Granulometría (morfología)

En morfología matemática , la granulometría es un método para calcular una distribución de tamaño de granos en imágenes binarias , utilizando una serie de operaciones de apertura morfológica . Fue introducida por Georges Matheron en la década de 1960 y es la base para la caracterización del concepto de tamaño en morfología matemática.

Granulometría generada por un elemento estructurante

Sea B un elemento estructurante en un espacio o cuadrícula euclidiana E , y considérese la familia , , dada por: ${\displaystyle \{B_{k}\}}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle B_{k}=\underbrace {B\oplus \ldots \oplus B} _{k{\mbox{ times}}}}$,

donde denota dilatación morfológica . Por convención, es el conjunto que contiene solo el origen de E , y . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{1}=B}$

Sea X un conjunto (es decir, una imagen binaria en morfología matemática), y considérese la serie de conjuntos , , dada por: ${\displaystyle \{\gamma _{k}(X)\}}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle \gamma _{k}(X)=X\circ B_{k}}$,

donde denota la apertura morfológica. ${\displaystyle \circ }$

La función de granulometría es la cardinalidad (es decir, área o volumen , en el espacio euclidiano continuo, o número de elementos, en cuadrículas) de la imagen : ${\displaystyle G_{k}(X)}$ ${\displaystyle \gamma _{k}(X)}$

${\displaystyle G_{k}(X)=|\gamma _{k}(X)|}$.

El espectro de patrones o distribución de tamaño de X es la colección de conjuntos , , dada por: ${\displaystyle \{PS_{k}(X)\}}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle PS_{k}(X)=G_{k}(X)-G_{k+1}(X)}$.

El parámetro k se denomina tamaño y el componente k del espectro del patrón proporciona una estimación aproximada de la cantidad de granos de tamaño k en la imagen X. Los picos de indican cantidades relativamente grandes de granos de los tamaños correspondientes. ${\displaystyle PS_{k}(X)}$ ${\displaystyle PS_{k}(X)}$

Axiomas de tamizado

El método común mencionado anteriormente es un caso particular del enfoque más general derivado por Georges Matheron . El matemático francés se inspiró en el tamizado como un medio para caracterizar el tamaño . En el tamizado, una muestra granular se pasa a través de una serie de tamices con tamaños de orificios decrecientes. Como consecuencia, los diferentes granos de la muestra se separan según sus tamaños.

La operación de pasar una muestra a través de un tamiz de cierto tamaño de orificio " k " se puede describir matemáticamente como un operador que devuelve el subconjunto de elementos en X con tamaños menores o iguales a k . Esta familia de operadores satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle \Psi _{k}(X)}$

1. Anti-extensividad : Cada tamiz reduce la cantidad de granos, es decir , ${\displaystyle \Psi _{k}(X)\subseteq X}$
2. Crecimiento : El resultado de tamizar un subconjunto de una muestra es un subconjunto del tamizado de esa muestra, es decir , ${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \Psi _{k}(X)\subseteq \Psi _{k}(Y)}$
3. " Estabilidad ": El resultado del paso por dos tamices lo determina el tamiz con el tamaño de orificio más pequeño, es decir, . ${\displaystyle \Psi _{k}\Psi _{m}(X)=\Psi _{m}\Psi _{k}(X)=\Psi _{\min(k,m)}(X)}$

Una familia de operadores generadores de granulometría debe satisfacer los tres axiomas anteriores.

En el caso anterior (granulometría generada por un elemento estructurante), . ${\displaystyle \Psi _{k}(X)=\gamma _{k}(X)=X\circ B_{k}}$

Otro ejemplo de familia generadora de granulometría es cuando , donde es un conjunto de elementos estructurantes lineales con diferentes direcciones. ${\displaystyle \Psi _{k}(X)=\bigcup _{i=1}^{N}X\circ (B^{(i)})_{k}}$ ${\displaystyle \{B^{(i)}\}}$

Véase también

• Distribución del tamaño de partículas
• Tamaño del grano
• Granulometría óptica

Referencias

• Conjuntos aleatorios y geometría integral , por Georges Matheron, Wiley 1975, ISBN  0-471-57621-2 .
• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982) 
• Segmentación de imágenes por granulometrías morfológicas locales, Dougherty, ER, Kraus, EJ y Pelz, JB., Simposio sobre geociencias y teledetección, 1989. IGARSS'89, doi :10.1109/IGARSS.1989.576052 (1989)
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas, de Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Análisis de imágenes morfológicas: principios y aplicaciones de Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999)