La paradoja de una carga en un campo gravitacional es una aparente paradoja física en el contexto de la relatividad general . Una partícula cargada en reposo en un campo gravitacional, como en la superficie de la Tierra, debe estar sostenida por una fuerza para evitar que caiga. Según el principio de equivalencia , debería ser indistinguible de una partícula en el espacio-tiempo plano acelerada por una fuerza. Las ecuaciones de Maxwell dicen que una carga acelerada debería irradiar ondas electromagnéticas , pero tal radiación no se observa en partículas estacionarias en campos gravitacionales.
Uno de los primeros en estudiar este problema fue Max Born en su artículo de 1909 sobre las consecuencias de una carga en un sistema uniformemente acelerado. [1] Wolfgang Pauli (1918), [2] Max von Laue (1919), [3] y otros plantearon preocupaciones anteriores y posibles soluciones , pero el trabajo más reconocido sobre el tema es la resolución de Thomas Fulton y Fritz Rohrlich. en 1960. [4] [5]
Un resultado estándar de las ecuaciones de electrodinámica clásica de Maxwell es que una carga acelerada irradia. Es decir, produce un campo eléctrico que cae además de su campo de Coulomb en el marco de reposo . Este campo eléctrico de radiación está acompañado de un campo magnético, y todo el campo de radiación electromagnética oscilante se propaga independientemente de la carga acelerada, llevándose impulso y energía. La energía de la radiación la proporciona el trabajo que acelera la carga.
La teoría de la relatividad general se basa en el principio de equivalencia de gravitación e inercia. Este principio establece que es imposible distinguir mediante cualquier medición local si uno está en un campo gravitacional o si está siendo acelerado. Un ascensor en el espacio profundo, lejos de cualquier planeta, podría imitar un campo gravitacional para sus ocupantes si pudiera acelerarse continuamente "hacia arriba". Si la aceleración proviene del movimiento o de la gravedad, no hay diferencia en las leyes de la física. También se puede entender en términos de la equivalencia de la llamada masa gravitacional y masa inercial . La masa en la ley de gravitación universal de Newton (masa gravitacional) es la misma que la masa en la segunda ley del movimiento de Newton (masa inercial). Se cancelan cuando se los equipara, con el resultado descubierto por Galileo Galilei en 1638, de que todos los cuerpos caen al mismo ritmo en un campo gravitacional, independientemente de su masa. Una famosa demostración de este principio se realizó en la Luna durante la misión Apolo 15 , cuando un martillo y una pluma se dejaron caer al mismo tiempo y golpearon la superficie al mismo tiempo.
Estrechamente relacionado con esta equivalencia está el hecho de que la gravedad desaparece en caída libre. En el caso de los objetos que caen en un ascensor cuyo cable está cortado, todas las fuerzas gravitacionales desaparecen y las cosas empiezan a parecerse a la ausencia de fuerzas flotantes que se ve en los vídeos de la Estación Espacial Internacional . Es un eje de la relatividad general que todo debe caer en caída libre. Al igual que ocurre con la aceleración frente a la gravedad, ningún experimento debería poder distinguir los efectos de la caída libre en un campo gravitacional y el de estar en el espacio profundo, lejos de cualquier fuerza.
Al juntar estos dos hechos básicos de la relatividad general y la electrodinámica, parecemos encontrarnos con una paradoja. Porque si dejáramos caer juntas una partícula neutra y una partícula cargada en un campo gravitacional, la partícula cargada debería comenzar a irradiar a medida que se acelera bajo la gravedad, perdiendo así energía y ralentizándose en relación con la partícula neutra. Entonces, un observador en caída libre podría distinguir la caída libre de la verdadera ausencia de fuerzas, porque una partícula cargada en un laboratorio en caída libre comenzaría a ser arrastrada hacia arriba en relación con las partes neutras del laboratorio, incluso aunque no hubiera campos eléctricos obvios presentes. .
De manera equivalente, podemos pensar en una partícula cargada en reposo en un laboratorio en la superficie de la Tierra. Para estar en reposo debe estar sostenido por algo que ejerza sobre él una fuerza ascendente. Este sistema equivale a estar en el espacio exterior acelerado constantemente hacia arriba a 1 g , y sabemos que una partícula cargada acelerada hacia arriba a 1 g irradiaría, ¿por qué no vemos radiación de partículas cargadas en reposo en el laboratorio? Parecería que podríamos distinguir entre un campo gravitacional y una aceleración, porque aparentemente una carga eléctrica sólo irradia cuando se acelera mediante el movimiento, pero no mediante la gravitación.
La resolución de esta paradoja, al igual que la paradoja de los gemelos y la paradoja de la escalera , se logra mediante el cuidado adecuado al distinguir los marcos de referencia . Esta sección sigue el análisis de Fritz Rohrlich (1965), [6] quien muestra que una partícula cargada y una partícula neutra caen con la misma rapidez en un campo gravitacional. Asimismo, una partícula cargada en reposo en un campo gravitacional no irradia en su marco de reposo, pero sí en el marco de un observador en caída libre. [7] : 13-14 El principio de equivalencia se conserva para las partículas cargadas.
La clave es darse cuenta de que las leyes de la electrodinámica, las ecuaciones de Maxwell, se cumplen sólo dentro de un sistema inercial , es decir, en un sistema en el que todas las fuerzas actúan localmente y no hay aceleración neta cuando las fuerzas locales netas son cero. El marco podría estar en caída libre bajo la gravedad o lejos en el espacio, lejos de cualquier fuerza. La superficie de la Tierra no es un marco inercial, sino que se acelera constantemente. Sabemos que la superficie de la Tierra no es un sistema inercial porque un objeto en reposo allí puede no permanecer en reposo: los objetos en reposo caen al suelo cuando se sueltan. La gravedad es una “fuerza” ficticia no local dentro del marco de la superficie de la Tierra, al igual que la “fuerza” centrífuga. De modo que no podemos formular ingenuamente expectativas basadas en las ecuaciones de Maxwell en este marco. Es notable que ahora comprendamos que las ecuaciones relativistas especiales de Maxwell no se cumplen, estrictamente hablando, en la superficie de la Tierra, a pesar de que fueron descubiertas en experimentos eléctricos y magnéticos realizados en laboratorios en la superficie de la Tierra. (Esto es similar a cómo el concepto de mecánica en un marco inercial no es aplicable a la superficie de la Tierra, incluso sin tener en cuenta la gravedad debido a su rotación; cf. por ejemplo, el péndulo de Foucault , sin embargo, se descubrieron originalmente considerando experimentos e intuiciones terrestres). Por lo tanto, en este caso, no podemos aplicar las ecuaciones de Maxwell a la descripción de una carga que cae en relación con un observador no inercial "soportado".
Las ecuaciones de Maxwell se pueden aplicar en relación con un observador en caída libre, porque la caída libre es un sistema inercial. Así pues, el punto de partida de las consideraciones es trabajar en el marco de caída libre en un campo gravitacional: un observador "que cae". En el marco de caída libre, las ecuaciones de Maxwell tienen su forma habitual de espacio-tiempo plano para el observador en caída. En este marco, los campos eléctrico y magnético de la carga son simples: el campo eléctrico que cae es simplemente el campo de Coulomb de una carga en reposo y el campo magnético es cero. Además, tenga en cuenta que estamos incorporando el principio de equivalencia desde el principio, incluida la suposición de que una partícula cargada cae tan rápido como una partícula neutra.
Los campos medidos por un observador apoyado en la superficie de la Tierra son diferentes. Dados los campos eléctricos y magnéticos en el marco de caída, tenemos que transformar esos campos en el marco del observador sostenido. Esta manipulación no es una transformación de Lorentz, porque los dos fotogramas tienen una aceleración relativa. En lugar de ello, se debe utilizar la maquinaria de la relatividad general .
En este caso, el campo gravitacional es ficticio porque puede "transformarse" eligiendo adecuadamente el sistema de coordenadas en el sistema de caída. A diferencia del campo gravitacional total de la Tierra, aquí suponemos que el espacio-tiempo es localmente plano, de modo que el tensor de curvatura desaparece. De manera equivalente, las líneas de aceleración gravitacional son paralelas en todas partes, sin convergencias mensurables en el laboratorio. Entonces se puede escribir el elemento lineal , métrico , cilíndrico, estático y de espacio plano más general :
donde es la velocidad de la luz, es el tiempo propio, son las coordenadas habituales del espacio y el tiempo, es la aceleración del campo gravitacional y es una función arbitraria de la coordenada pero debe aproximarse al valor newtoniano observado de . Esta fórmula es la métrica del campo gravitacional medido por el observador apoyado.
Mientras tanto, la métrica en el marco del observador que cae es simplemente la métrica de Minkowski :
A partir de estas dos métricas, Rohrlich construye la transformación de coordenadas entre ellas:
Cuando esta transformación de coordenadas se aplica a los campos eléctrico y magnético de la carga en el sistema de reposo, se descubre que está irradiando . Rohrlich destaca que esta carga permanece en reposo en su marco de caída libre, tal como lo haría una partícula neutra. Además, la tasa de radiación para esta situación es invariante de Lorentz, pero no es invariante bajo la transformación de coordenadas anterior porque no es una transformación de Lorentz.
Entonces, ¿qué pasa con un cargo respaldado? ¿No irradia debido al principio de equivalencia? Para responder a esta pregunta, comience de nuevo en el cuadro descendente.
Como se observa desde el marco en caída libre, la carga soportada parece acelerarse uniformemente hacia arriba. Rohrlich trata el caso de la aceleración constante de una carga. [8] Encuentra que una carga uniformemente acelerada a una velocidad tiene una velocidad de radiación dada por el invariante de Lorentz:
Los correspondientes campos eléctricos y magnéticos de una carga acelerada también se dan en Rohrlich. [8] Para encontrar los campos de la carga en el marco de soporte, los campos de la carga uniformemente acelerada se transforman de acuerdo con la transformación de coordenadas dada anteriormente. Cuando se hace esto, no se encuentra radiación en el marco de soporte procedente de una carga soportada, porque el campo magnético es cero en este marco. Rohrlich señala que el campo gravitacional distorsiona ligeramente el campo de Coulomb de la carga soportada, pero no lo suficiente como para ser observable. Entonces, aunque la ley de Coulomb se descubrió en un marco de soporte, la relatividad general nos dice que el campo de tal carga no es exactamente .
La radiación de la carga soportada vista en el marco de caída libre (o viceversa) es algo curioso: ¿adónde va? David G. Boulware (1980) [9] encuentra que la radiación entra en una región del espacio-tiempo inaccesible para el observador apoyado y coacelerado. En efecto, un observador uniformemente acelerado tiene un horizonte de sucesos y hay regiones del espacio-tiempo inaccesibles para este observador. Camila de Almeida y Alberto Saa (2006) [10] tienen un tratamiento más accesible del horizonte de sucesos del observador acelerado.
