Series de senos y cosenos de Fourier

En matemáticas , particularmente en el campo del cálculo y el análisis de Fourier , las series de seno y coseno de Fourier son dos series matemáticas que llevan el nombre de Joseph Fourier .

Notación

En este artículo, f denota una función de valor real que es periódica con período 2 L . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Serie sinusoidal

Si f es una función impar con período , entonces la serie de senos de medio rango de Fourier de f se define como ${\displaystyle 2L}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$$

de Fourierintervalo ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

En la fórmula tenemos

$${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx,\quad n\in \mathbb {N} .}$$

Serie coseno

Si f es una función par con un período , entonces la serie del coseno de Fourier se define como ${\displaystyle 2L}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {c_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cos {\frac {n\pi x}{L}}}$$

$${\displaystyle c_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos {\frac {n\pi x}{L}}\,dx,\quad n\in \mathbb {N} _{0}.}$$

Observaciones

Esta noción se puede generalizar a funciones que no son pares ni impares, pero las fórmulas anteriores se verán diferentes.

Ver también

• series de Fourier
• análisis de Fourier
• Análisis espectral de mínimos cuadrados

Bibliografía

• Byerly, William Elwood (1893). "Capítulo 2: Desarrollo en series trigonométricas". Un tratado elemental sobre las series de Fourier: y los armónicos esféricos, cilíndricos y elipsoidales, con aplicaciones a problemas de física matemática (2 ed.). Ginn. pag. 30.
• Carslaw, Horatio Scott (1921). "Capítulo 7: Serie de Fourier". Introducción a la teoría de las series e integrales de Fourier, volumen 1 (2 ed.). Macmillan y compañía. pag. 196.