Alcance de un proyectil

La trayectoria de este proyectil lanzado desde una altura y ₀ tiene un alcance d.

En física , un proyectil lanzado con unas condiciones iniciales específicas tendrá un alcance . Puede ser más predecible suponiendo una Tierra plana con un campo de gravedad uniforme y sin resistencia del aire . Los alcances horizontales de un proyectil son iguales para dos ángulos de proyección complementarios con la misma velocidad.

Lo siguiente se aplica a distancias pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra. Para distancias mayores, véase vuelo espacial suborbital . La distancia horizontal máxima recorrida por el proyectil , sin tener en cuenta la resistencia del aire, se puede calcular de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

dónde

• d es la distancia horizontal total recorrida por el proyectil.
• v es la velocidad a la que se lanza el proyectil
• g es la aceleración gravitacional , que generalmente se considera 9,81 m/s ² (32 f/s ² ) cerca de la superficie de la Tierra
• θ es el ángulo en el que se lanza el proyectil
• y ₀ es la altura inicial del proyectil

Si y ₀ se toma como cero, lo que significa que el objeto se lanza sobre terreno plano, el alcance del proyectil se simplificará a:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Movimiento ideal de proyectiles

El movimiento ideal de un proyectil establece que no hay resistencia del aire ni cambios en la aceleración gravitacional . Esta suposición simplifica enormemente las matemáticas y es una aproximación cercana al movimiento real del proyectil en los casos en que las distancias recorridas son pequeñas. El movimiento ideal de un proyectil también es una buena introducción al tema antes de agregar las complicaciones de la resistencia del aire.

Derivaciones

Un ángulo de lanzamiento de 45 grados desplaza el proyectil más lejos en sentido horizontal. Esto se debe a la naturaleza de los triángulos rectángulos. Además, de la ecuación para el alcance:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Podemos observar que el rango será máximo cuando el valor de sea el más alto (es decir, cuando sea igual a 1). Claramente, tiene que ser 90 grados. Es decir, es 45 grados. ${\displaystyle \sin 2\theta }$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Terreno plano

Alcance de un proyectil (en el espacio ).

Primero examinamos el caso donde ( y ₀ ) es cero. La posición horizontal del proyectil es

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

En dirección vertical

${\displaystyle y(t)=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Nos interesa el tiempo en el que el proyectil vuelve a la misma altura a la que se había originado. Sea t _g cualquier tiempo en el que la altura del proyectil sea igual a su valor inicial.

${\displaystyle 0=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Mediante factorización:

${\displaystyle t=0}$

o

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

pero t = T = tiempo de vuelo

${\displaystyle T={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

La primera solución corresponde al momento en que se lanza el proyectil por primera vez. La segunda solución es la que sirve para determinar el alcance del proyectil. Introduciendo este valor de ( t ) en la ecuación horizontal se obtiene

${\displaystyle x={\frac {2v^{2}\cos \theta \,\sin \theta }{g}}}$

Aplicación de la identidad trigonométrica

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\,\cos y\ +\ \sin y\,\cos x}$

Si x e y son iguales,

${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \,\cos \theta }$

nos permite simplificar la solución a

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Nótese que cuando ( θ ) es 45°, la solución se convierte en

${\displaystyle d_{\max }={\frac {v^{2}}{g}}}$

Terreno irregular

Ahora permitiremos que ( y ₀ ) sea distinto de cero. Nuestras ecuaciones de movimiento son ahora

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

y

${\displaystyle y(t)=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Una vez más, resolvemos ( t ) en el caso en que la posición ( y ) del proyectil esté en cero (ya que así es como definimos nuestra altura inicial para empezar)

${\displaystyle 0=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Nuevamente, aplicando la fórmula cuadrática, encontramos dos soluciones para el tiempo. Después de varios pasos de manipulación algebraica

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}\pm {\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

La raíz cuadrada debe ser un número positivo y, dado que la velocidad y el seno del ángulo de lanzamiento también se pueden suponer positivos, la solución con el tiempo mayor se dará cuando se utilice el signo positivo del signo más o del signo menos. Por lo tanto, la solución es

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}+{\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

Resolviendo el rango una vez más

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

Para maximizar el alcance a cualquier altura

${\displaystyle \theta =\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}}$

Comprobando el límite a medida que se acerca a 0 ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \lim _{y_{0}\to 0}\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}={\frac {\pi }{4}}}$

Angulo de impacto

El ángulo ψ en el que cae el proyectil viene dado por:

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {-v_{y}(t_{d})}{v_{x}(t_{d})}}={\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{v\cos \theta }}}$

Para obtener el máximo alcance, esto da como resultado la siguiente ecuación:

${\displaystyle \tan ^{2}\psi ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}=C+1}$

Reescribiendo la solución original para θ, obtenemos:

${\displaystyle \tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}={\frac {1}{C+1}}}$

Multiplicando por la ecuación para (tan ψ)^2 obtenemos:

${\displaystyle \tan ^{2}\psi \,\tan ^{2}\theta ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}=1}$

Debido a la identidad trigonométrica

${\displaystyle \tan(\theta +\psi )={\frac {\tan \theta +\tan \psi }{1-\tan \theta \tan \psi }}}$,

Esto significa que θ + ψ deben ser 90 grados.

Movimiento real del proyectil

Además de la resistencia del aire , que ralentiza el proyectil y reduce su alcance, también hay que tener en cuenta muchos otros factores cuando se considera el movimiento real del proyectil.

Características del proyectil

En términos generales, un proyectil con mayor volumen enfrenta una mayor resistencia del aire , lo que reduce su alcance. (Y véase Trayectoria de un proyectil ). La resistencia al aire puede modificarse según la forma del proyectil: un proyectil alto y ancho, pero corto, enfrentará una mayor resistencia del aire que un proyectil bajo y estrecho, pero largo, del mismo volumen. También debe considerarse la superficie del proyectil: un proyectil liso enfrentará una menor resistencia del aire que uno de superficie rugosa, y las irregularidades en la superficie de un proyectil pueden cambiar su trayectoria si crean más resistencia en un lado del proyectil que en el otro. Sin embargo, ciertas irregularidades, como los hoyuelos de una pelota de golf, pueden en realidad aumentar su alcance al reducir la cantidad de turbulencia causada detrás del proyectil a medida que viaja. ^{[ cita requerida ]} La masa también se vuelve importante, ya que un proyectil más masivo tendrá más energía cinética y, por lo tanto, se verá menos afectado por la resistencia del aire. La distribución de masa dentro del proyectil también puede ser importante, ya que un proyectil con peso desigual puede girar de manera indeseable, causando irregularidades en su trayectoria debido al efecto magnus .

Si se hace girar un proyectil a lo largo de su eje de desplazamiento, las irregularidades en la forma del proyectil y en la distribución del peso tienden a anularse. Véase estrías para una explicación más detallada.

Cañones de armas de fuego

En el caso de los proyectiles que se lanzan con armas de fuego y artillería, la naturaleza del cañón del arma también es importante. Los cañones más largos permiten que se transmita más energía del propulsor al proyectil, lo que produce un mayor alcance. El estriado , si bien puede no aumentar el alcance promedio ( media aritmética ) de muchos disparos de la misma arma, aumentará la precisión y exactitud del arma.

Rangos muy amplios

Se han creado algunos cañones u obuses con un alcance muy grande.

Durante la Primera Guerra Mundial, los alemanes crearon un cañón excepcionalmente grande, el Cañón de París , que podía disparar un proyectil a más de 130 km. Corea del Norte ha desarrollado un cañón conocido en Occidente como Koksan , con un alcance de 60 km utilizando proyectiles asistidos por cohetes. (Y véase Trayectoria de un proyectil .)

Estos cañones se distinguen de los cohetes , o misiles balísticos , que tienen sus propios motores de cohete, que continúan acelerando el misil durante un período después de que han sido lanzados.

Véase también

• Trayectoria
• Movimiento de proyectil
• Velocidad de escape

Referencias

1. Gallant, Joseph (2012). Hacer física con Scientific Notebook: un enfoque de resolución de problemas. John Wiley & Sons . p. 132. ISBN 978-1-119-94194-1.Extracto de la página 132. Nótese que el yy _{0 de la fuente se reemplaza por el y 0} del artículo .