Teorema de De Gua

Análogo tridimensional del teorema de Pitágoras

Tetraedro con un vértice en ángulo recto en O

En matemáticas , el teorema de De Gua es un análogo tridimensional del teorema de Pitágoras, llamado así por Jean Paul de Gua de Malves . Afirma que si un tetraedro tiene una esquina en ángulo recto (como la esquina de un cubo ), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta a la esquina en ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras: El teorema de De Gua se puede aplicar para demostrar un caso especial de la fórmula de Heron . ^[1] $${\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}$$

Generalizaciones

El teorema de Pitágoras y el teorema de De Gua son casos especiales ( n = 2, 3 ) de un teorema general sobre n -símplices con un ángulo recto , demostrado por PS Donchian y HSM Coxeter en 1935. ^[2] Este, a su vez, es un caso especial de un teorema aún más general de Donald R. Conant y William A. Beyer (1974), ^[3] que puede enunciarse de la siguiente manera.

Sea U un subconjunto medible de un subespacio afín de dimensión k de (por lo que ). Para cualquier subconjunto con exactamente k elementos, sea la proyección ortogonal de U sobre el espacio lineal de , donde y es la base estándar para . Entonces donde es el volumen de dimensión k de U y la suma es sobre todos los subconjuntos con exactamente k elementos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle U_{I}}$ ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}$ ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\sum _{I}\operatorname {vol} _{k}^{2}(U_{I}),}$$ ${\displaystyle \operatorname {vol} _{k}(U)}$ ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$

El teorema de De Gua y su generalización (arriba) a n -símplices con vértices en ángulo recto corresponden al caso especial donde k  =  n −1 y U es un ( n −1)-símplice en con vértices en los ejes de coordenadas . Por ejemplo, supongamos que n = 3 , k = 2 y U es el triángulo en con vértices A , B y C en los ejes -, - y -, respectivamente. Los subconjuntos de con exactamente 2 elementos son , y . Por definición, es la proyección ortogonal de sobre el plano -, por lo que lo es el triángulo con vértices O , B y C , donde O es el origen de . De manera similar, y , por lo que el teorema de Conant-Beyer dice ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ${\displaystyle U=\triangle ABC}$ ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$ ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ${\displaystyle \triangle OBC}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC}$ ${\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO}$

$${\displaystyle \operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABC)=\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle OBC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle AOC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABO),}$$que es el teorema de De Gua.

La generalización del teorema de De Gua a n -símplices con vértices rectos también puede obtenerse como un caso especial a partir de la fórmula del determinante de Cayley-Menger .

El teorema de De Gua también puede generalizarse a tetraedros arbitrarios y a pirámides. ^{[4] [5]}

Historia

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785) publicó el teorema en 1783, pero por la misma época también publicó una versión ligeramente más general otro matemático francés, Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818). Sin embargo, el teorema también era conocido mucho antes por Johann Faulhaber (1580-1635) y René Descartes (1596-1650). ^{[6] [7]}

Véase también

• Área vectorial y área proyectada
• Bivector

Notas

1. Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "El teorema de los cosenos para pirámides". The Mathematical Intelligencer . doi : 10.1007/s00283-020-09996-8 . S2CID  224956341.
2. Donchian, PS; Coxeter, HSM (julio de 1935). "1142. Una extensión n-dimensional del teorema de Pitágoras". The Mathematical Gazette . 19 (234): 206. doi :10.2307/3605876. JSTOR  3605876. S2CID  125391795.
3. Donald R Conant y William A Beyer (marzo de 1974). "Teorema de Pitágoras generalizado". The American Mathematical Monthly . 81 (3). Asociación Matemática de Estados Unidos: 262–265. doi :10.2307/2319528. JSTOR  2319528.
4. Kheyfits, Alexander (2004). "El teorema de los cosenos para pirámides". The College Mathematics Journal . 35 (5). Asociación Matemática de América: 385–388. doi :10.2307/4146849. JSTOR  4146849.
5. Tran, Quang Hung (2 de agosto de 2023). "Una generalización del teorema de De Gua con una prueba vectorial". The Mathematical Intelligencer . doi :10.1007/s00283-023-10288-0. ISSN  0343-6993.
6. Weisstein, Eric W. "teorema de de Gua". MundoMatemático .
7. Howard Whitley Eves: Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650) . Asociación Matemática de Estados Unidos, 1983, ISBN 9780883853108 , pág. 37 ( extracto , pág. 37, en Google Books ) 

Referencias

• Sergio A. Alvarez: Nota sobre un teorema de Pitágoras n-dimensional, Carnegie Mellon University.
• Hull, Lewis; Perfect, Hazel; Heading, J. (1978). "62.23 Pitágoras en dimensiones superiores: tres enfoques". Mathematical Gazette . 62 (421): 206–211. doi :10.2307/3616695. JSTOR  3616695. S2CID  187356402.
• Weisstein, Eric W. "teorema de de Gua". MundoMatemático .