, volumen 27, número 2, 1997, páginas 255-265
12. Yu, M., Lin, J. y Chan, T. (2008). Un nuevo método de momento para resolver la ecuación de coagulación de partículas en movimiento browniano. Ciencia del aerosol. Tecnología, 42(9):705–713.
13. Marchisio, DL y Fox, RO (2005). Solución de ecuaciones de equilibrio poblacional utilizando el método de momentos en cuadratura directa. J. Aerosol Sci., 36(1):43–73.
14. Andalibi, M. Reza; Kumar, Abhishek; Srinivasan, Bhuvanesh; Bowen, Pablo; Escribano, Karen; Luis, cristiano; Testino, Andrea (2018). "Sobre el mecanismo de mesoescala de la precipitación sintética de silicato de calcio e hidrato: un enfoque de modelización del equilibrio poblacional". Revista de Química de Materiales A. 6 (2): 363–373. doi :10.1039/C7TA08784E. ISSN  2050-7488.