Teorema de Looman-Menchoff

En el campo matemático del análisis complejo , el teorema de Looman-Menchoff establece que una función compleja continua definida en un conjunto abierto del plano complejo es holomorfa si y solo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Se trata, por tanto, de una generalización de un teorema de Édouard Goursat que, en lugar de suponer la continuidad de f , supone su diferenciabilidad de Fréchet cuando se la considera como una función de un subconjunto de R ² a R ² .

Un enunciado completo del teorema es el siguiente:

• Sea Ω un conjunto abierto en C y f  : Ω → C una función continua. Supóngase que las derivadas parciales y existen en todas partes excepto en un conjunto numerable en Ω. Entonces f es holomorfa si y solo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann: ${\displaystyle \partial f/\partial x}$ ${\displaystyle \partial f/\partial y}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=0.}$

Ejemplos

Looman señaló que la función dada por f ( z ) = exp(− z ⁻⁴ ) para z  ≠ 0, f (0) = 0 satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todas partes pero no es analítica (ni siquiera continua) en  z  = 0. Esto demuestra que la función f debe suponerse continua en el teorema.

La función dada por f ( z ) = z ⁵ /| z | ⁴ para z  ≠ 0, f (0) = 0 es continua en todas partes y satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z  = 0, pero no es analítica en z  = 0 (ni en ningún otro lugar). Esto demuestra que una generalización ingenua del teorema de Looman-Menchoff a un único punto es falsa :

• Sea f continua en un entorno de un punto z , y tal que y existen en z . Entonces f es holomorfa en z si y solo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en z . ${\displaystyle \partial f/\partial x}$ ${\displaystyle \partial f/\partial y}$

Referencias

• Gray, JD; Morris, SA (1978), "¿Cuándo es analítica una función que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann?", The American Mathematical Monthly , 85 (4) (publicado en abril de 1978): 246–256, doi :10.2307/2321164, JSTOR  2321164.
• Looman, H. (1923), "Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen", Göttinger Nachrichten : 97–108.
• Menchoff, D. (1936), Les condition de monogénéité , París{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace ).
• Montel, P. (1913), "Sur les différentielles totales et les fonctions monogènes", CR Acad. Ciencia. París , 156 : 1820–1822.
• Narasimhan, Raghavan (2001), Análisis complejo en una variable, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4164-5.