Enredo aplastado

El entrelazamiento aplastado , también llamado entrelazamiento CMI (CMI se puede pronunciar "see me"), es una medida de la teoría de la información del entrelazamiento cuántico para un sistema cuántico bipartito. Si es la matriz de densidad de un sistema compuesto por dos subsistemas y , entonces el entrelazamiento CMI del sistema se define por ${\displaystyle \varrho _{A,B}}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E_{CMI}}$ ${\displaystyle (A,B)}$

donde es el conjunto de todas las matrices de densidad para un sistema tripartito tal que . Por lo tanto, el entrelazamiento CMI se define como un extremo de un funcional de . Definimos , la Información Mutua Condicional cuántica (CMI) , a continuación. Una versión más general de la ecuación (1) reemplaza el "min" (mínimo) en la ecuación (1) por un "inf" ( ínfimo ). Cuando es un estado puro, , de acuerdo con la definición de entrelazamiento de formación para estados puros. Aquí está la entropía de Von Neumann de la matriz de densidad . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle (A,B,\Lambda )}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B}=tr_{\Lambda }(\varrho _{A,B,\Lambda })}$ ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B}}$ ${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})=S(\varrho _{A})=S(\varrho _{B})}$ ${\displaystyle S(\varrho )}$ ${\displaystyle \varrho }$

Motivación para la definición de entrelazamiento CMI

El entrelazamiento CMI tiene sus raíces en la teoría de la información clásica (no cuántica) , como explicamos a continuación.

Dadas dos variables aleatorias cualesquiera , la teoría de la información clásica define la información mutua , una medida de correlaciones, como ${\displaystyle A,B}$

Para tres variables aleatorias , define el CMI como ${\displaystyle A,B,\Lambda }$

Se puede demostrar que . ${\displaystyle H(A:B|\Lambda )\geq 0}$

Supongamos ahora que la matriz de densidad de un sistema tripartito es . Representaremos la traza parcial de con respecto a uno o dos de sus subsistemas por con el símbolo del sistema trazado borrado. Por ejemplo, . Se puede definir un análogo cuántico de la ecuación (2) por ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle (A,B,\Lambda )}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B}=tr_{\Lambda }(\varrho _{A,B,\Lambda })}$

y un análogo cuántico de la ecuación (3) por

Se puede demostrar que . Esta desigualdad a menudo se denomina propiedad de subaditividad fuerte de la entropía cuántica. ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )\geq 0}$

Consideremos tres variables aleatorias con distribución de probabilidad , que abreviaremos como . Para aquellos especiales de la forma ${\displaystyle A,B,\Lambda }$ ${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }(a,b,\lambda )}$ ${\displaystyle P(a,b,\lambda )}$ ${\displaystyle P(a,b,\lambda )}$

Fig.1: Representación de red bayesiana de la ecuación (6)

Se puede demostrar que . Las distribuciones de probabilidad de la forma Eq.(6) están de hecho descritas por la red bayesiana que se muestra en la Fig.1. ${\displaystyle H(A:B|\Lambda )=0}$

Se puede definir un entrelazamiento CMI clásico mediante

donde es el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad en tres variables aleatorias , tales que para todos . Debido a que, dada una distribución de probabilidad , siempre se puede extender a una distribución de probabilidad que satisfaga la ecuación (6) ^{[ cita requerida ]} , se deduce que el entrelazamiento CMI clásico, , es cero para todos . El hecho de que siempre se anule es una motivación importante para la definición de . Queremos una medida del entrelazamiento cuántico que se anule en el régimen clásico. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle A,B,\Lambda }$ ${\displaystyle \sum _{\lambda }P_{A,B,\Lambda }(a,b,\lambda )=P_{A,B}(a,b)\,}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle P_{A,B}}$ ${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle E_{CMI}(P_{A,B})}$ ${\displaystyle P_{A,B}}$ ${\displaystyle E_{CMI}(P_{A,B})}$ ${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})}$

Supóngase que para es un conjunto de números no negativos que suman uno, y para es una base ortonormal para el espacio de Hilbert asociado con un sistema cuántico . Supóngase que y , para son matrices de densidad para los sistemas y , respectivamente. Se puede demostrar que la siguiente matriz de densidad ${\displaystyle w_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$ ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \varrho _{A}^{\lambda }}$ ${\displaystyle \varrho _{B}^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

satisface . La ecuación (8) es la contraparte cuántica de la ecuación (6). Al trazar la matriz de densidad de la ecuación (8) sobre , obtenemos , que es un estado separable . Por lo tanto, dado por la ecuación (1) se anula para todos los estados separables. ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )=0}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \varrho _{A,B}=\sum _{\lambda }\varrho _{A}^{\lambda }\varrho _{B}^{\lambda }w_{\lambda }\,}$ ${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})}$

Cuando es un estado puro, se obtiene . Esto concuerda con la definición de entrelazamiento de formación para estados puros, como se da en Ben96 . ${\displaystyle \varrho _{A,B}}$ ${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})=S(\varrho _{A})=S(\varrho _{B})}$

Supongamos a continuación que hay algunos estados en el espacio de Hilbert asociados con un sistema cuántico . Sea el conjunto de matrices de densidad definidas previamente para la ecuación (1). Definamos que es el conjunto de todas las matrices de densidad que son elementos de y tienen la forma especial . Se puede demostrar que si reemplazamos en la ecuación (1) el conjunto por su subconjunto apropiado , entonces la ecuación (1) se reduce a la definición de entrelazamiento de formación para estados mixtos, como se da en Ben96 . y representan diferentes grados de conocimiento sobre cómo se creó. representa ignorancia total. ${\displaystyle |\psi _{A,B}^{\lambda }\rangle }$ ${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{o}}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }=\sum _{\lambda }|\psi _{A,B}^{\lambda }\rangle \langle \psi _{A,B}^{\lambda }|w_{\lambda }|\lambda \rangle \langle \lambda |\,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{o}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{o}}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle K}$

Dado que el entrelazamiento de CMI se reduce al entrelazamiento de formación si se minimiza sobre en lugar de , se espera que el entrelazamiento de CMI herede muchas propiedades deseables del entrelazamiento de formación. ${\displaystyle K_{o}}$ ${\displaystyle K}$

Historia

La importante desigualdad fue demostrada por primera vez por Lieb y Ruskai en LR73 . ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )\geq 0}$

La CMI clásica, dada por la ecuación (3), entró por primera vez en la tradición de la teoría de la información , poco después del artículo seminal de Shannon de 1948 y al menos tan temprano como 1954 en McG54 . La CMI cuántica, dada por la ecuación (5), fue definida por primera vez por Cerf y Adami en Cer96 . Sin embargo, parece que Cerf y Adami no se dieron cuenta de la relación de la CMI con el entrelazamiento o la posibilidad de obtener una medida del entrelazamiento cuántico basada en la CMI; esto se puede inferir, por ejemplo, de un artículo posterior, Cer97 , donde intentan usar en lugar de la CMI para comprender el entrelazamiento. El primer artículo que señala explícitamente una conexión entre la CMI y el entrelazamiento cuántico parece ser Tuc99 . ${\displaystyle S(A|B)}$

La definición final Eq.(1) del entrelazamiento CMI fue dada por primera vez por Tucci en una serie de 6 artículos. (Véase, por ejemplo, Eq.(8) de Tuc02 y Eq.(42) de Tuc01a ). En Tuc00b , señaló la motivación de probabilidad clásica de Eq.(1), y su conexión con las definiciones de entrelazamiento de formación para estados puros y mixtos. En Tuc01a , presentó un algoritmo y un programa informático, basados ​​en el método Arimoto-Blahut de teoría de la información, para calcular numéricamente el entrelazamiento CMI. En Tuc01b , calculó el entrelazamiento CMI analíticamente, para un estado mixto de dos qubits .

En Hay03 , Hayden, Jozsa, Petz y Winter exploraron la conexión entre la CMI cuántica y la separabilidad .

Sin embargo, no fue hasta Chr03 que se demostró que el entrelazamiento CMI es de hecho una medida de entrelazamiento, es decir, que no aumenta bajo Operaciones Locales y Comunicación Clásica (LOCC). La prueba adaptó los argumentos de Ben96 sobre el entrelazamiento de formación. En Chr03 , también demostraron muchas otras desigualdades interesantes relacionadas con el entrelazamiento CMI, incluido que era aditivo, y exploraron su conexión con otras medidas de entrelazamiento. El nombre de entrelazamiento aplastado apareció por primera vez en Chr03 . En Chr05 , Christandl y Winter calcularon analíticamente el entrelazamiento CMI de algunos estados interesantes.

En Ali03 , Alicki y Fannes demostraron la continuidad del entrelazamiento CMI. En BCY10 , Brandao, Christandl y Yard demostraron que el entrelazamiento CMI es cero si y solo si el estado es separable. En Hua14 , Huang demostró que calcular el entrelazamiento aplastado es NP-hard.

Referencias

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• BCY10 Brandao, F.; Christandl, M.; Yard, J. (septiembre de 2011). "Enredo aplastado fiel". Communications in Mathematical Physics . 306 (3): 805–830. arXiv : 1010.1750 . Código Bibliográfico :2011CMaPh.306..805B. doi :10.1007/s00220-011-1302-1. S2CID  46576412.
• Ben96 Bennett, Charles H.; DiVincenzo, David P.; Smolin, John A.; Wootters, William K. (1996). "Enredo de estados mixtos y corrección de errores cuánticos". Physical Review A . 54 (5): 3824–3851. arXiv : quant-ph/9604024 . Código Bibliográfico :1996PhRvA..54.3824B. doi :10.1103/PhysRevA.54.3824. PMID  9913930. S2CID  3059636.
• Cer96 Cerf, NJ; Adami, C. (1996). "Mecánica cuántica de la medición". arXiv : quant-ph/9605002 .
• Cer97 Cerf, NJ; Adami, C.; Gingrich, RM (1999). "Operador condicional cuántico y un criterio para separabilidad". Physical Review A . 60 (2): 893–898. arXiv : quant-ph/9710001 . Código Bibliográfico :1999PhRvA..60..893C. doi :10.1103/PhysRevA.60.893. S2CID  119451904.
• Chr03 Matthias Christandl; Andreas Winter (2003). ""Enredo aplastado": una medida de entrelazamiento aditivo". Journal of Mathematical Physics . 45 (3): 829–840. arXiv : quant-ph/0308088 . Bibcode :2004JMP....45..829C. doi :10.1063/1.1643788. S2CID  119459299.
• Chr05 Matthias Christandl; Andreas Winter (2005). "Incertidumbre, monogamia y bloqueo de correlaciones cuánticas". IEEE Transactions on Information Theory . 51 (9): 3159–3165. arXiv : quant-ph/0501090 . doi :10.1109/TIT.2005.853338. S2CID  7911129.
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• LR73 Elliott H. Lieb, Mary Beth Ruskai, "Prueba de la fuerte subaditividad de la entropía mecánico-cuántica", Journal of Mathematical Physics 14 (1973) 1938–1941.
• McG54 WJ McGill, "Transmisión de información multivariable", IRE Trans. Info. Theory 4 (1954) 93–111.
• Tuc99 Tucci, Robert R. (1999). "Entrelazamiento cuántico y transmisión de información condicional". arXiv : quant-ph/9909041 .
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• Tuc02 Tucci, Robert R. (2002). "Enredo de destilación e información mutua condicional". arXiv : quant-ph/0202144 .

Enlaces externos

• Fiel enredo aplastado