El teorema de Morton es un principio del póquer articulado por Andy Morton en un grupo de noticias de póquer de Usenet . Afirma que en botes con múltiples participantes, la expectativa de un jugador puede maximizarse si un oponente toma una decisión correcta.
La aplicación más común del teorema de Morton ocurre cuando un jugador tiene la mejor mano, pero hay dos o más oponentes en situaciones de empate . En este caso, el jugador con la mejor mano podría ganar más dinero a largo plazo cuando un oponente se retira ante una apuesta, incluso si ese oponente se retira correctamente y estaría cometiendo un error personal al igualar la apuesta. Este tipo de situación a veces se conoce como colusión implícita .
El teorema de Morton contrasta con el teorema fundamental del póquer , que establece que un jugador quiere que sus oponentes tomen decisiones que minimicen sus propias expectativas. Los dos teoremas difieren en presencia de más de un oponente: mientras que el teorema fundamental siempre se aplica en mano a mano (un oponente), no siempre se aplica en botes con varios jugadores.
El alcance del teorema de Morton en situaciones de múltiples jugadores es un tema de controversia. [1] Morton expresó [ especificar ] la creencia de que su teorema es genéricamente aplicable en botes de múltiples jugadores, de modo que el teorema fundamental rara vez se aplica excepto en situaciones de cara a cara.
El siguiente ejemplo se atribuye a Morton, [2] quien fue el primero en publicar una versión del mismo [3] en el grupo de noticias de Usenet rec.gambling.poker.
Supongamos que en un Hold'em con límite un jugador llamado Arnold tiene A♦ K♣ y el flop es K♠ 9♥3♥ , lo que le da el par más alto con el mejor kicker . Cuando se completan las apuestas en el flop , Arnold tiene dos oponentes restantes, llamados Brenda y Charles. Arnold está seguro de que Brenda tiene el mejor proyecto de color (por ejemplo, A♥J♥ , lo que le da 9 outs ), y cree que Charles tiene el segundo par con un kicker aleatorio (por ejemplo, Q♣9♣ , 4 outs, no la Q♥ ). El resto de la baraja da como resultado una victoria para Arnold. La carta del turn es un blanco aparente (por ejemplo, 6♦ ) y el tamaño del bote en este punto es P , expresado en apuestas grandes.
Cuando Arnold apuesta en el turn, Brenda, que tiene el proyecto de color, seguramente igualará y casi con toda seguridad obtendrá las probabilidades de bote correctas para hacerlo. Una vez que Brenda iguala, Charles debe decidir si iguala o se retira. Para determinar qué acción debería elegir, calculamos su expectativa en cada caso. Esto depende de la cantidad de cartas entre las 42 restantes que le darán la mejor mano y del tamaño actual del bote. (Aquí, como en los argumentos que involucran el teorema fundamental, asumimos que cada jugador tiene información completa de las cartas de sus oponentes).
Charles no gana ni pierde nada si se retira. Cuando iguala, gana el bote 4/42 de las veces y pierde una apuesta grande el resto del tiempo. Si igualamos estas dos expectativas y calculamos P, podemos determinar el tamaño del bote en el que le es indiferente igualar o retirarse:
Cuando el bote es más grande que esto, Charles debería continuar; de lo contrario, le conviene retirarse.
Para determinar qué acción por parte de Charles preferiría Arnold, calculamos la expectativa de Arnold de la misma manera:
La expectativa de Arnold depende en cada caso del tamaño del bote (en otras palabras, las probabilidades de bote que Charles obtiene al considerar su apuesta). Si igualamos estas dos, podemos calcular el tamaño del bote P, donde a Arnold le da igual si Charles apuesta o se retira:
Cuando el bote es más pequeño que esto, Arnold obtiene ganancias cuando Charles persigue, pero cuando el bote es más grande que esto, la expectativa de Arnold es mayor cuando Charles se retira en lugar de perseguir.
Por lo tanto, existe una gama de tamaños de macetas en las que se pueden utilizar tanto:
(a) es correcto que Charles se retire, y (b) Arnold gana más dinero cuando Charles se retira (correctamente) que cuando persigue (incorrectamente).
Esto se puede ver gráficamente a continuación.
| C DEBERÍA RETIRADA | C DEBERÍA IR | en | QUIERE QUE C LLAME | QUIERE QUE C SE RETIRE | en+---+---+---+---+---+---+---+---+---> tamaño del bote P en apuestas grandes0 1 2 3 4 5 6 7 8 xxxxxxxxx ^ "REGIÓN PARADÓJICA"
El rango de tamaños de bote marcados con X es donde Arnold quiere que Charles (C) se retire correctamente, porque pierde la expectativa cuando Charles paga incorrectamente.
En esencia, en el ejemplo anterior, cuando Charles paga en la "región paradójica", está pagando un precio demasiado alto por su débil proyecto, pero Arnold ya no es el único beneficiario de ese alto precio: Brenda ahora se lleva el dinero de Charles cuando Brenda hace su proyecto de color. En comparación con el caso en el que Arnold está cara a cara con Charles, Arnold todavía corre el riesgo de perder todo el bote, pero ya no obtiene el 100% de la compensación de los pagos flojos de Charles.
La existencia de esta región intermedia de los tamaños del bote, donde un jugador quiere que al menos algunos de sus oponentes se retiren correctamente, explica la estrategia estándar del póquer de reducir el campo tanto como sea posible cuando un jugador cree que tiene la mejor mano. Incluso los oponentes con proyectos incorrectos le cuestan dinero a un jugador cuando igualan sus apuestas, porque parte de estos pagos terminan en las pilas de otros oponentes que están haciendo proyectos contra ellos.
Como Arnold está perdiendo expectativas con la apuesta de Charles, se deduce que el conjunto de todos los demás oponentes (es decir, Brenda y Charles) debe estar ganando con la apuesta de Charles. En otras palabras, si Brenda y Charles se encontraran en el estacionamiento después del juego y dividieran sus ganancias, habrían estado coludiendo contra Arnold. Esto a veces se conoce como colusión implícita . Debería contrastarse con lo que a veces se llama escolarización . La escolarización ocurre cuando muchos oponentes igualan correctamente contra un jugador con la mejor mano, mientras que la colusión implícita ocurre cuando un oponente iguala incorrectamente contra un jugador con la mejor mano.
Una conclusión del teorema de Morton es que, en un juego de hold'em suelto, el valor de las manos del mismo palo aumenta porque son precisamente el tipo de mano que se beneficiará de la colusión implícita.
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{ Charles }}|{\mbox{ plegado }}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3aceed836d908965b87dabb034f51d98b8d631)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{ Charles }}|{\mbox{ llamando }}\right]={\frac {4}{42}}\cdot (P+2)-{\frac {38}{42}}\cdot 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74888a9f62c97c21e737aafa75f462df8bedb12a)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{ Charles }}|{\mbox{ plegado }}\right]=\operatorname {E} \left[{\mbox{ Charles }}|{\mbox{ llamada }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69529ce8c25e4ca7cb6f28a7d1b47a4926191165)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{ Arnold }}|{\mbox{ Charles se pliega }}\right]={\frac {42-9}{42}}\cdot (P+2)={\frac {33}{42}}\cdot (P+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8242ff739178f5614c4567d2ef47b0bd34c0c286)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{ Arnold }}|{\mbox{ Charles llama }}\right]={\frac {42-9-4}{42}}\cdot (P+3)={\frac {29}{42}}\cdot (P+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f614315ca51f948e4f8ebe7d50f79d0956caa921)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\mbox{ Arnold }}|{\mbox{ Charles llama }}\right]=\operatorname {E} \left[{\mbox{ Arnold }}|{\mbox{ Charles se retira }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d59490b7911bb13d3fbc4c07590df7c4e839650)
