Viscoplasticidad

Teoría en mecánica de medios continuos

Figura 1. Elementos utilizados en modelos unidimensionales de materiales viscoplásticos.

La viscoplasticidad es una teoría de la mecánica de medios continuos que describe el comportamiento inelástico dependiente de la velocidad de los sólidos. En este contexto, la dependencia de la velocidad significa que la deformación del material depende de la velocidad a la que se aplican las cargas . ^[1] El comportamiento inelástico que es objeto de la viscoplasticidad es la deformación plástica , lo que significa que el material sufre deformaciones irrecuperables cuando se alcanza un nivel de carga. La plasticidad dependiente de la velocidad es importante para los cálculos de plasticidad transitoria. La principal diferencia entre los modelos de materiales plásticos y viscoplásticos independientes de la velocidad es que estos últimos no solo presentan deformaciones permanentes después de la aplicación de cargas, sino que continúan experimentando un flujo de fluencia en función del tiempo bajo la influencia de la carga aplicada.

La respuesta elástica de los materiales viscoplásticos se puede representar en una dimensión mediante elementos de resorte de Hooke . La dependencia de la velocidad se puede representar mediante elementos amortiguadores no lineales de una manera similar a la viscoelasticidad . La plasticidad se puede explicar añadiendo elementos de fricción deslizantes como se muestra en la Figura 1. ^[2] En la figura está el módulo de elasticidad , es el parámetro de viscosidad y es un parámetro de tipo ley de potencia que representa un amortiguador no lineal . El elemento deslizante puede tener una tensión de fluencia ( ) que depende de la velocidad de deformación , o incluso es constante, como se muestra en la Figura 1c. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [\sigma (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)=\sigma =\lambda (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)^{1/N}]}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

La viscoplasticidad se modela habitualmente en tres dimensiones utilizando modelos de sobreesfuerzo del tipo Perzyna o Duvaut-Lions. ^[3] En estos modelos, se permite que el esfuerzo aumente más allá de la superficie de fluencia independiente de la velocidad al aplicar una carga y luego se deja que se relaje de nuevo hasta la superficie de fluencia con el tiempo. En estos modelos se supone habitualmente que la superficie de fluencia no depende de la velocidad. Un enfoque alternativo es añadir una dependencia de la velocidad de deformación al esfuerzo de fluencia y utilizar las técnicas de plasticidad independiente de la velocidad para calcular la respuesta de un material. ^[4]

Para metales y aleaciones , la viscoplasticidad es el comportamiento macroscópico causado por un mecanismo vinculado al movimiento de dislocaciones en granos , con efectos superpuestos de deslizamiento intercristalino. El mecanismo suele volverse dominante a temperaturas superiores a aproximadamente un tercio de la temperatura absoluta de fusión. Sin embargo, ciertas aleaciones presentan viscoplasticidad a temperatura ambiente (300 K). Para polímeros , madera y betún , se requiere la teoría de la viscoplasticidad para describir el comportamiento más allá del límite de elasticidad o viscoelasticidad .

En general, las teorías de viscoplasticidad son útiles en áreas como:

• el cálculo de deformaciones permanentes,
• la predicción del colapso plástico de las estructuras,
• la investigación de la estabilidad,
• simulaciones de accidentes,
• sistemas expuestos a altas temperaturas, como las turbinas de los motores, por ejemplo, de una central eléctrica,
• Problemas dinámicos y sistemas expuestos a altas tasas de deformación.

Historia

La investigación sobre las teorías de plasticidad comenzó en 1864 con el trabajo de Henri Tresca , ^[5] Saint Venant (1870) y Levy (1871) ^[6] sobre el criterio de cizallamiento máximo . ^[7] Un modelo de plasticidad mejorado fue presentado en 1913 por Von Mises ^[8] que ahora se conoce como el criterio de fluencia de von Mises . En viscoplasticidad, el desarrollo de un modelo matemático se remonta a 1910 con la representación de la fluencia primaria por la ley de Andrade. ^[9] En 1929, Norton ^[10] desarrolló un modelo de amortiguador unidimensional que vinculaba la tasa de fluencia secundaria con la tensión. En 1934, Odqvist ^[11] generalizó la ley de Norton al caso multiaxial.

Conceptos como la normalidad del flujo plástico a la superficie de fluencia y las reglas de flujo para la plasticidad fueron introducidos por Prandtl (1924) ^{[12] [ cita completa requerida ]} y Reuss (1930). ^[13] En 1932, Hohenemser y Prager ^[14] propusieron el primer modelo para el flujo viscoplástico lento. Este modelo proporcionó una relación entre la tensión desviatoria y la tasa de deformación para un sólido de Bingham incompresible ^[15] Sin embargo, la aplicación de estas teorías no comenzó antes de 1950, cuando se descubrieron los teoremas límite.

En 1960, el primer simposio de la IUTAM "Creep in Structures" organizado por Hoff ^[16] proporcionó un importante desarrollo en viscoplasticidad con los trabajos de Hoff, Rabotnov, Perzyna, Hult y Lemaitre para las leyes de endurecimiento isotrópico , y los de Kratochvil, Malinini y Khadjinsky, Ponter y Leckie, y Chaboche para las leyes de endurecimiento cinemático . Perzyna, en 1963, introdujo un coeficiente de viscosidad que depende de la temperatura y del tiempo. ^[17] Los modelos formulados se sustentaron en la termodinámica de los procesos irreversibles y el punto de vista fenomenológico . Las ideas presentadas en estos trabajos han sido la base de la mayor parte de las investigaciones posteriores sobre plasticidad dependiente de la velocidad.

Fenomenología

Para realizar un análisis cualitativo se realizan varias pruebas características para describir la fenomenología de los materiales viscoplásticos. Algunos ejemplos de estas pruebas son ^[9]

1. pruebas de endurecimiento a tensión o tasa de deformación constante,
2. pruebas de fluencia a fuerza constante, y
3. Relajación de tensión a elongación constante.

Prueba de endurecimiento por deformación

Figura 2. Respuesta de tensión-deformación de un material viscoplástico a diferentes velocidades de deformación. Las líneas punteadas muestran la respuesta si la velocidad de deformación se mantiene constante. La línea azul muestra la respuesta cuando la velocidad de deformación cambia repentinamente.

Una consecuencia de la fluencia es que a medida que avanza la deformación plástica, se requiere un aumento de la tensión para producir una deformación adicional . Este fenómeno se conoce como endurecimiento por deformación/trabajo . ^[18] Para un material viscoplástico, las curvas de endurecimiento no son significativamente diferentes de las de un material plástico independiente de la velocidad. Sin embargo, se pueden observar tres diferencias esenciales.

1. A la misma tensión, cuanto mayor sea la tasa de tensión, mayor será la tensión.
2. Un cambio en la tasa de deformación durante la prueba produce un cambio inmediato en la curva de tensión-deformación.
3. El concepto de límite de rendimiento del plástico ya no es estrictamente aplicable.

La hipótesis de dividir las deformaciones mediante el desacoplamiento de las partes elásticas y plásticas sigue siendo aplicable cuando las deformaciones son pequeñas, ^[3] es decir,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$$

donde es la deformación elástica y es la deformación viscoplástica. Para obtener el comportamiento de tensión-deformación que se muestra en azul en la figura, el material se carga inicialmente a una velocidad de deformación de 0,1/s. Luego, la velocidad de deformación se eleva instantáneamente a 100/s y se mantiene constante en ese valor durante algún tiempo. Al final de ese período de tiempo, la velocidad de deformación se reduce instantáneamente a 0,1/s y el ciclo continúa para valores crecientes de deformación. Claramente, existe un desfase entre el cambio de la velocidad de deformación y la respuesta al estrés. Este desfase se modela con bastante precisión mediante modelos de sobreesfuerzo (como el modelo de Perzyna), pero no mediante modelos de plasticidad independiente de la velocidad que tienen un límite elástico dependiente de la velocidad. ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$

Prueba de fluencia

Figura 3a. Prueba de fluencia

Figura 3b. Deformación en función del tiempo en un ensayo de fluencia

La fluencia es la tendencia de un material sólido a moverse lentamente o deformarse permanentemente bajo tensiones constantes. Los ensayos de fluencia miden la respuesta de deformación debida a una tensión constante, como se muestra en la Figura 3. La curva clásica de fluencia representa la evolución de la deformación en función del tiempo en un material sometido a una tensión uniaxial a una temperatura constante. El ensayo de fluencia, por ejemplo, se realiza aplicando una fuerza/tensión constante y analizando la respuesta de deformación del sistema. En general, como se muestra en la Figura 3b, esta curva suele mostrar tres fases o períodos de comportamiento: ^[9]

1. Una etapa de fluencia primaria , también conocida como fluencia transitoria, es la etapa inicial durante la cual el endurecimiento del material conduce a una disminución en la velocidad de flujo, que inicialmente es muy alta . ${\displaystyle (0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})}$
2. La etapa de fluencia secundaria , también conocida como estado estable, es donde la tasa de deformación es constante . ${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})}$
3. Una fase de fluencia terciaria en la que hay un aumento en la velocidad de deformación hasta la deformación de fractura . ${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})}$

Prueba de relajación

Figura 4. a) Deformación aplicada en un ensayo de relajación y b) tensión inducida en función del tiempo durante un periodo corto para un material viscoplástico.

Como se muestra en la Figura 4, la prueba de relajación ^[19] se define como la respuesta de tensión debida a una deformación constante durante un período de tiempo. En materiales viscoplásticos, las pruebas de relajación demuestran la relajación de la tensión en carga uniaxial a una deformación constante. De hecho, estas pruebas caracterizan la viscosidad y se pueden utilizar para determinar la relación que existe entre la tensión y la tasa de deformación viscoplástica. La descomposición de la tasa de deformación es

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.}$$

La parte elástica de la tasa de deformación viene dada por

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$$

Para la región plana de la curva de deformación-tiempo, la tasa de deformación total es cero. Por lo tanto, tenemos:

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$$

Por lo tanto, la curva de relajación se puede utilizar para determinar la tasa de deformación viscoplástica y, por lo tanto, la viscosidad del amortiguador en un modelo de material viscoplástico unidimensional. El valor residual que se alcanza cuando la tensión se ha estabilizado al final de una prueba de relajación corresponde al límite superior de elasticidad. Para algunos materiales, como la sal de roca, dicho límite superior de elasticidad se produce con un valor muy pequeño de tensión y las pruebas de relajación se pueden continuar durante más de un año sin que se observe ninguna meseta en la tensión.

Es importante señalar que las pruebas de relajación son extremadamente difíciles de realizar porque mantener la condición en una prueba requiere una delicadeza considerable. ^[20] ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0}$

Modelos reológicos de viscoplasticidad

Los modelos constitutivos unidimensionales para viscoplasticidad basados ​​en elementos de resorte-amortiguador-deslizador incluyen ^[3] el sólido perfectamente viscoplástico, el sólido elástico perfectamente viscoplástico y el sólido de endurecimiento elastoviscoplástico. Los elementos pueden estar conectados en serie o en paralelo . En los modelos donde los elementos están conectados en serie, la deformación es aditiva mientras que la tensión es igual en cada elemento. En las conexiones en paralelo, la tensión es aditiva mientras que la deformación es igual en cada elemento. Muchos de estos modelos unidimensionales se pueden generalizar a tres dimensiones para el régimen de deformación pequeña. En la discusión posterior, las tasas de tiempo de deformación y tensión se escriben como y , respectivamente. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$

Sólido perfectamente viscoplástico (modelo Norton-Hoff)

Figura 5. Modelo de Norton-Hoff para un sólido perfectamente viscoplástico

En un sólido perfectamente viscoplástico, también llamado modelo de viscoplasticidad de Norton-Hoff, la tensión (como en el caso de los fluidos viscosos) es una función de la tasa de deformación permanente. El efecto de la elasticidad se descuida en el modelo, es decir, y por lo tanto no hay tensión de fluencia inicial, es decir, . El amortiguador viscoso tiene una respuesta dada por ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{y}=0}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}}$$

donde es la viscosidad del amortiguador. En el modelo de Norton-Hoff, la viscosidad es una función no lineal de la tensión aplicada y está dada por ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta =\lambda \left[{\cfrac {\lambda }{||{\boldsymbol {\sigma }}||}}\right]^{N-1}}$$

donde es un parámetro de ajuste, λ es la viscosidad cinemática del material y . Entonces la tasa de deformación viscoplástica está dada por la relación ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle ||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}}$

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {||{\boldsymbol {\sigma }}||}{\lambda }}\right]^{N-1}}$$

En forma unidimensional, el modelo de Norton-Hoff se puede expresar como

$${\displaystyle \sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }\right)^{1/N}}$$

Cuando el sólido es viscoelástico . ${\displaystyle N=1.0}$

Si asumimos que el flujo plástico es isocórico (preserva el volumen), entonces la relación anterior se puede expresar en la forma más familiar ^[21]

$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }}$$

donde es el tensor de tensión desviatorio , es la tasa de deformación equivalente de von Mises y son parámetros del material. La tasa de deformación equivalente se define como ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle K,m}$

$${\displaystyle {\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}}$$

Estos modelos se pueden aplicar en metales y aleaciones a temperaturas superiores a dos tercios ^[21] de su punto de fusión absoluto (en grados Kelvin) y en polímeros/asfalto a temperaturas elevadas. Las respuestas a los ensayos de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dichos materiales se muestran en la Figura 6.

Figura 6: Respuesta de un sólido perfectamente viscoplástico a las pruebas de endurecimiento, fluencia y relajación.

Sólido viscoplástico perfectamente elástico (modelo de Bingham-Norton)

Figura 7. El material elástico perfectamente viscoplástico.

Se pueden utilizar dos tipos de enfoques elementales para construir un modo elástico-perfectamente viscoplástico. En la primera situación, el elemento de fricción deslizante y el amortiguador se disponen en paralelo y luego se conectan en serie al resorte elástico como se muestra en la Figura 7. Este modelo se llama modelo de Bingham-Maxwell (por analogía con el modelo de Maxwell y el modelo de Bingham ) o modelo de Bingham-Norton . ^[22] En la segunda situación, los tres elementos están dispuestos en paralelo. Tal modelo se llama modelo de Bingham-Kelvin por analogía con el modelo de Kelvin .

En el caso de materiales viscoplásticos perfectamente elásticos, la deformación elástica ya no se considera despreciable, sino que la tasa de deformación plástica es solo una función de la tensión de fluencia inicial y no hay influencia del endurecimiento. El elemento deslizante representa una tensión de fluencia constante cuando se supera el límite elástico independientemente de la deformación. El modelo se puede expresar como

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$$

donde es la viscosidad del elemento amortiguador. Si el elemento amortiguador tiene una respuesta que es de la forma Norton ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle {\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}}$$

obtenemos el modelo de Bingham-Norton

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$$

También se pueden observar en la literatura otras expresiones para la tasa de deformación ^[22] con la forma general

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$$

Las respuestas a las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 8.

Figura 8. Respuesta de un sólido elástico perfectamente viscoplástico a los ensayos de endurecimiento, fluencia y relajación.

Sólido de endurecimiento elastoviscoplástico

Un material viscoplástico elástico con endurecimiento por deformación se describe mediante ecuaciones similares a las de un material viscoplástico elástico con plasticidad perfecta. Sin embargo, en este caso la tensión depende tanto de la velocidad de deformación plástica como de la propia deformación plástica. En el caso de un material elastoviscoplástico, la tensión, después de superar la tensión de fluencia, continúa aumentando más allá del punto de fluencia inicial. Esto implica que la tensión de fluencia en el elemento deslizante aumenta con la deformación y el modelo puede expresarse en términos genéricos como

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$$

Este modelo se adopta cuando los metales y las aleaciones se encuentran a temperaturas medias y altas y la madera se encuentra bajo cargas elevadas. Las respuestas a los ensayos de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 9.

Figura 9. Respuesta del sólido endurecedor elastoviscoplástico a los ensayos de endurecimiento, fluencia y relajación.

Modelos de plasticidad dependientes de la velocidad de deformación

Los modelos clásicos de viscoplasticidad fenomenológica para pequeñas deformaciones se suelen clasificar en dos tipos: ^{[3] [ cita completa necesaria ]}

• La formulación de Perzyna
• La formulación de Duvaut-Lions

Formulación de Perzyna

En la formulación de Perzyna se supone que la tasa de deformación plástica viene dada por una relación constitutiva de la forma

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\rm {if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\rm {otherwise}}\\\end{cases}}}$

donde es una función de fluencia , es la tensión de Cauchy , es un conjunto de variables internas (como la deformación plástica ), es un tiempo de relajación. La notación denota los corchetes de Macaulay . La regla de flujo utilizada en varias versiones del modelo de Chaboche es un caso especial de la regla de flujo de Perzyna ^[23] y tiene la forma ${\displaystyle f(.,.)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}sign({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})}$$

donde es el valor cuasiestático de y es una tensión hacia atrás . Varios modelos para la tensión hacia atrás también se conocen con el nombre de modelo de Chaboche . ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}}$

Formulación de Duvaut-Lions

La formulación de Duvaut-Lions es equivalente a la formulación de Perzyna y puede expresarse como

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\rm {{if}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0}}\\0&{\rm {otherwise}}\end{cases}}}$$

donde es el tensor de rigidez elástica, es la proyección del punto más cercano del estado de tensión en el límite de la región que limita todos los estados de tensión elástica posibles. La cantidad se encuentra típicamente a partir de la solución independiente de la velocidad para un problema de plasticidad. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

Modelos de tensión de flujo

La cantidad representa la evolución de la superficie de fluencia . La función de fluencia se expresa a menudo como una ecuación que consta de algún invariante de tensión y un modelo para la tensión de fluencia (o tensión de fluencia plástica). Un ejemplo es von Mises o plasticidad. En esas situaciones, la tasa de deformación plástica se calcula de la misma manera que en la plasticidad independiente de la velocidad. En otras situaciones, el modelo de tensión de fluencia proporciona un medio directo para calcular la tasa de deformación plástica. ${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Se utilizan numerosos modelos empíricos y semiempíricos de tensión de flujo para calcular la plasticidad. Los siguientes modelos dependientes de la temperatura y la velocidad de deformación proporcionan una muestra de los modelos que se utilizan actualmente:

1. El modelo Johnson-Cook
2. el modelo Steinberg–Cochran–Guinan–Lund.
3. el modelo Zerilli-Armstrong.
4. El modelo de estrés umbral mecánico.
5. el modelo Preston-Tonks-Wallace.

El modelo Johnson–Cook (JC) ^[24] es puramente empírico y es el más utilizado de los cinco. Sin embargo, este modelo exhibe una dependencia de la tasa de deformación irrealmente pequeña a altas temperaturas. El modelo Steinberg–Cochran–Guinan–Lund (SCGL) ^{[25] [26]} es semiempírico. El modelo es puramente empírico e independiente de la tasa de deformación a altas tasas de deformación. Una extensión basada en dislocaciones basada en ^[27] se utiliza a bajas tasas de deformación. El modelo SCGL es ampliamente utilizado por la comunidad de física de choque. El modelo Zerilli–Armstrong (ZA) ^[28] es un modelo simple basado en la física que se ha utilizado ampliamente. Un modelo más complejo que se basa en ideas de la dinámica de dislocaciones es el modelo de estrés umbral mecánico (MTS). ^[29] Este modelo se ha utilizado para modelar la deformación plástica de cobre, tantalio, ^[30] aleaciones de acero, ^{[31] [32]} y aleaciones de aluminio. ^[33] Sin embargo, el modelo MTS está limitado a tasas de deformación menores a 10 ⁷ /s. El modelo Preston–Tonks–Wallace (PTW) ^[34] también tiene una base física y una forma similar al modelo MTS. Sin embargo, el modelo PTW tiene componentes que pueden modelar la deformación plástica en el régimen de choque sobrecargado (tasas de deformación mayores a 10 ⁷ /s). Por lo tanto, este modelo es válido para el rango más amplio de tasas de deformación entre los cinco modelos de tensión de flujo.

Modelo de esfuerzo de flujo de Johnson-Cook

El modelo Johnson-Cook (JC) ^[24] es puramente empírico y proporciona la siguiente relación para la tensión de flujo ( ) ${\displaystyle \sigma _{y}}$

$${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[A+B(\varepsilon _{\rm {p}})^{n}\right]\left[1+C\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*})\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]}$$

donde es la deformación plástica equivalente , es la tasa de deformación plástica y son constantes del material. ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$ ${\displaystyle A,B,C,n,m}$

La tasa de deformación y la temperatura normalizadas en la ecuación (1) se definen como

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}:={\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\cfrac {(T-T_{0})}{(T_{m}-T_{0})}}}$$

donde es la tasa de deformación plástica efectiva de la prueba cuasiestática utilizada para determinar los parámetros de fluencia y endurecimiento A, B y n. Esto no es, como se suele pensar, solo un parámetro para hacer que no sea dimensional. ^[35] es una temperatura de referencia y es una temperatura de fusión de referencia . Para condiciones donde , asumimos que . ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle T^{*}<0}$ ${\displaystyle m=1}$

Modelo de tensión de flujo de Steinberg–Cochran–Guinan–Lund

El modelo Steinberg–Cochran–Guinan–Lund (SCGL) es un modelo semiempírico que fue desarrollado por Steinberg et al. ^[25] para situaciones de alta tasa de deformación y extendido a tasas de deformación bajas y materiales bcc por Steinberg y Lund. ^[26] La tensión de flujo en este modelo está dada por

$${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\rm {p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$$

donde es el componente atérmico de la tensión de flujo, es una función que representa el endurecimiento por deformación, es el componente activado térmicamente de la tensión de flujo, es el módulo de corte dependiente de la presión y la temperatura, y es el módulo de corte a temperatura y presión estándar. El valor de saturación de la tensión atérmica es . La saturación de la tensión activada térmicamente es la tensión de Peierls ( ). El módulo de corte para este modelo se calcula generalmente con el modelo de módulo de corte de Steinberg–Cochran–Guinan . ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \mu (p,T)}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{max}}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

La función de endurecimiento por deformación ( ) tiene la forma ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\rm {p}}+\varepsilon _{\rm {p}}i)]^{n}}$$

donde son los parámetros de endurecimiento por trabajo, y es la deformación plástica equivalente inicial. ${\displaystyle \beta ,n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}i}$

El componente térmico ( ) se calcula utilizando un algoritmo de bisección a partir de la siguiente ecuación. ^{[26] [27]} ${\displaystyle \sigma _{t}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{b}~T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$$

donde es la energía para formar un par de pliegues en un segmento de dislocación de longitud , es la constante de Boltzmann , es la tensión de Peierls . Las constantes están dadas por las relaciones ${\displaystyle 2U_{k}}$ ${\displaystyle L_{d}}$ ${\displaystyle k_{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

$${\displaystyle C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}}$$

donde es la densidad de dislocación , es la longitud de un segmento de dislocación, es la distancia entre los valles de Peierls, es la magnitud del vector de Burgers , es la frecuencia de Debye , es el ancho de un bucle de torcedura y es el coeficiente de arrastre . ${\displaystyle \rho _{d}}$ ${\displaystyle L_{d}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle D}$

Modelo de esfuerzo de flujo de Zerilli-Armstrong

El modelo Zerilli–Armstrong (ZA) ^{[28] [36] [37]} se basa en una mecánica de dislocaciones simplificada. La forma general de la ecuación para la tensión de flujo es

$${\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\rm {p}}}}\exp(-\alpha T)~.}$$En este modelo, el componente atérmico del esfuerzo de flujo está dado por ${\displaystyle \sigma _{a}}$

$${\displaystyle \sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {l}}}+K\varepsilon _{\rm {p}}^{n},}$$

donde es la contribución debida a los solutos y la densidad de dislocación inicial, es la intensidad del estrés microestructural, es el diámetro promedio del grano, es cero para materiales fcc, son constantes del material. ${\displaystyle \sigma _{g}}$ ${\displaystyle k_{h}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B,B_{0}}$

En los términos activados térmicamente, las formas funcionales de los exponentes y son ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});}$$

donde son parámetros del material que dependen del tipo de material (fcc, bcc, hcp, aleaciones). El modelo Zerilli-Armstrong ha sido modificado por ^[38] para un mejor rendimiento a altas temperaturas. ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}}$

Modelo de flujo de tensión de umbral mecánico

El modelo de estrés umbral mecánico (MTS) ^{[29] [39] [40]} ) tiene la forma

$${\displaystyle {\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}}$$

donde es el componente atérmico del estrés umbral mecánico, es el componente del estrés de flujo debido a las barreras intrínsecas al movimiento de dislocación activado térmicamente y a las interacciones dislocación-dislocación, es el componente del estrés de flujo debido a la evolución microestructural con una deformación creciente (endurecimiento por deformación), ( ) son factores de escala dependientes de la temperatura y la velocidad de deformación, y es el módulo de corte a 0 K y presión ambiente. ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle S_{i},S_{e}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Los factores de escala toman la forma de Arrhenius

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}}$$

donde es la constante de Boltzmann, es la magnitud del vector de Burgers, ( ) son energías de activación normalizadas, ( ) son la tasa de deformación y la tasa de deformación de referencia, y ( ) son constantes. ${\displaystyle k_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g_{0i},g_{0e}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}}$ ${\displaystyle q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}}$

El componente de endurecimiento por deformación de la tensión umbral mecánica ( ) viene dado por una ley de Voce modificada empírica ${\displaystyle \sigma _{e}}$

$${\displaystyle {\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\rm {p}}}}=\theta (\sigma _{e})}$$

dónde

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}+a_{2}{\sqrt {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\cfrac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln({\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}})&=\left({\frac {kT}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\right)\ln \left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\end{aligned}}}$$

y es el endurecimiento debido a la acumulación de dislocaciones, es la contribución debida al endurecimiento de la etapa IV, ( ) son constantes, es la tensión a una tasa de endurecimiento por deformación cero, es la tensión umbral de saturación para la deformación a 0 K, es una constante y es la tasa de deformación máxima. Nótese que la tasa de deformación máxima normalmente está limitada a aproximadamente /s. ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{IV}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{es}}$ ${\displaystyle \sigma _{0es}}$ ${\displaystyle g_{0es}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$ ${\displaystyle 10^{7}}$

Modelo de tensión de flujo de Preston-Tonks-Wallace

El modelo Preston–Tonks–Wallace (PTW) ^[34] intenta proporcionar un modelo para la tensión de flujo para tasas de deformación extremas (hasta 10 ¹¹ /s) y temperaturas hasta la fusión. En el modelo se utiliza una ley de endurecimiento de Voce lineal. La tensión de flujo PTW se da por

$${\displaystyle {\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\rm {p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}}$$

con

$${\displaystyle \alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi :=\exp(\beta )-1}$$

donde es una tensión de saturación de endurecimiento por trabajo normalizada, es el valor de a 0 K, es una tensión de fluencia normalizada, es la constante de endurecimiento en la ley de endurecimiento de Voce y es un parámetro de material adimensional que modifica la ley de endurecimiento de Voce. ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$

La tensión de saturación y la tensión de fluencia se dan por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}}}\right\}\end{aligned}}}$$

donde es el valor de cerca de la temperatura de fusión, ( ) son los valores de a 0 K y cerca de la fusión, respectivamente, son constantes del material, , ( ) son parámetros del material para el régimen de alta tasa de deformación, y ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle y_{0},y_{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$ ${\displaystyle (\kappa ,\gamma )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}=T/T_{m}}$ ${\displaystyle s_{1},y_{1},y_{2}}$

$${\displaystyle {\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}}$$

donde es la densidad y es la masa atómica. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$

Véase también

• Viscoelasticidad
• Plástico Bingham
• Amortiguador
• Fluencia (deformación)
• Plasticidad (física)
• Mecánica de medios continuos
• Cuasi-sólido

Referencias

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