Fracción de varianza inexplicable

Ruido estadístico

En estadística , la fracción de varianza inexplicable ( FVU ) en el contexto de una tarea de regresión es la fracción de varianza del regresante (variable dependiente) Y que no puede explicarse, es decir, que no se predice correctamente, mediante las variables explicativas X.

Definicion formal

Supongamos que se nos da una función de regresión que produce para cada una una estimación de dónde está el vector de las i ^-ésimas observaciones de todas las variables explicativas. ^{[1] : 181} Definimos la fracción de varianza inexplicable (FVU) como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle {\widehat {y}}_{i}=f(x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{FVU}}&={{\text{VAR}}_{\text{err}} \over {\text{VAR}}_{\text{tot}}}={{\text{SS}}_{\text{err}}/N \over {\text{SS}}_{\text{tot}}/N}={{\text{SS}}_{\text{err}} \over {\text{SS}}_{\text{tot}}}\left(=1-{{\text{SS}}_{\text{reg}} \over {\text{SS}}_{\text{tot}}},{\text{ only true in some cases such as linear regression}}\right)\\[6pt]&=1-R^{2}\end{aligned}}}$

donde R ² es el coeficiente de determinación y VAR _err y VAR _tot son la varianza de los residuos y la varianza muestral de la variable dependiente. SS _err (la suma de los errores de predicción al cuadrado, equivalentemente la suma residual de cuadrados ), SS _tot (la suma total de cuadrados ) y SS _reg (la suma de cuadrados de la regresión, equivalentemente la suma de cuadrados explicada ) están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{SS}}_{\text{err}}&=\sum _{i=1}^{N}\;(y_{i}-{\widehat {y}}_{i})^{2}\\{\text{SS}}_{\text{tot}}&=\sum _{i=1}^{N}\;(y_{i}-{\bar {y}})^{2}\\{\text{SS}}_{\text{reg}}&=\sum _{i=1}^{N}\;({\widehat {y}}_{i}-{\bar {y}})^{2}{\text{ and}}\\{\bar {y}}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\;y_{i}.\end{aligned}}}$

Alternativamente, la fracción de varianza no explicada se puede definir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\text{FVU}}={\frac {\operatorname {MSE} (f)}{\operatorname {var} [Y]}}}$

donde MSE( f ) es el error cuadrático medio de la función de regresión  ƒ .

Explicación

Es útil considerar la segunda definición para entender FVU. Cuando intentamos predecir Y , la función de regresión más ingenua que podemos imaginar es la función constante que predice la media de Y , es decir, . De ello se deduce que el MSE de esta función es igual a la varianza de Y ; es decir, SS _err = SS _tot y SS _reg = 0. En este caso, no se puede tener en cuenta ninguna variación en Y , y la FVU tiene entonces su valor máximo de 1. ${\displaystyle f(x_{i})={\bar {y}}}$

De manera más general, la FVU será 1 si las variables explicativas X no nos dicen nada sobre Y en el sentido de que los valores predichos de Y no covarían con Y. Pero a medida que la predicción mejora y el MSE puede reducirse, el FVU disminuye. En el caso de una predicción perfecta donde para todo i , el MSE es 0, SS _err = 0, SS _reg = SS _tot y el FVU es 0. ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}=y_{i}}$

Ver también

• Coeficiente de determinación
• Correlación
• Suma de cuadrados explicada
• Suma de cuadrados por falta de ajuste
• Regresión lineal
• Análisis de regresión
• Error escalado absoluto medio

Referencias

1. Achen, CH (1990). ""¿Qué explica la" variación explicada "?: Respuesta". Análisis político . 2 (1): 173–184. doi : 10.1093/pan/2.1.173.