En el modelado matemático o estadístico, un modelo de umbral es cualquier modelo en el que se utiliza un valor umbral, o un conjunto de valores umbral, para distinguir rangos de valores en los que el comportamiento previsto por el modelo varía de alguna manera importante. Un ejemplo particularmente importante surge en toxicología, donde el modelo para el efecto de un fármaco puede ser que no haya efecto para una dosis por debajo de un valor crítico o umbral, mientras que existe un efecto de cierta importancia por encima de ese valor. [1] Ciertos tipos de modelos de regresión pueden incluir efectos de umbral. [1]
Los modelos de umbral se utilizan a menudo para modelar el comportamiento de grupos, desde insectos sociales hasta manadas de animales y la sociedad humana.
Los modelos de umbral clásicos fueron introducidos por Sakoda, [2] en su disertación de 1949 y en el Journal of Mathematical Sociology (JMS vol 1 #1, 1971). [3] Posteriormente fueron desarrollados por Schelling, Axelrod y Granovetter para modelar el comportamiento colectivo . Schelling utilizó un caso especial del modelo de Sakoda para describir la dinámica de la segregación motivada por las interacciones individuales en Estados Unidos (JMS vol 1 #2, 1971) [4] mediante la construcción de dos modelos de simulación. Schelling demostró que "no existe una correspondencia simple entre el incentivo individual y los resultados colectivos", y que la dinámica del movimiento influía en los patrones de segregación. Al hacerlo, Schelling destacó la importancia de "una teoría general de 'inclinación'".
Mark Granovetter, siguiendo a Schelling, propuso el modelo del umbral (Granovetter y Soong, 1983, 1986, 1988), que supone que el comportamiento de los individuos depende del número de otros individuos que ya participan en ese comportamiento (tanto Schelling como Granovetter clasifican su término de “umbral” como umbral de comportamiento). Utilizó el modelo del umbral para explicar los disturbios, la segregación residencial y la espiral del silencio . En el espíritu del modelo del umbral de Granovetter, el “umbral” es “el número o la proporción de otros que deben tomar una decisión antes de que un actor determinado lo haga”. Es necesario enfatizar los determinantes del umbral. Diferentes individuos tienen diferentes umbrales. Los umbrales de los individuos pueden verse influenciados por muchos factores: estatus socioeconómico, educación, edad, personalidad, etc. Además, Granovetter relaciona el “umbral” con la utilidad que se obtiene al participar en un comportamiento colectivo o no, utilizando la función de utilidad, cada individuo calculará su costo y beneficio de emprender una acción. Además, la situación puede cambiar el costo y el beneficio de la conducta, por lo que el umbral es específico de cada situación. La distribución de los umbrales determina el resultado de la conducta agregada (por ejemplo, la opinión pública).
Los modelos utilizados en el análisis de regresión segmentada son modelos de umbral.
Se ha demostrado que ciertos modelos multivariados recursivos deterministas que incluyen efectos de umbral producen efectos fractales . [5]
Varias clases de modelos autorregresivos no lineales formulados para aplicaciones de series de tiempo han sido modelos de umbral. [5]
Un modelo de umbral utilizado en toxicología postula que cualquier cantidad de toxina que supere una determinada dosis es peligrosa y cualquier cantidad que esté por debajo de esa dosis es segura. Este modelo se aplica generalmente a peligros para la salud no cancerígenos .
Edward J. Calabrese y Linda A. Baldwin escribieron:
Un tipo alternativo de modelo en toxicología es el modelo lineal sin umbral (LNT), mientras que la hormesis corresponde a la existencia de efectos opuestos en dosis bajas frente a dosis altas, lo que generalmente da una curva de respuesta a la dosis en forma de U o de U invertida.
El modelo de umbral de responsabilidad es un modelo de umbral de resultados categóricos (normalmente binarios) en el que se suman un gran número de variables para obtener un puntaje de "responsabilidad" general; el resultado observado se determina en función de si el puntaje latente es menor o mayor que el umbral. El modelo de umbral de responsabilidad se emplea con frecuencia en medicina y genética para modelar los factores de riesgo que contribuyen a la enfermedad.
En un contexto genético, las variables son todos los genes y las diferentes condiciones ambientales que protegen contra una enfermedad o aumentan su riesgo, y el umbral z es el límite biológico más allá del cual se desarrolla la enfermedad. El umbral se puede estimar a partir de la prevalencia de la enfermedad en la población (que suele ser baja). Debido a que el umbral se define en relación con la población y el medio ambiente, el puntaje de vulnerabilidad generalmente se considera como una variable aleatoria con distribución normal N(0, 1) .
Los primeros modelos genéticos se desarrollaron para tratar enfermedades genéticas muy raras tratándolas como enfermedades mendelianas causadas por 1 o 2 genes: la presencia o ausencia del gen corresponde a la presencia o ausencia de la enfermedad, y la aparición de la enfermedad seguirá patrones predecibles dentro de las familias. Los rasgos continuos como la altura o la inteligencia podrían modelarse como distribuciones normales , influenciadas por una gran cantidad de genes, y la heredabilidad y los efectos de la selección se analizarían fácilmente. Algunas enfermedades, como el alcoholismo, la epilepsia o la esquizofrenia , no pueden ser enfermedades mendelianas porque son comunes; no aparecen en proporciones mendelianas; responden lentamente a la selección en su contra; a menudo ocurren en familias sin antecedentes de esa enfermedad; sin embargo, los parientes y los adoptados de alguien con esa enfermedad tienen muchas más probabilidades (pero no certeza) de desarrollarla, lo que indica un fuerte componente genético. El modelo del umbral de responsabilidad se desarrolló para tratar estos casos binarios no mendelianos; El modelo propone que existe un rasgo continuo distribuido normalmente que expresa el riesgo influenciado poligénicamente por muchos genes, y que todos los individuos por encima de un cierto valor desarrollan la enfermedad y todos los que están por debajo de él no.
Los primeros modelos de umbral en genética fueron introducidos por Sewall Wright , que examinó la propensión de las cepas de cobayas a tener un dedo trasero adicional, un fenómeno que no podía explicarse como un gen dominante o recesivo, o una "herencia cegadora" continua. [7] [8] El modelo moderno de umbral de responsabilidad fue introducido en la investigación humana por el genetista Douglas Scott Falconer en su libro de texto [9] y dos artículos. [10] [11] Cyril Clarke, que tenía diabetes , le había preguntado a Falconer sobre el tema del modelado de "caracteres umbral" . [12]
Una de las primeras aplicaciones de los modelos de umbral de responsabilidad fue a la esquizofrenia por parte de Irving Gottesman y James Shields , quienes encontraron una heredabilidad sustancial y poca influencia del ambiente compartido [13] y socavaron la teoría de la "madre fría" de la esquizofrenia.
La propuesta de que la temperatura global aumentará de un modo no lineal una vez que cruce un valor umbral hipotético se ha hecho en varios estudios [14]. Un modelo de umbral reciente [15] predice que en este estado supraumbral el aumento de temperatura será dramáticamente brusco y no gradual.