En geometría enumerativa , el problema de la cónica de Steiner es el problema de encontrar el número de cónicas suaves tangentes a cinco cónicas dadas en el plano en posición general . Si el problema se considera en el plano proyectivo complejo CP 2 , la solución correcta es 3264 (Bashelor, Ksir y Traves (2008)). El problema recibe su nombre de Jakob Steiner , quien lo planteó por primera vez y dio una solución incorrecta en 1848.
Steiner (1848) afirmó que el número de cónicas tangentes a 5 dadas las cónicas en posición general es 7776 = 6 5 , pero más tarde se dio cuenta de que esto era incorrecto. El número correcto 3264 fue encontrado alrededor de 1859 por Ernest de Jonquières, quien no publicó debido a la reputación de Steiner, y por Chasles (1864) utilizando su teoría de características, y por Berner en 1865. Sin embargo, estos resultados, como muchos otros en la teoría clásica de intersecciones, no parecen haber recibido pruebas completas hasta el trabajo de Fulton y MacPherson en aproximadamente 1978.
El espacio de cónicas (posiblemente degeneradas) en el plano proyectivo complejo CP 2 puede identificarse con el espacio proyectivo complejo CP 5 (ya que cada cónica está definida por un polinomio homogéneo de grado 2 en tres variables, con 6 coeficientes complejos, y multiplicar dicho polinomio por un número complejo distinto de cero no cambia la cónica). Steiner observó que las cónicas tangentes a una cónica dada forman una hipersuperficie de grado 6 en CP 5 . Por lo tanto, las cónicas tangentes a 5 cónicas dadas corresponden a los puntos de intersección de 5 hipersuperficies de grado 6, y por el teorema de Bézout, el número de puntos de intersección de 5 hipersuperficies genéricas de grado 6 es 6 5 = 7776, que era la solución incorrecta de Steiner. La razón por la que esto es incorrecto es que las cinco hipersuperficies de grado 6 no están en posición general y tienen una intersección común en la superficie de Veronese , correspondiente al conjunto de líneas dobles en el plano, todas las cuales tienen puntos de intersección doble con las 5 cónicas. En particular, la intersección de estas 5 hipersuperficies ni siquiera es 0-dimensional, sino que tiene un componente bidimensional. Entonces, para encontrar la respuesta correcta, uno tiene que eliminar de alguna manera el plano de cónicas degeneradas espurias de este cálculo.
Una forma de eliminar las cónicas degeneradas es hacer estallar CP 5 a lo largo de la superficie de Veronese. El anillo de Chow de la explosión se genera por H y E , donde H es la transformada total de un hiperplano y E es el divisor excepcional. La transformada total de una hipersuperficie de grado 6 es 6 H , y Steiner calculó (6 H ) 5 = 6 5 P como H 5 = P (donde P es la clase de un punto en el anillo de Chow). Sin embargo, el número de cónicas no es (6 H ) 5 sino (6 H −2 E ) 5 porque la transformada estricta de la hipersuperficie de las cónicas tangente a una cónica dada es 6 H −2 E .
Supóngase que L = 2 H − E es la transformada estricta de las cónicas tangentes a una línea dada. Entonces los números de intersección de H y L están dados por H 5 = 1 P , H 4 L = 2 P , H 3 L 2 = 4 P , H 2 L 3 = 4 P , H 1 L 4 = 2 P , L 5 = 1 P . Por lo tanto, tenemos (6 H −2 E ) 5 = (2 H +2 L ) 5 = 3264 P .
Fulton y MacPherson (1978) dieron una descripción precisa de lo que significa exactamente "posición general" (aunque sus dos proposiciones al respecto no son del todo correctas y se corrigen en una nota en la página 29 de su artículo). Si las cinco cónicas tienen las propiedades que
entonces el número total de cónicas C tangentes a las 5 (contadas con multiplicidades) es 3264. Aquí la multiplicidad está dada por el producto sobre las 5 cónicas C i de (4 − número de puntos de intersección de C y C i ). En particular, si C interseca cada una de las cinco cónicas en exactamente 3 puntos (un punto doble de tangencia y otros dos), entonces la multiplicidad es 1, y si esta condición siempre se cumple, entonces hay exactamente 3264 cónicas tangentes a las 5 cónicas dadas.
Sobre otros campos algebraicamente cerrados la respuesta es similar, a menos que el campo tenga característica 2, en cuyo caso el número de cónicas es 51 en lugar de 3264.