Potencial retardado

Tipos de potencial en electrodinámica

En electrodinámica , los potenciales retardados son los potenciales electromagnéticos para el campo electromagnético generado por distribuciones de corriente o carga eléctrica variables en el tiempo en el pasado. Los campos se propagan a la velocidad de la luz c , por lo que el retraso de los campos que conectan causa y efecto en momentos anteriores y posteriores es un factor importante: la señal tarda un tiempo finito en propagarse desde un punto en la distribución de carga o corriente (el punto de causa) a otro punto en el espacio (donde se mide el efecto), consulte la figura siguiente. ^[1]

En el calibre de Lorenz

Vectores de posición r y r′ utilizados en el cálculo

El punto de partida son las ecuaciones de Maxwell en la formulación potencial utilizando el calibre de Lorenz :

${\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$

donde φ( r , t ) es el potencial eléctrico y A ( r , t ) es el potencial vectorial magnético , para una fuente arbitraria de densidad de carga ρ( r , t ) y densidad de corriente J ( r , t ), y es el operador D'Alembert . ^[2] Al resolverlos se obtienen los potenciales retardados a continuación (todos en unidades SI ). ${\displaystyle \Box }$

Para campos dependientes del tiempo

Para campos dependientes del tiempo, los potenciales retardados son: ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

donde r es un punto en el espacio, t es el tiempo,

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

es el tiempo retardado , y d ³ r' es la medida de integración utilizando r' .

A partir de φ( r , t ) y A ( r , t ), los campos E ( r , t ) y B ( r , t ) se pueden calcular utilizando las definiciones de los potenciales:

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}$

y esto conduce a las ecuaciones de Jefimenko . Los potenciales avanzados correspondientes tienen una forma idéntica, excepto el tiempo avanzado.

${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

reemplaza el tiempo retardado.

En comparación con potenciales estáticos para campos independientes del tiempo

En el caso de que los campos sean independientes del tiempo ( campos electrostáticos y magnetostáticos ), las derivadas temporales de los operadores de los campos son cero y las ecuaciones de Maxwell se reducen a ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,}$

donde ∇ ² es el Laplaciano , que toma la forma de la ecuación de Poisson en cuatro componentes (una para φ y tres para A ), y las soluciones son:

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

Estos también se derivan directamente de los potenciales retardados.

En el calibre de Coulomb

En el calibre de Coulomb , las ecuaciones de Maxwell son ^[5]

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}$

Aunque las soluciones contrastan con lo anterior, ya que A es un potencial retardado, sin embargo φ cambia instantáneamente , dado por:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}$

Esto presenta una ventaja y una desventaja del calibre de Coulomb: φ se calcula fácilmente a partir de la distribución de carga ρ, pero A no se calcula tan fácilmente a partir de la distribución de corriente j . Sin embargo, siempre que exijamos que los potenciales se anulen en el infinito, se pueden expresar claramente en términos de campos:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

En gravedad linealizada

El potencial retardado en la relatividad general linealizada es muy análogo al caso electromagnético. El tensor de traza invertida desempeña el papel del potencial de cuatro vectores, el calibre armónico reemplaza al calibre de Lorenz electromagnético, las ecuaciones de campo son y la solución de onda retardada es ^[6] Utilizando unidades del SI, la expresión debe dividirse por , como se puede confirmar mediante análisis dimensional. ${\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle \Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '.}$$ ${\displaystyle c^{4}}$

Ocurrencia y aplicación

Una teoría de muchos cuerpos que incluye un promedio de potenciales de Liénard-Wiechert retardados y avanzados es la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman, también conocida como teoría simétrica en el tiempo de Wheeler-Feynman.

Ejemplo

El potencial de una carga con velocidad uniforme en una línea recta se invierte en un punto que se encuentra en la posición más cercana. El potencial no se modifica en la dirección del movimiento. ^[7]

Véase también

• Ecuaciones de Maxwell
• Potencial de Liénard-Wiechert
• Ley de Lenz

Referencias

1. Rohrlich, F (1993). "Potentials". En Parker, SP (ed.). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2.ª ed.). Nueva York. pág. 1072. ISBN 0-07-051400-3.{{cite encyclopedia}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Garg, A., Electromagnetismo clásico en pocas palabras , 2012, pág. 129
3. Electromagnetismo (2.ª edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
4. Introducción a la electrodinámica (3.ª edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
5. Introducción a la electrodinámica (3.ª edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
6. Sean M. Carroll, "Notas de clase sobre relatividad general" (arXiv:gr-qc/9712019), ecuaciones 6.20, 6.21, 6.22, 6.74
7. Feynman, Conferencia 26, Transformaciones de Lorentz de los campos