teorema de topkis

En economía matemática , el teorema de Topkis es un resultado que resulta útil para establecer la estática comparada . El teorema permite a los investigadores comprender cómo cambia el valor óptimo de una variable de elección cuando cambia una característica del entorno. El resultado establece que si f es supermodular en ( x , θ ) y D es una red , entonces no es decreciente en θ . El resultado es especialmente útil para establecer resultados estáticos comparativos cuando la función objetivo no es diferenciable. El resultado lleva el nombre de Donald M. Topkis. ${\displaystyle x^{*}(\theta )=\arg \max _{x\in D}f(x,\theta )}$

Un ejemplo

Este ejemplo mostrará cómo usar el teorema de Topkis da el mismo resultado que usar herramientas más estándar. La ventaja de utilizar el teorema de Topkis es que se puede aplicar a una clase más amplia de problemas que los que se pueden estudiar con herramientas económicas estándar.

Un conductor conduce por una carretera y debe elegir una velocidad, s . Es deseable ir más rápido, pero es más probable que se produzca un accidente. Hay cierta prevalencia de baches, pág . La presencia de baches aumenta la probabilidad de estrellarse. Tenga en cuenta que s es una variable de elección y p es un parámetro del entorno que se fija desde la perspectiva del conductor. El conductor busca . ${\displaystyle \max _{s}U(s,p)}$

Nos gustaría entender cómo cambia la velocidad del conductor (una variable de elección) con la cantidad de baches:

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}.}$

Si uno quisiera resolver el problema con herramientas estándar como el teorema de la función implícita , tendría que asumir que el problema se comporta bien: U (.) es dos veces continuamente diferenciable, cóncavo en s , que el dominio sobre el cual se define s es convexo, y que existe un maximizador único para cada valor de p y que está en el interior del conjunto sobre el cual se define s . Tenga en cuenta que la velocidad óptima es función de la cantidad de baches. Tomando la condición de primer orden, sabemos que en el óptimo, . Derivando la condición de primer orden, con respecto a p y usando el teorema de la función implícita, encontramos que ${\displaystyle s^{\ast }(p)}$ ${\displaystyle s^{\ast }(p)}$ ${\displaystyle U_{s}(s^{\ast }(p),p)=0}$

${\displaystyle U_{ss}(s^{\ast }(p),p)(\partial s^{\ast }(p)/(\partial p))+U_{sp}(s^{\ast }(p),p)=0}$

o eso

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}={\underset {{\text{negative since we assumed }}U(.){\text{ was concave in }}s}{\underbrace {\frac {-U_{sp}(s^{\ast }(p),p)}{U_{ss}(s^{\ast }(p),p)}} }}.}$

Entonces,

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}{\overset {\text{sign}}{=}}U_{sp}(s^{\ast }(p),p).}$

Si s y p son sustitutos,

${\displaystyle U_{sp}(s^{\ast }(p),p)<0}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}<0}$

y más baches provocan menos exceso de velocidad. Claramente es más razonable suponer que son sustitutos.

El problema con el enfoque anterior es que se basa en la diferenciabilidad de la función objetivo y en la concavidad. Podríamos llegar a la misma respuesta utilizando el teorema de Topkis de la siguiente manera. Queremos mostrar que es submodular (lo opuesto a supermodular) en . Tenga en cuenta que el conjunto de opciones es claramente un entramado. El parcial cruzado de U es negativo, , es una condición suficiente. Por lo tanto, si sabemos eso . ${\displaystyle U(s,p)}$ ${\displaystyle \left(s,p\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial s\,\partial p}}<0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial s\,\partial p}}<0,}$ ${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}<0}$

Por lo tanto, utilizar el teorema de la función implícita y el teorema de Topkis da el mismo resultado, pero este último lo hace con menos suposiciones.

notas y referencias

• Amir, Rabah (2005). "Supermodularidad y complementariedad en economía: una encuesta elemental". Revista Económica del Sur . 71 (3): 636–660. doi :10.2307/20062066. JSTOR  20062066.
• Topkis, Donald M. (1978). "Minimizar una función submodular en una celosía". La investigación de operaciones . 26 (2): 305–321. CiteSeerX  10.1.1.557.5908 . doi :10.1287/opre.26.2.305.
• Topkis, Donald M. (1998). Supermodularidad y Complementariedad . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-03244-3.