Resultado en la teoría de la probabilidad.
En teoría de la probabilidad , el teorema de continuidad de Lévy , o teorema de convergencia de Lévy , [1] que lleva el nombre del matemático francés Paul Lévy , conecta la convergencia en la distribución de la secuencia de variables aleatorias con la convergencia puntual de sus funciones características . Este teorema es la base de un enfoque para demostrar el teorema del límite central y es uno de los principales teoremas relacionados con funciones características.
Declaración
Supongamos que tenemos
- una secuencia de variables aleatorias , que no necesariamente comparten un espacio de probabilidad común ,
![{\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- la secuencia de funciones características correspondientes , que por definición son
![{\textstyle \{\varphi _ {n}\}_ {n=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX_{n}}\right]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\ en \mathbb {N} ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está el operador del valor esperado ?![{\displaystyle \operatorname {E} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si la secuencia de funciones características converge puntualmente a alguna función![{\displaystyle \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces las siguientes afirmaciones se vuelven equivalentes:
converge en distribución a alguna variable aleatoria X![{\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es decir, las funciones de distribución acumulativa correspondientes a variables aleatorias convergen en cada punto de continuidad de la CDF de X ;
Es ajustado : ![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\ derecha)=0;}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es una función característica de alguna variable aleatoria X ;
es una función continua de t ;
es continua en t = 0.
Prueba
Se encuentran disponibles demostraciones rigurosas de este teorema. [1] [2]
Referencias
- ^ ab Williams, D. (1991). Probabilidad con Martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. sección 18.1. ISBN 0-521-40605-6.
- ^ Fristedt, SER; Gris, LF (1996). Un enfoque moderno de la teoría de la probabilidad . Boston: Birkhäuser. Teoremas 14.15 y 18.21. ISBN 0-8176-3807-5.