Identidad Weinstein-Aronszajn

Para dos matrices adecuadas, A y B, I+AB e I+BA tienen el mismo valor determinado

En matemáticas , la identidad de Weinstein-Aronszajn establece que si y son matrices de tamaño m × n y n × m respectivamente (cualquiera o ambas pueden ser infinitas), entonces, siempre que (y por tanto, también ) sea de clase traza , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),}$

donde está la matriz identidad k × k . ${\displaystyle I_{k}}$

Está estrechamente relacionado con el lema determinante de la matriz y su generalización. Es el análogo determinante de la identidad matricial de Woodbury para matrices inversas.

Prueba

La identidad puede probarse de la siguiente manera. ^[1] Sea una matriz que consta de los cuatro bloques , y : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}.}$

Como Im _es invertible , la fórmula para el determinante de una matriz de bloques da

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det \left(I_{n}-BI_{m}^{-1}A\right)=\det(I_{n}-BA).}$

Como In _es invertible, la fórmula para el determinante de una matriz de bloques da

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det \left(I_{m}-AI_{n}^{-1}B\right)=\det(I_{m}-AB).}$

De este modo

${\displaystyle \det(I_{n}-BA)=\det(I_{m}-AB).}$

Sustituir entonces da la identidad Weinstein-Aronszajn. ${\displaystyle -A}$ ${\displaystyle A}$

Aplicaciones

Dejar . La identidad se puede utilizar para mostrar la afirmación algo más general de que ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle \det(AB-\lambda I_{m})=(-\lambda )^{m-n}\det(BA-\lambda I_{n}).}$

De ello se deduce que los valores propios distintos de cero de y son los mismos. ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

Esta identidad es útil para desarrollar un estimador de Bayes para distribuciones gaussianas multivariadas .

La identidad también encuentra aplicaciones en la teoría de matrices aleatorias al relacionar determinantes de matrices grandes con determinantes de matrices más pequeñas. ^[2]

Referencias

1. Pozrikidis, C. (2014), Introducción a las cuadrículas, gráficos y redes, Oxford University Press, pág. 271, ISBN 9780199996735
2. "La estructura mesoscópica de los valores propios de GUE | Novedades". Terrytao.wordpress.com . Consultado el 16 de enero de 2016 .