En finanzas , el modelo de Markowitz , propuesto por Harry Markowitz en 1952, es un modelo de optimización de carteras que ayuda a seleccionar la cartera más eficiente mediante el análisis de varias carteras posibles de los valores dados. En este caso, al elegir valores que no se "mueven" exactamente juntos, el modelo HM muestra a los inversores cómo reducir su riesgo. El modelo HM también se denomina modelo de media - varianza debido a que se basa en los rendimientos esperados (media) y la desviación estándar (varianza) de las distintas carteras. Es fundamental para la teoría moderna de carteras .
Markowitz hizo las siguientes suposiciones al desarrollar el modelo HM: [1]
Para elegir la mejor cartera entre varias carteras posibles, cada una con diferente rentabilidad y riesgo, se deben tomar dos decisiones separadas, que se detallan en las secciones siguientes:
Una cartera que ofrece el máximo rendimiento para un riesgo determinado, o el mínimo riesgo para un rendimiento determinado, es una cartera eficiente. Por lo tanto, las carteras se seleccionan de la siguiente manera:
(a) De las carteras que tienen la misma rentabilidad, el inversor preferirá la cartera con menor riesgo, y [1]
(b) De las carteras que tienen el mismo nivel de riesgo, un inversor preferirá la cartera con mayor tasa de retorno.
Como el inversor es racional, le gustaría tener un mayor rendimiento. Y como es reacio al riesgo, quiere tener un riesgo menor. [1] En la Figura 1, el área sombreada PVWP incluye todos los posibles valores en los que un inversor puede invertir. Las carteras eficientes son las que se encuentran en el límite de PQVW. Por ejemplo, en el nivel de riesgo x 2 , hay tres carteras S, T, U. Pero la cartera S se llama cartera eficiente porque tiene el mayor rendimiento, y 2 , en comparación con T y U [necesita un punto]. Todas las carteras que se encuentran en el límite de PQVW son carteras eficientes para un nivel de riesgo dado.
El límite PQVW se denomina Frontera Eficiente . Todas las carteras que se encuentran por debajo de la Frontera Eficiente no son lo suficientemente buenas porque la rentabilidad sería menor para el riesgo dado. Las carteras que se encuentran a la derecha de la Frontera Eficiente no serían lo suficientemente buenas, ya que existe un mayor riesgo para una tasa de rentabilidad dada. Todas las carteras que se encuentran en el límite de PQVW se denominan Carteras Eficientes. La Frontera Eficiente es la misma para todos los inversores, ya que todos ellos desean la máxima rentabilidad con el menor riesgo posible y son reacios al riesgo.
Para seleccionar la cartera óptima o la mejor cartera, se analizan las preferencias de riesgo-rendimiento. Un inversor con una gran aversión al riesgo mantendrá una cartera en la parte inferior izquierda de la frontera, y un inversor con una aversión al riesgo no tan alta elegirá una cartera en la parte superior de la frontera.
La figura 2 muestra la curva de indiferencia riesgo-rendimiento para los inversores. Se muestran las curvas de indiferencia C 1 , C 2 y C 3 . Cada uno de los diferentes puntos de una curva de indiferencia particular muestra una combinación diferente de riesgo y rendimiento, que proporciona la misma satisfacción a los inversores. Cada curva a la izquierda representa una mayor utilidad o satisfacción. El objetivo del inversor sería maximizar su satisfacción moviéndose a una curva que sea más alta. Un inversor puede tener la satisfacción representada por C 2 , pero si su satisfacción/utilidad aumenta, el inversor se mueve entonces a la curva C 3 Por lo tanto, en cualquier momento, un inversor será indiferente entre las combinaciones S 1 y S 2 , o S 5 y S 6 .
La cartera óptima del inversor se encuentra en el punto de tangencia de la frontera eficiente con la curva de indiferencia . Este punto marca el nivel más alto de satisfacción que el inversor puede obtener. Esto se muestra en la Figura 3. R es el punto donde la frontera eficiente es tangente a la curva de indiferencia C 3 , y también es una cartera eficiente. Con esta cartera, el inversor obtendrá la mayor satisfacción, así como la mejor combinación de riesgo-rendimiento (una cartera que proporciona el mayor rendimiento posible para una cantidad dada de riesgo). Cualquier otra cartera, digamos X, no es la cartera óptima a pesar de que se encuentra en la misma curva de indiferencia, ya que está fuera de la cartera factible disponible en el mercado. La cartera Y tampoco es óptima, ya que no se encuentra en la mejor curva de indiferencia factible, a pesar de que es una cartera de mercado factible. Otro inversor que tenga otros conjuntos de curvas de indiferencia podría tener una cartera diferente como su mejor/óptima cartera.
Hasta ahora, todas las carteras se han evaluado únicamente en términos de valores de riesgo, aunque también es posible incluir valores libres de riesgo en una cartera. Una cartera con valores libres de riesgo permitirá al inversor alcanzar un mayor nivel de satisfacción, como se explica en la Figura 4.
R 1 es el rendimiento libre de riesgo, o el rendimiento de los títulos gubernamentales , ya que se considera que esos títulos no tienen riesgo para fines de modelado. R 1 PX se dibuja de manera que sea tangente a la frontera eficiente. Cualquier punto en la línea R 1 PX muestra una combinación de diferentes proporciones de títulos libres de riesgo y carteras eficientes. La satisfacción que un inversor obtiene de las carteras en la línea R 1 PX es mayor que la satisfacción obtenida de la cartera P. Todas las combinaciones de carteras a la izquierda de P muestran combinaciones de activos riesgosos y libres de riesgo, y todas las que están a la derecha de P representan compras de activos riesgosos realizadas con fondos tomados en préstamo a la tasa libre de riesgo.
En el caso de que un inversor haya invertido todos sus fondos, se pueden pedir prestados fondos adicionales a una tasa libre de riesgo y se puede obtener una combinación de cartera que se encuentre en R 1 PX. R 1 PX se conoce como la Línea del Mercado de Capitales (CML). Esta línea representa la compensación riesgo-rendimiento en el mercado de capitales . La CML es una línea de pendiente ascendente, lo que significa que el inversor asumirá un mayor riesgo si el rendimiento de la cartera también es mayor. La cartera P es la cartera más eficiente, ya que se encuentra tanto en la CML como en la Frontera Eficiente, y todo inversor preferiría alcanzar esta cartera, P. La cartera P se conoce como la Cartera de Mercado y generalmente es la cartera más diversificada. Consiste esencialmente en todas las acciones y valores en el mercado de capitales (ya sea largo o corto). La Cartera de Mercado no incluiría un valor específico si la correlación entre la cartera y el valor es cero con un rendimiento negativo (juego de azar), o si la correlación es uno (el que tenga un rendimiento menor no justificaría la inversión).
En el mercado de carteras que se componen de valores riesgosos y libres de riesgo, la CML representa la condición de equilibrio. La línea del mercado de capitales dice que el rendimiento de una cartera es la tasa libre de riesgo más la prima de riesgo. La prima de riesgo es el producto del precio de mercado del riesgo por la cantidad de riesgo, y el riesgo es la desviación estándar de la cartera.
La ecuación CML es:
dónde,
(R M – I RF )/σ M es la pendiente de CML. (R M – I RF ) es una medida de la prima de riesgo, o la recompensa por mantener una cartera riesgosa en lugar de una cartera libre de riesgo. σ M es el riesgo de la cartera de mercado. Por lo tanto, la pendiente mide la recompensa por unidad de riesgo de mercado.
Las características características de la LMC son:
1. En el punto tangente, es decir, la Cartera P , se encuentra la combinación óptima de inversiones riesgosas y la cartera de mercado .
2. Sólo las carteras eficientes que consisten en inversiones libres de riesgo y la cartera de mercado P se encuentran en el CML.
3. La CML siempre tiene pendiente ascendente, ya que el precio del riesgo debe ser positivo. Un inversor racional no invertirá a menos que sepa que recibirá una compensación por ese riesgo.
La figura 5 muestra que un inversor elegirá una cartera en la frontera eficiente, en ausencia de inversiones libres de riesgo. Pero cuando se introducen inversiones libres de riesgo, el inversor puede elegir la cartera en la CML (que representa la combinación de inversiones riesgosas y libres de riesgo). Esto se puede hacer tomando prestado o prestando a la tasa de interés libre de riesgo (I RF ) y la compra de la cartera eficiente P. La cartera que un inversor elegirá depende de su preferencia de riesgo. La parte de I RF a P, es inversión en activos libres de riesgo y se llama Cartera de Préstamos . En esta parte, el inversor prestará una parte a una tasa libre de riesgo. La parte más allá de P se llama Cartera de Préstamos , donde el inversor toma prestados algunos fondos a una tasa libre de riesgo para comprar más de la cartera P.
1. A menos que se asignen restricciones de positividad, la solución de Markowitz puede encontrar fácilmente carteras altamente apalancadas (grandes posiciones largas en un subconjunto de activos invertibles financiadas por grandes posiciones cortas en otro subconjunto de activos) [ cita requerida ] , pero dada su naturaleza apalancada, los rendimientos de dicha cartera son extremadamente sensibles a pequeños cambios en los rendimientos de los activos constituyentes y, por lo tanto, pueden ser extremadamente "peligrosos". Las restricciones de positividad son fáciles de aplicar y solucionan este problema, pero si el usuario quiere "creer" en la solidez del enfoque de Markowitz, sería bueno que se obtuvieran soluciones con mejor comportamiento (al menos, ponderaciones positivas) de manera no restringida cuando el conjunto de activos de inversión está cerca de las oportunidades de inversión disponibles (la cartera de mercado), pero a menudo este no es el caso.
2. En la práctica, un problema más complejo es que pequeños cambios en los datos de entrada pueden dar lugar a grandes cambios en la cartera. La optimización de la media-varianza sufre de "maximización del error": "un algoritmo que toma estimaciones puntuales (de rendimientos y covarianzas) como datos de entrada y los trata como si se conocieran con certeza reaccionará a pequeñas diferencias de rendimiento que se encuentren dentro del margen de error de medición". [3] En el mundo real, este grado de inestabilidad conducirá, para empezar, a grandes costes de transacción, pero también es probable que socave la confianza del gestor de la cartera en el modelo. [4] Extrapolando este punto aún más, entre ciertos universos de activos, los académicos han descubierto que el modelo de Markowitz ha sido susceptible a problemas como la inestabilidad del modelo cuando, por ejemplo, los activos de referencia tienen un alto grado de correlación. [5]
3. La cantidad de información (la matriz de covarianza, específicamente, o una distribución de probabilidad conjunta completa entre los activos de la cartera de mercado) necesaria para calcular una cartera óptima de media-varianza es a menudo inmanejable y ciertamente no deja lugar para mediciones subjetivas ("opiniones" sobre los retornos de carteras de subconjuntos de activos invertibles) [ cita requerida ] . Además, la dependencia de la información y la necesidad de calcular una matriz de covarianza introducen cierta complejidad computacional, aunque manejable, y limitan la escalabilidad del modelo para carteras con universos de activos suficientemente grandes. [6]
4. Los rendimientos esperados son inciertos y, cuando hacemos este supuesto, el problema de optimización produce soluciones diferentes a las del modelo de Markowitz. [7] [8]