Elemento de Coxeter

Concepto en geometría

En matemáticas , un elemento de Coxeter es un elemento de un grupo de Coxeter irreducible que es un producto de todas las reflexiones simples. El producto depende del orden en el que se toman, pero diferentes ordenaciones producen elementos conjugados , que tienen el mismo orden . Este orden se conoce como el número de Coxeter . Reciben su nombre del geómetra británico-canadiense HSM Coxeter , quien introdujo los grupos en 1934 como abstracciones de los grupos de reflexión . ^[1]

Definiciones

Tenga en cuenta que este artículo supone un grupo de Coxeter finito . Para grupos de Coxeter infinitos, existen múltiples clases de conjugación de elementos de Coxeter y tienen un orden infinito.

Hay muchas formas diferentes de definir el número de Coxeter h de un sistema de raíces irreducible.

• El número de Coxeter es el orden de cualquier elemento de Coxeter ;
• El número de Coxeter es ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2m}{n}},}$ donde n es el rango y m es el número de reflexiones. En el caso cristalográfico, m es la mitad del número de raíces ; y 2 ​​m + n es la dimensión del álgebra de Lie semisimple correspondiente .
• Si la raíz más alta es para raíces simples α _i , entonces el número de Coxeter es ${\displaystyle \sum m_{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1+\sum m_{i}.}$
• El número de Coxeter es el grado más alto de un invariante fundamental del grupo de Coxeter que actúa sobre polinomios.

El número de Coxeter para cada tipo de Dynkin se proporciona en la siguiente tabla:

Los invariantes del grupo de Coxeter que actúan sobre polinomios forman un álgebra polinómica cuyos generadores son los invariantes fundamentales; sus grados se dan en la tabla anterior. Nótese que si m es un grado de un invariante fundamental, entonces también lo es h + 2 − m .

Los valores propios de un elemento de Coxeter son los números que recorre m a través de los grados de los invariantes fundamentales. Como esto comienza con m = 2 , estos incluyen la raíz primitiva h -ésima de la unidad , que es importante en el plano de Coxeter, que se muestra a continuación. ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}}$ ${\displaystyle \zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},}$

El número dual de Coxeter es 1 más la suma de los coeficientes de las raíces simples en la raíz corta más alta del sistema de raíces dual .

Orden de grupo

Existen relaciones entre el orden g del grupo de Coxeter y el número de Coxeter h : ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{aligned}}}$$

Por ejemplo, [3,3,5] tiene h = 30 : $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}}$$

Elementos de Coxeter

Los elementos de Coxeter distintos corresponden a orientaciones del diagrama de Coxeter (es decir, a los temblores de Dynkin ): las reflexiones simples correspondientes a los vértices de origen se escriben primero, los vértices de corriente abajo después y los sumideros al final. (La elección del orden entre los vértices no adyacentes es irrelevante, ya que corresponden a reflexiones conmutativas). Una elección especial es la orientación alternada, en la que las reflexiones simples se dividen en dos conjuntos de vértices no adyacentes, y todos los bordes están orientados desde el primer al segundo conjunto. ^[4] La orientación alternada produce un elemento de Coxeter especial w que satisface donde w ₀ es el elemento más largo , siempre que el número de Coxeter h sea par. ${\displaystyle w^{h/2}=w_{0},}$

Para el grupo simétrico de n elementos, los elementos de Coxeter son ciertos n -ciclos: el producto de reflexiones simples es el elemento de Coxeter . ^[5] Para n pares, el elemento de Coxeter de orientación alternada es: Hay elementos de Coxeter distintos entre los n -ciclos. ${\displaystyle A_{n-1}\cong S_{n},}$ ${\displaystyle (1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)}$ ${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$ $${\displaystyle (1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).}$$ ${\displaystyle 2^{n-2}}$ ${\displaystyle (n{-}1)!}$

El grupo diedro Dih _p se genera por dos reflexiones que forman un ángulo de y por lo tanto los dos elementos de Coxeter son su producto en cualquier orden, lo cual es una rotación por ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{2p}},}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {2\pi }{p}}.}$

Avión Coxeter

Proyección del sistema de raíces E ₈ sobre el plano de Coxeter, mostrando simetría de 30 pliegues.

Para un elemento de Coxeter dado w , existe un único plano P en el que w actúa por rotación por ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{h}}.}$ Este se llama plano de Coxeter ^[6] y es el plano en el que P tiene valores propios y ^[7] Este plano se estudió sistemáticamente por primera vez en (Coxeter 1948), ^[8] y posteriormente se utilizó en (Steinberg 1959) para proporcionar pruebas uniformes sobre las propiedades de los elementos de Coxeter. ^[8] ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}}$ ${\displaystyle e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.}$

El plano de Coxeter se utiliza a menudo para dibujar diagramas de politopos de dimensiones superiores y sistemas de raíces: los vértices y los bordes del politopo, o raíces (y algunos bordes que los conectan) se proyectan ortogonalmente sobre el plano de Coxeter, lo que produce un polígono de Petrie con simetría rotacional de h -fold. ^[9] Para los sistemas de raíces, ninguna raíz se asigna a cero, lo que corresponde al elemento de Coxeter que no fija ninguna raíz o eje (no tiene valor propio 1 o −1), por lo que las proyecciones de órbitas bajo w forman arreglos circulares de h -fold ^[9] y hay un centro vacío, como en el diagrama E ₈ arriba a la derecha. Para los politopos, un vértice puede asignarse a cero, como se muestra a continuación. Las proyecciones sobre el plano de Coxeter se muestran a continuación para los sólidos platónicos .

En tres dimensiones, la simetría de un poliedro regular , { p , q }, con un polígono de Petrie dirigido marcado, definido como un compuesto de 3 reflexiones, tiene simetría rotoinvertida S _h , [2 ⁺ , h ⁺ ] , orden h . Añadiendo un espejo, la simetría puede duplicarse a simetría antiprismática, D _{h d} , [2 ⁺ , h ] , orden 2 h . En proyección ortogonal 2D, esto se convierte en simetría diedral , Dih _h , [ h ] , orden 2 h .

En cuatro dimensiones, la simetría de un policoron regular , { p , q , r }, con un polígono de Petrie dirigido marcado es una rotación doble , definida como un compuesto de 4 reflexiones, con simetría + ¹ / _h [C _h ×C _h ] ^[10] ( John H. Conway ), (C _2h /C ₁ ;C _2h /C ₁ ) (#1', Patrick du Val (1964) ^[11] ), orden h .

En cinco dimensiones, la simetría de un 5-politopo regular , { p , q , r , s }, con un polígono de Petrie dirigido marcado, está representada por la composición de 5 reflexiones.

En las dimensiones 6 a 8 hay 3 grupos de Coxeter excepcionales; un politopo uniforme de cada dimensión representa las raíces de los grupos de Lie excepcionales E _n . Los elementos de Coxeter son 12, 18 y 30 respectivamente.

Véase también

• Elemento más largo de un grupo de Coxeter

Notas

1. Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis; Erlich W. Ellers (2006), El legado de Coxeter: reflexiones y proyecciones, AMS Bookstore, pág. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
2. Coxeter , Politopos regulares , §12.6 El número de reflexiones, ecuación 12.61
3. Politopos regulares, pág. 233
4. George Lusztig, Introducción a los grupos cuánticos , Birkhauser (2010)
5. (Humphreys 1992, pág. 75)
6. Aviones Coxeter Archivado el 10 de febrero de 2018 en Wayback Machine y más Aviones Coxeter Archivado el 21 de agosto de 2017 en Wayback Machine John Stembridge
7. (Humphreys 1992, Sección 3.17, "Acción en un plano", págs. 76-78)
8. (Lectura 2010, p. 2)
9. (Stembridge 2007)
10. Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5 
11. Patrick Du Val, Homografías, cuaterniones y rotaciones , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press , Oxford , 1964.

Referencias

• Coxeter, HSM (1948), Politopos regulares , Methuen and Co.
• Steinberg, R. (junio de 1959), "Grupos de reflexión finitos", Transactions of the American Mathematical Society , 91 (3): 493–504, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0106428-2 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993261
• Hiller, Howard Geometría de los grupos de Coxeter. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-Londres, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4 
• Humphreys, James E. (1992), Grupos de reflexión y grupos de Coxeter, Cambridge University Press , págs. 74-76 (Sección 3.16, Elementos de Coxeter ), ISBN 978-0-521-43613-7
• Stembridge, John (9 de abril de 2007), Coxeter Planes, archivado desde el original el 10 de febrero de 2018 , consultado el 21 de abril de 2010
• Stekolshchik, R. (2008), Notas sobre las transformaciones de Coxeter y la correspondencia de McKay , Springer Monographs in Mathematics, arXiv : math/0510216 , doi :10.1007/978-3-540-77399-3, ISBN 978-3-540-77398-6, Número de identificación del sujeto  117958873
• Reading, Nathan (2010), "Particiones no cruzadas, grupos y el plano de Coxeter", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B63b : 32
• Bernšteĭn, IN; Gelʹfand, IM; Ponomarev, VA, "Functores de Coxeter y el teorema de Gabriel" (ruso), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), núm. 2(170), 19–33. Traducción en el sitio web de Bernstein.