Teorema del límite central de la martingala

En teoría de probabilidad , el teorema del límite central dice que, bajo ciertas condiciones, la suma de muchas variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas , cuando se escalan apropiadamente, converge en distribución a una distribución normal estándar . El teorema del límite central de martingala generaliza este resultado para variables aleatorias a martingalas , que son procesos estocásticos donde el cambio en el valor del proceso desde el tiempo t hasta el tiempo t  + 1 tiene una expectativa cero, incluso condicionada a resultados anteriores.

Declaración

He aquí una versión simple del teorema del límite central de la martingala: Sea una martingala con incrementos acotados; es decir, supongamos ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots \,}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,}$

y

${\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq k}$

casi con seguridad para algún límite fijo k y todos los t . Supongamos también que casi con seguridad. ${\displaystyle |X_{1}|\leq k}$

Definir

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\operatorname {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],}$

y dejar

${\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}$

converge en distribución a la distribución normal con media 0 y varianza 1 como . Más explícitamente, ${\displaystyle \nu \to +\infty \!}$

${\displaystyle \lim _{\nu \to +\infty }\operatorname {P} \left({\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}<x\right)=\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du,\quad x\in \mathbb {R} .}$

La suma de varianzas debe divergir hasta el infinito

La afirmación del resultado anterior supone implícitamente que las varianzas suman infinito, por lo que lo siguiente se cumple con probabilidad 1:

${\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }$

Esto garantiza que con probabilidad 1:

${\displaystyle \tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0}$

Esta condición se viola, por ejemplo, con una martingala que se define como cero casi con seguridad para todo el tiempo.

Intuición sobre el resultado

El resultado se puede entender intuitivamente escribiendo la relación como una suma:

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1}$

El primer término del lado derecho converge asintóticamente a cero, mientras que el segundo término es cualitativamente similar a la fórmula de suma del teorema del límite central en el caso más simple de variables aleatorias iid. Si bien los términos en la expresión anterior no son necesariamente iid, no están correlacionados y tienen media cero. De hecho:

${\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})]=0,\forall i\in \{1,2,3,...\}}$

${\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})(X_{j+1}-X_{j})]=0,\forall i\neq j,i,j\in \{1,2,3,...\}}$

Referencias

Se pueden encontrar muchas otras variantes del teorema del límite central de la martingala en:

• Hall, Peter; Heyde, C. C. (1980). Teoría del límite de la martingala y su aplicación . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-319350-8.

Sin embargo, cabe señalar que la demostración del teorema 5.4 de Hall & Heyde contiene un error. Para más información, véase

• Bradley, Richard (1988). "Sobre algunos resultados de MI Gordin: una aclaración de un malentendido". Journal of Theoretical Probability . 1 (2). Springer: 115–119. doi :10.1007/BF01046930. S2CID  120698528.