Información mutua

Medida de dependencia entre dos variables

Diagrama de Venn que muestra relaciones aditivas y sustractivas de varias medidas de información asociadas con variables correlacionadas y . ^[1] El área contenida por cada círculo es la entropía conjunta . El círculo de la izquierda (rojo y violeta) es la entropía individual , siendo el rojo la entropía condicional . El círculo de la derecha (azul y violeta) es , siendo el azul . El violeta es la información mutua . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (X\mid Y)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (Y)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (Y\mid X)}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)}$

En teoría de la probabilidad y teoría de la información , la información mutua ( IM ) de dos variables aleatorias es una medida de la dependencia mutua entre las dos variables. Más específicamente, cuantifica la " cantidad de información " (en unidades como shannons ( bits ), nats o hartleys ) obtenida sobre una variable aleatoria al observar la otra variable aleatoria. El concepto de información mutua está íntimamente ligado al de entropía de una variable aleatoria, una noción fundamental en la teoría de la información que cuantifica la "cantidad de información" esperada contenida en una variable aleatoria.

No se limita a variables aleatorias de valor real y dependencia lineal como el coeficiente de correlación , MI es más general y determina qué tan diferente es la distribución conjunta del par del producto de las distribuciones marginales de y . MI es el valor esperado de la información mutua puntual (PMI). ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La cantidad fue definida y analizada por Claude Shannon en su artículo de referencia " Una teoría matemática de la comunicación ", aunque no la llamó "información mutua". Este término fue acuñado más tarde por Robert Fano . ^[2] La información mutua también se conoce como ganancia de información .

Definición

Sea un par de variables aleatorias con valores en el espacio . Si su distribución conjunta es y las distribuciones marginales son y , la información mutua se define como ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle P_{(X,Y)}}$ ${\displaystyle P_{X}}$ ${\displaystyle P_{Y}}$

${\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(P_{(X,Y)}\|P_{X}\otimes P_{Y})}$

donde es la divergencia de Kullback–Leibler , y es la distribución del producto externo que asigna probabilidad a cada . ${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }}$ ${\displaystyle P_{X}\otimes P_{Y}}$ ${\displaystyle P_{X}(x)\cdot P_{Y}(y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Nótese que, según la propiedad de la divergencia de Kullback–Leibler , es igual a cero precisamente cuando la distribución conjunta coincide con el producto de las marginales, es decir, cuando y son independientes (y, por lo tanto, observar no dice nada sobre ). no es negativo, es una medida del precio de codificar como un par de variables aleatorias independientes cuando en realidad no lo son. ${\displaystyle I(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I(X;Y)}$ ${\displaystyle (X,Y)}$

Si se utiliza el logaritmo natural , la unidad de información mutua es el nat . Si se utiliza el logaritmo en base 2, la unidad de información mutua es el shannon , también conocido como bit. Si se utiliza el logaritmo en base 10, la unidad de información mutua es el hartley , también conocido como ban o dit.

En términos de PMF para distribuciones discretas

La información mutua de dos variables aleatorias discretas conjuntamente se calcula como una suma doble: ^{[3] : 20} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

donde es la función de masa de probabilidad conjunta de y , y y son las funciones de masa de probabilidad marginal de y respectivamente. ${\displaystyle P_{(X,Y)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P_{X}}$ ${\displaystyle P_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

En términos de PDF para distribuciones continuas

En el caso de variables aleatorias conjuntamente continuas, la doble suma se reemplaza por una doble integral : ^{[3] : 251}

donde ahora es la función de densidad de probabilidad conjunta de y , y y son las funciones de densidad de probabilidad marginal de y respectivamente. ${\displaystyle P_{(X,Y)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P_{X}}$ ${\displaystyle P_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Motivación

Intuitivamente, la información mutua mide la información que y comparten: mide en qué medida el conocimiento de una de estas variables reduce la incertidumbre sobre la otra. Por ejemplo, si y son independientes, entonces el conocimiento no proporciona ninguna información sobre y viceversa, por lo que su información mutua es cero. En el otro extremo, si es una función determinista de y es una función determinista de entonces toda la información transmitida por se comparte con : el conocimiento determina el valor de y viceversa. Como resultado, la información mutua es la misma que la incertidumbre contenida en (o ) solo, es decir, la entropía de (o ). Un caso muy especial de esto es cuando y son la misma variable aleatoria. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La información mutua es una medida de la dependencia inherente expresada en la distribución conjunta de y en relación con la distribución marginal de y bajo el supuesto de independencia. Por lo tanto, la información mutua mide la dependencia en el siguiente sentido: si y solo si y son variables aleatorias independientes. Esto es fácil de ver en una dirección: si y son independientes, entonces , y por lo tanto: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p_{(X,Y)}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}$

${\displaystyle \log {\left({\frac {p_{(X,Y)}(x,y)}{p_{X}(x)\,p_{Y}(y)}}\right)}=\log 1=0.}$

Además, la información mutua es no negativa (es decir, ver más abajo) y simétrica (es decir, ver más abajo). ${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=\operatorname {I} (Y;X)}$

Propiedades

No negatividad

Usando la desigualdad de Jensen en la definición de información mutua podemos demostrar que no es negativa, es decir ^{[3] : 28} ${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)}$

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)\geq 0}$

Simetría

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=\operatorname {I} (Y;X)}$

La prueba se da considerando la relación con la entropía, como se muestra a continuación.

Supermodularidad bajo independencia

Si es independiente de , entonces ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A,B)}$

${\displaystyle \operatorname {I} (Y;A,B,C)-\operatorname {I} (Y;A,B)\geq \operatorname {I} (Y;A,C)-\operatorname {I} (Y;A)}$. ^[4]

Relación con la entropía condicional y conjunta

La información mutua se puede expresar de forma equivalente como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} (X;Y)&{}\equiv \mathrm {H} (X)-\mathrm {H} (X\mid Y)\\&{}\equiv \mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (Y\mid X)\\&{}\equiv \mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (X,Y)\\&{}\equiv \mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X\mid Y)-\mathrm {H} (Y\mid X)\end{aligned}}}$

donde y son las entropías marginales , y son las entropías condicionales , y es la entropía conjunta de y . ${\displaystyle \mathrm {H} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (Y)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (X\mid Y)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (Y\mid X)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Nótese la analogía con la unión, diferencia e intersección de dos conjuntos: a este respecto, todas las fórmulas dadas anteriormente son evidentes a partir del diagrama de Venn presentado al comienzo del artículo.

En términos de un canal de comunicación en el que la salida es una versión ruidosa de la entrada , estas relaciones se resumen en la figura: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Las relaciones entre las magnitudes teóricas de la información

Como no es negativo, por lo tanto, . Aquí damos la deducción detallada de para el caso de variables aleatorias discretas conjuntas: ${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (X)\geq \mathrm {H} (X\mid Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=\mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (Y\mid X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} (X;Y)&{}=\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p_{(X,Y)}(x,y)\log {\frac {p_{(X,Y)}(x,y)}{p_{X}(x)p_{Y}(y)}}\\&{}=\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p_{(X,Y)}(x,y)\log {\frac {p_{(X,Y)}(x,y)}{p_{X}(x)}}-\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p_{(X,Y)}(x,y)\log p_{Y}(y)\\&{}=\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p_{X}(x)p_{Y\mid X=x}(y)\log p_{Y\mid X=x}(y)-\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p_{(X,Y)}(x,y)\log p_{Y}(y)\\&{}=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p_{X}(x)\left(\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}p_{Y\mid X=x}(y)\log p_{Y\mid X=x}(y)\right)-\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\left(\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p_{(X,Y)}(x,y)\right)\log p_{Y}(y)\\&{}=-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p_{X}(x)\mathrm {H} (Y\mid X=x)-\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}p_{Y}(y)\log p_{Y}(y)\\&{}=-\mathrm {H} (Y\mid X)+\mathrm {H} (Y)\\&{}=\mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (Y\mid X).\\\end{aligned}}}$

Las pruebas de las demás identidades anteriores son similares. La prueba del caso general (no solo del discreto) es similar, con integrales que reemplazan a las sumas.

Intuitivamente, si se considera la entropía como una medida de incertidumbre sobre una variable aleatoria, entonces es una medida de lo que no dice sobre . Esto es "la cantidad de incertidumbre que queda sobre después de que se conoce", y por lo tanto el lado derecho de la segunda de estas igualdades se puede leer como "la cantidad de incertidumbre en , menos la cantidad de incertidumbre en que permanece después de que se conoce", que es equivalente a "la cantidad de incertidumbre en que se elimina al saber ". Esto corrobora el significado intuitivo de información mutua como la cantidad de información (es decir, reducción de la incertidumbre) que el conocimiento de una variable proporciona sobre la otra. ${\displaystyle \mathrm {H} (Y)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (Y\mid X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Obsérvese que en el caso discreto y por lo tanto . Por lo tanto , y se puede formular el principio básico de que una variable contiene al menos tanta información sobre sí misma como cualquier otra variable puede proporcionar. ${\displaystyle \mathrm {H} (Y\mid Y)=0}$ ${\displaystyle \mathrm {H} (Y)=\operatorname {I} (Y;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (Y;Y)\geq \operatorname {I} (X;Y)}$

Relación con la divergencia de Kullback-Leibler

Para pares conjuntamente discretos o conjuntamente continuos , la información mutua es la divergencia de Kullback-Leibler del producto de las distribuciones marginales , , de la distribución conjunta , es decir, ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle p_{X}\cdot p_{Y}}$ ${\displaystyle p_{(X,Y)}}$

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=D_{\text{KL}}\left(p_{(X,Y)}\parallel p_{X}p_{Y}\right)}$

Además, sea la función de masa o densidad condicional. Entonces, tenemos la identidad ${\displaystyle p_{(X,Y)}(x,y)=p_{X\mid Y=y}(x)*p_{Y}(y)}$

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=\mathbb {E} _{Y}\left[D_{\text{KL}}\!\left(p_{X\mid Y}\parallel p_{X}\right)\right]}$

La prueba para variables aleatorias discretas conjuntas es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} (X;Y)&=\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{p_{(X,Y)}(x,y)\log \left({\frac {p_{(X,Y)}(x,y)}{p_{X}(x)\,p_{Y}(y)}}\right)}\\&=\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p_{X\mid Y=y}(x)p_{Y}(y)\log {\frac {p_{X\mid Y=y}(x)p_{Y}(y)}{p_{X}(x)p_{Y}(y)}}\\&=\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}p_{Y}(y)\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p_{X\mid Y=y}(x)\log {\frac {p_{X\mid Y=y}(x)}{p_{X}(x)}}\\&=\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}p_{Y}(y)\;D_{\text{KL}}\!\left(p_{X\mid Y=y}\parallel p_{X}\right)\\&=\mathbb {E} _{Y}\left[D_{\text{KL}}\!\left(p_{X\mid Y}\parallel p_{X}\right)\right].\end{aligned}}}$

De manera similar, esta identidad puede establecerse para variables aleatorias conjuntamente continuas.

Obsérvese que aquí la divergencia de Kullback-Leibler implica la integración sobre los valores de la variable aleatoria únicamente, y la expresión aún denota una variable aleatoria porque es aleatoria. Por lo tanto, la información mutua también puede entenderse como la expectativa de la divergencia de Kullback-Leibler de la distribución univariante de a partir de la distribución condicional de dada : cuanto más diferentes sean las distribuciones y en promedio, mayor será la ganancia de información . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{\text{KL}}(p_{X\mid Y}\parallel p_{X})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{X\mid Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p_{X\mid Y}}$ ${\displaystyle p_{X}}$

Estimación bayesiana de información mutua

Si se dispone de muestras de una distribución conjunta, se puede utilizar un enfoque bayesiano para estimar la información mutua de esa distribución. El primer trabajo en hacer esto, que también mostró cómo hacer una estimación bayesiana de muchas otras propiedades de la teoría de la información además de la información mutua, fue. ^[5] Investigadores posteriores han derivado ^[6] y ampliado ^[7] este análisis. Véase ^[8] para un artículo reciente basado en una previa específicamente diseñada para la estimación de la información mutua per se. Además, recientemente se propuso un método de estimación que tiene en cuenta los resultados continuos y multivariados, , en . ^[9] ${\displaystyle Y}$

Supuestos de independencia

La formulación de divergencia de Kullback-Leibler de la información mutua se basa en que uno está interesado en comparar con el producto externo completamente factorizado . En muchos problemas, como la factorización de matrices no negativas , uno está interesado en factorizaciones menos extremas; específicamente, uno desea comparar con una aproximación de matriz de bajo rango en alguna variable desconocida ; es decir, hasta qué grado uno podría tener ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle p(x)\cdot p(y)}$ ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle p(x,y)\approx \sum _{w}p^{\prime }(x,w)p^{\prime \prime }(w,y)}$

Alternativamente, uno podría estar interesado en saber cuánta información más lleva su factorización. En tal caso, el exceso de información que la distribución completa lleva sobre la factorización matricial está dado por la divergencia de Kullback-Leibler. ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle p(x,y)}$

${\displaystyle \operatorname {I} _{LRMA}=\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{\sum _{w}p^{\prime }(x,w)p^{\prime \prime }(w,y)}}\right)}},}$

La definición convencional de la información mutua se recupera en el caso extremo de que el proceso tenga un solo valor para . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w}$

Variaciones

Se han propuesto diversas variaciones de la información mutua para satisfacer distintas necesidades, entre ellas, variantes normalizadas y generalizaciones a más de dos variables.

Métrico

Muchas aplicaciones requieren una métrica , es decir, una medida de distancia entre pares de puntos. La cantidad

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X,Y)&=\mathrm {H} (X,Y)-\operatorname {I} (X;Y)\\&=\mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)-2\operatorname {I} (X;Y)\\&=\mathrm {H} (X\mid Y)+\mathrm {H} (Y\mid X)\\&=2\mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X)-\mathrm {H} (Y)\end{aligned}}}$

satisface las propiedades de una métrica ( desigualdad triangular , no negatividad , indiscernibilidad y simetría), donde por igualdad se entiende que se puede determinar completamente a partir de . ^[10] ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Esta métrica de distancia también se conoce como variación de la información .

Si son variables aleatorias discretas entonces todos los términos de entropía son no negativos, por lo que se puede definir una distancia normalizada. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle 0\leq d(X,Y)\leq \mathrm {H} (X,Y)}$

${\displaystyle D(X,Y)={\frac {d(X,Y)}{\mathrm {H} (X,Y)}}\leq 1.}$

La métrica es una métrica universal, en el sentido de que si cualquier otra medida de distancias permite medir lugares y cercanías, entonces también los juzgará cercanos. ^{[11] [ dudoso – discutir ]} ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$

Al introducir las definiciones se ve que

${\displaystyle D(X,Y)=1-{\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\mathrm {H} (X,Y)}}.}$

Esto se conoce como la distancia de Rajski. ^[12] En una interpretación de la información basada en la teoría de conjuntos (véase la figura de Entropía condicional ), esta es efectivamente la distancia de Jaccard entre y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Finalmente,

${\displaystyle D^{\prime }(X,Y)=1-{\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\max \left\{\mathrm {H} (X),\mathrm {H} (Y)\right\}}}}$

También es una métrica.

Información mutua condicional

A veces es útil expresar la información mutua de dos variables aleatorias condicionadas a una tercera.

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y|Z)=\mathbb {E} _{Z}[D_{\mathrm {KL} }(P_{(X,Y)|Z}\|P_{X|Z}\otimes P_{Y|Z})]}$

Para variables aleatorias discretas conjuntas esto toma la forma

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y|Z)=\sum _{z\in {\mathcal {Z}}}\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{p_{Z}(z)\,p_{X,Y|Z}(x,y|z)\log \left[{\frac {p_{X,Y|Z}(x,y|z)}{p_{X|Z}\,(x|z)p_{Y|Z}(y|z)}}\right]},}$

que se puede simplificar como

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y|Z)=\sum _{z\in {\mathcal {Z}}}\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p_{X,Y,Z}(x,y,z)\log {\frac {p_{X,Y,Z}(x,y,z)p_{Z}(z)}{p_{X,Z}(x,z)p_{Y,Z}(y,z)}}.}$

Para variables aleatorias continuas conjuntas esto toma la forma

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y|Z)=\int _{\mathcal {Z}}\int _{\mathcal {Y}}\int _{\mathcal {X}}{p_{Z}(z)\,p_{X,Y|Z}(x,y|z)\log \left[{\frac {p_{X,Y|Z}(x,y|z)}{p_{X|Z}\,(x|z)p_{Y|Z}(y|z)}}\right]}dxdydz,}$

que se puede simplificar como

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y|Z)=\int _{\mathcal {Z}}\int _{\mathcal {Y}}\int _{\mathcal {X}}p_{X,Y,Z}(x,y,z)\log {\frac {p_{X,Y,Z}(x,y,z)p_{Z}(z)}{p_{X,Z}(x,z)p_{Y,Z}(y,z)}}dxdydz.}$

El condicionamiento de una tercera variable aleatoria puede aumentar o disminuir la información mutua, pero siempre es cierto que

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y|Z)\geq 0}$

para variables aleatorias discretas y distribuidas conjuntamente . Este resultado se ha utilizado como elemento básico para demostrar otras desigualdades en la teoría de la información . ${\displaystyle X,Y,Z}$

Información de interacción

Se han propuesto varias generalizaciones de la información mutua a más de dos variables aleatorias, como la correlación total (o multiinformación) y la correlación total dual . La expresión y el estudio de la información mutua multivariante de alto grado se logró en dos trabajos aparentemente independientes: McGill (1954) ^[13], que llamó a estas funciones "información de interacción", y Hu Kuo Ting (1962). ^[14] La información de interacción se define para una variable de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {I} (X_{1})=\mathrm {H} (X_{1})}$

y para ${\displaystyle n>1,}$

${\displaystyle \operatorname {I} (X_{1};\,...\,;X_{n})=\operatorname {I} (X_{1};\,...\,;X_{n-1})-\operatorname {I} (X_{1};\,...\,;X_{n-1}\mid X_{n}).}$

Algunos autores invierten el orden de los términos del lado derecho de la ecuación anterior, lo que cambia el signo cuando el número de variables aleatorias es impar. (Y en este caso, la expresión de una sola variable se convierte en el negativo de la entropía). Nótese que

${\displaystyle I(X_{1};\ldots ;X_{n-1}\mid X_{n})=\mathbb {E} _{X_{n}}[D_{\mathrm {KL} }(P_{(X_{1},\ldots ,X_{n-1})\mid X_{n}}\|P_{X_{1}\mid X_{n}}\otimes \cdots \otimes P_{X_{n-1}\mid X_{n}})].}$

Independencia estadística multivariante

Las funciones de información mutua multivariadas generalizan el caso de independencia por pares que establece que si y solo si , a un número arbitrario de variables. n variables son mutuamente independientes si y solo si las funciones de información mutua se anulan con (teorema 2 ^[15] ). En este sentido, se puede utilizar como un criterio de independencia estadística refinado. ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ ${\displaystyle I(X_{1};X_{2})=0}$ ${\displaystyle 2^{n}-n-1}$ ${\displaystyle I(X_{1};\ldots ;X_{k})=0}$ ${\displaystyle n\geq k\geq 2}$ ${\displaystyle I(X_{1};\ldots ;X_{k})=0}$

Aplicaciones

Para 3 variables, Brenner et al. aplicaron información mutua multivariada a la codificación neuronal y llamaron a su negatividad "sinergia" ^[16] y Watkinson et al. la aplicaron a la expresión genética. ^[17] Para k variables arbitrarias, Tapia et al. aplicaron información mutua multivariada a la expresión genética. ^{[18] [15]} Puede ser cero, positivo o negativo. ^[14] La positividad corresponde a relaciones que generalizan las correlaciones por pares, la nulidad corresponde a una noción refinada de independencia y la negatividad detecta relaciones "emergentes" de alta dimensión y puntos de datos agrupados ^[18] ).

Se ha descubierto que un esquema de generalización de alta dimensión que maximiza la información mutua entre la distribución conjunta y otras variables objetivo es útil en la selección de características . ^[19]

La información mutua también se utiliza en el área de procesamiento de señales como una medida de similitud entre dos señales. Por ejemplo, la métrica FMI ^[20] es una medida de rendimiento de fusión de imágenes que utiliza información mutua para medir la cantidad de información que la imagen fusionada contiene sobre las imágenes de origen. El código Matlab para esta métrica se puede encontrar en. ^[21] Hay disponible un paquete de Python para calcular toda la información mutua multivariada, información mutua condicional, entropías conjuntas, correlaciones totales y distancia de información en un conjunto de datos de n variables. ^[22]

Información dirigida

La información dirigida , mide la cantidad de información que fluye desde el proceso a , donde denota el vector y denota . El término información dirigida fue acuñado por James Massey y se define como ${\displaystyle \operatorname {I} \left(X^{n}\to Y^{n}\right)}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle Y^{n}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ ${\displaystyle Y^{n}}$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...,Y_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {I} \left(X^{n}\to Y^{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {I} \left(X^{i};Y_{i}\mid Y^{i-1}\right)}$.

Nótese que si , la información dirigida se convierte en información mutua. La información dirigida tiene muchas aplicaciones en problemas donde la causalidad juega un papel importante, como la capacidad de un canal con retroalimentación. ^{[23] [24]} ${\displaystyle n=1}$

Variantes normalizadas

Las variantes normalizadas de la información mutua se proporcionan mediante los coeficientes de restricción , ^[25] coeficiente de incertidumbre ^[26] o competencia: ^[27]

${\displaystyle C_{XY}={\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\mathrm {H} (Y)}}~~~~{\mbox{and}}~~~~C_{YX}={\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\mathrm {H} (X)}}.}$

Los dos coeficientes tienen un valor que oscila entre [0, 1], pero no son necesariamente iguales. Esta medida no es simétrica. Si se desea una medida simétrica, se puede considerar la siguiente medida de redundancia :

${\displaystyle R={\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)}}}$

que alcanza un mínimo de cero cuando las variables son independientes y un valor máximo de

${\displaystyle R_{\max }={\frac {\min \left\{\mathrm {H} (X),\mathrm {H} (Y)\right\}}{\mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)}}}$

cuando una variable se vuelve completamente redundante con el conocimiento de la otra. Véase también Redundancia (teoría de la información) .

Otra medida simétrica es la incertidumbre simétrica (Witten y Frank 2005), dada por

${\displaystyle U(X,Y)=2R=2{\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)}}}$

que representa la media armónica de los dos coeficientes de incertidumbre . ^[26] ${\displaystyle C_{XY},C_{YX}}$

Si consideramos la información mutua como un caso especial de la correlación total o correlación total dual , las versiones normalizadas son respectivamente,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\min \left[\mathrm {H} (X),\mathrm {H} (Y)\right]}}}$y ${\displaystyle {\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\mathrm {H} (X,Y)}}\;.}$

Esta versión normalizada también se conoce como Índice de Calidad de la Información (RIC) que cuantifica la cantidad de información de una variable en función de otra variable frente a la incertidumbre total: ^[28]

${\displaystyle IQR(X,Y)=\operatorname {E} [\operatorname {I} (X;Y)]={\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\mathrm {H} (X,Y)}}={\frac {\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}p(x,y)\log {p(x)p(y)}}{\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}p(x,y)\log {p(x,y)}}}-1}$

Existe una normalización ^[29] que se deriva de pensar primero en la información mutua como un análogo de la covarianza (por lo tanto, la entropía de Shannon es análoga a la varianza ). Luego, la información mutua normalizada se calcula de manera similar al coeficiente de correlación de Pearson ,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {I} (X;Y)}{\sqrt {\mathrm {H} (X)\mathrm {H} (Y)}}}\;.}$

Variantes ponderadas

En la formulación tradicional de la información mutua,

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}},}$

Cada evento u objeto especificado por se pondera con la probabilidad correspondiente . Esto supone que todos los objetos o eventos son equivalentes, aparte de su probabilidad de ocurrencia. Sin embargo, en algunas aplicaciones puede darse el caso de que ciertos objetos o eventos sean más significativos que otros, o que ciertos patrones de asociación sean más importantes semánticamente que otros. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle p(x,y)}$

Por ejemplo, la aplicación determinista puede considerarse más fuerte que la aplicación determinista , aunque estas relaciones producirían la misma información mutua. Esto se debe a que la información mutua no es sensible en absoluto a ningún orden inherente en los valores de las variables (Cronbach 1954, Coombs, Dawes y Tversky 1970, Lockhead 1970), y por lo tanto no es sensible en absoluto a la forma de la aplicación relacional entre las variables asociadas. Si se desea que la primera relación, que muestra acuerdo sobre todos los valores de las variables, se juzgue más fuerte que la última relación, entonces es posible utilizar la siguiente información mutua ponderada (Guiasu 1977). ${\displaystyle \{(1,1),(2,2),(3,3)\}}$ ${\displaystyle \{(1,3),(2,1),(3,2)\}}$

${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}w(x,y)p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}},}$

que asigna un peso a la probabilidad de coocurrencia de cada valor variable, . Esto permite que ciertas probabilidades puedan tener mayor o menor importancia que otras, lo que permite la cuantificación de factores holísticos o de Prägnanz relevantes. En el ejemplo anterior, el uso de pesos relativos mayores para , , y tendría el efecto de evaluar una mayor informatividad para la relación que para la relación , lo que puede ser deseable en algunos casos de reconocimiento de patrones y similares. Esta información mutua ponderada es una forma de divergencia KL ponderada, que se sabe que toma valores negativos para algunas entradas, ^[30] y hay ejemplos en los que la información mutua ponderada también toma valores negativos. ^[31] ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle w(1,1)}$ ${\displaystyle w(2,2)}$ ${\displaystyle w(3,3)}$ ${\displaystyle \{(1,1),(2,2),(3,3)\}}$ ${\displaystyle \{(1,3),(2,1),(3,2)\}}$

Información mutua ajustada

Una distribución de probabilidad puede considerarse como una partición de un conjunto . Uno puede entonces preguntarse: si un conjunto se particionara aleatoriamente, ¿cuál sería la distribución de probabilidades? ¿Cuál sería el valor esperado de la información mutua? La información mutua ajustada o AMI resta el valor esperado de la MI, de modo que la AMI es cero cuando dos distribuciones diferentes son aleatorias y uno cuando dos distribuciones son idénticas. La AMI se define en analogía con el índice Rand ajustado de dos particiones diferentes de un conjunto.

Información mutua absoluta

Utilizando las ideas de la complejidad de Kolmogorov , se puede considerar la información mutua de dos secuencias independientemente de cualquier distribución de probabilidad:

${\displaystyle \operatorname {I} _{K}(X;Y)=K(X)-K(X\mid Y).}$

Para establecer que esta cantidad es simétrica hasta un factor logarítmico ( ) se requiere la regla de la cadena para la complejidad de Kolmogorov (Li & Vitányi 1997). Las aproximaciones de esta cantidad mediante compresión se pueden utilizar para definir una medida de distancia para realizar un agrupamiento jerárquico de secuencias sin tener ningún conocimiento del dominio de las secuencias (Cilibrasi & Vitányi 2005). ${\displaystyle \operatorname {I} _{K}(X;Y)\approx \operatorname {I} _{K}(Y;X)}$

Correlación lineal

A diferencia de los coeficientes de correlación, como el coeficiente de correlación del momento del producto , la información mutua contiene información sobre toda la dependencia (lineal y no lineal) y no solo la dependencia lineal, como mide el coeficiente de correlación. Sin embargo, en el caso específico de que la distribución conjunta de y sea una distribución normal bivariada (lo que implica en particular que ambas distribuciones marginales se distribuyen normalmente), existe una relación exacta entre y el coeficiente de correlación (Gel'fand y Yaglom 1957). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {I} }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \operatorname {I} =-{\frac {1}{2}}\log \left(1-\rho ^{2}\right)}$

La ecuación anterior se puede derivar de la siguiente manera para una gaussiana bivariada:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{pmatrix}}&\sim {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{pmatrix}},\Sigma \right),\qquad \Sigma ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}}\\\mathrm {H} (X_{i})&={\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\sigma _{i}^{2}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\log \left(\sigma _{i}\right),\quad i\in \{1,2\}\\\mathrm {H} (X_{1},X_{2})&={\frac {1}{2}}\log \left[(2\pi e)^{2}|\Sigma |\right]=1+\log(2\pi )+\log \left(\sigma _{1}\sigma _{2}\right)+{\frac {1}{2}}\log \left(1-\rho ^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {I} \left(X_{1};X_{2}\right)=\mathrm {H} \left(X_{1}\right)+\mathrm {H} \left(X_{2}\right)-\mathrm {H} \left(X_{1},X_{2}\right)=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-\rho ^{2}\right)}$

Para datos discretos

Cuando y están limitados a estar en un número discreto de estados, los datos de observación se resumen en una tabla de contingencia , con variable de fila (o ) y variable de columna (o ). La información mutua es una de las medidas de asociación o correlación entre las variables de fila y columna. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle j}$

Otras medidas de asociación incluyen las estadísticas de la prueba de chi-cuadrado de Pearson , las estadísticas de la prueba G , etc. De hecho, con la misma base logarítmica, la información mutua será igual a la estadística de log-verosimilitud de la prueba G dividida por , donde es el tamaño de la muestra. ${\displaystyle 2N}$ ${\displaystyle N}$

Aplicaciones

En muchas aplicaciones, se desea maximizar la información mutua (lo que aumenta las dependencias), lo que a menudo equivale a minimizar la entropía condicional . Algunos ejemplos incluyen:

• En la tecnología de motores de búsqueda , la información mutua entre frases y contextos se utiliza como una característica para la agrupación de k-medias para descubrir grupos semánticos (conceptos). ^[32] Por ejemplo, la información mutua de un bigrama podría calcularse como:

${\displaystyle MI(x,y)=\log {\frac {P_{X,Y}(x,y)}{P_{X}(x)P_{Y}(y)}}\approx \log {\frac {\frac {f_{XY}}{B}}{{\frac {f_{X}}{U}}{\frac {f_{Y}}{U}}}}}$

donde es el número de veces que aparece el bigrama xy en el corpus, es el número de veces que aparece el unigrama x en el corpus, B es el número total de bigramas y U es el número total de unigramas. ^[32] ${\displaystyle f_{XY}}$ ${\displaystyle f_{X}}$

• En telecomunicaciones , la capacidad del canal es igual a la información mutua, maximizada en todas las distribuciones de entrada.
• Se han propuesto procedimientos de entrenamiento discriminativo para modelos ocultos de Markov basados ​​en el criterio de máxima información mutua (MMI).
• Predicción de la estructura secundaria del ARN a partir de una alineación de secuencias múltiples .
• Predicción de perfiles filogenéticos a partir de la presencia y desaparición por pares de genes funcionalmente vinculados .
• La información mutua se ha utilizado como criterio para la selección de características y las transformaciones de características en el aprendizaje automático . Se puede utilizar para caracterizar tanto la relevancia como la redundancia de las variables, como la selección de características de redundancia mínima .
• La información mutua se utiliza para determinar la similitud de dos agrupaciones diferentes de un conjunto de datos. Por ello, ofrece algunas ventajas con respecto al índice Rand tradicional .
• La información mutua de las palabras se utiliza a menudo como una función de significación para el cálculo de colocaciones en lingüística de corpus . Esto tiene la complejidad añadida de que ninguna instancia de palabra es una instancia de dos palabras diferentes; en cambio, se cuentan las instancias en las que dos palabras aparecen adyacentes o en estrecha proximidad; esto complica ligeramente el cálculo, ya que la probabilidad esperada de que una palabra aparezca dentro de palabras de otra aumenta con ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$
• La información mutua se utiliza en el procesamiento de imágenes médicas para el registro de imágenes . Dada una imagen de referencia (por ejemplo, una tomografía cerebral) y una segunda imagen que debe colocarse en el mismo sistema de coordenadas que la imagen de referencia, esta imagen se deforma hasta que se maximiza la información mutua entre ella y la imagen de referencia.
• Detección de sincronización de fase en análisis de series de tiempo .
• En el método infomax para redes neuronales y otros aprendizajes automáticos, incluido el algoritmo de análisis de componentes independientes basado en infomax
• La información mutua promedio en el teorema de retardo de incrustación se utiliza para determinar el parámetro de retardo de incrustación .
• El algoritmo ARACNE utiliza información mutua entre genes en datos de microarrays de expresión para la reconstrucción de redes de genes .
• En mecánica estadística , la paradoja de Loschmidt puede expresarse en términos de información mutua. ^{[33] [34]} Loschmidt señaló que debe ser imposible determinar una ley física que carezca de simetría de inversión temporal (por ejemplo, la segunda ley de la termodinámica ) solo a partir de leyes físicas que tengan esta simetría. Señaló que el teorema H de Boltzmann suponía que las velocidades de las partículas en un gas no estaban correlacionadas permanentemente, lo que eliminaba la simetría temporal inherente al teorema H. ​​Se puede demostrar que si un sistema se describe mediante una densidad de probabilidad en el espacio de fases , entonces el teorema de Liouville implica que la información conjunta (negativa de la entropía conjunta) de la distribución permanece constante en el tiempo. La información conjunta es igual a la información mutua más la suma de toda la información marginal (negativa de las entropías marginales) para cada coordenada de partícula. La suposición de Boltzmann equivale a ignorar la información mutua en el cálculo de la entropía, que produce la entropía termodinámica (dividida por la constante de Boltzmann).
• En los procesos estocásticos acoplados a entornos cambiantes, la información mutua se puede utilizar para desenredar las dependencias ambientales internas y efectivas. ^{[35] [36]} Esto es particularmente útil cuando un sistema físico sufre cambios en los parámetros que describen su dinámica, por ejemplo, cambios en la temperatura.
• La información mutua se utiliza para aprender la estructura de las redes bayesianas / redes bayesianas dinámicas , que se cree que explican la relación causal entre variables aleatorias, como lo ejemplifica el kit de herramientas GlobalMIT: ^[37] aprendizaje de la red bayesiana dinámica globalmente óptima con el criterio de prueba de información mutua.
• La información mutua se utiliza para cuantificar la información transmitida durante el procedimiento de actualización en el algoritmo de muestreo de Gibbs . ^[38]
• Función de costo popular en el aprendizaje del árbol de decisiones .
• La información mutua se utiliza en cosmología para probar la influencia de los entornos a gran escala en las propiedades de las galaxias en el Galaxy Zoo .
• La información mutua se utilizó en Física Solar para derivar el perfil de rotación diferencial solar , un mapa de desviación del tiempo de viaje para las manchas solares y un diagrama de tiempo-distancia a partir de mediciones del Sol en calma ^[39].
• Se utiliza en agrupamientos de información invariante para entrenar automáticamente clasificadores de redes neuronales y segmentadores de imágenes sin datos etiquetados. ^[40]
• En sistemas dinámicos estocásticos con múltiples escalas temporales , se ha demostrado que la información mutua captura los acoplamientos funcionales entre diferentes escalas temporales. ^[41] Es importante destacar que se demostró que las interacciones físicas pueden o no dar lugar a información mutua, dependiendo de la escala temporal típica de su dinámica.

Véase también

• Diferenciación de datos
• Información mutua puntual
• Información mutua cuántica
• Información específica

Notas

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