Número sociable

Números cuyas sumas de alícuotas forman una secuencia cíclica

En matemáticas , los números sociables son números cuyas sumas alícuotas forman una sucesión periódica . Son generalizaciones de los conceptos de números perfectos y números amigables . Las dos primeras sucesiones sociables, o cadenas sociables, fueron descubiertas y bautizadas por el matemático belga Paul Poulet en 1918. ^[1] En una sucesión sociable, cada número es la suma de los divisores propios del número precedente, es decir, la suma excluye al propio número precedente. Para que la sucesión sea sociable, la sucesión debe ser cíclica y volver a su punto de partida.

El período de la secuencia, u orden del conjunto de números sociales, es el número de números en este ciclo.

Si el periodo de la secuencia es 1, el número es un número sociable de orden 1, o un número perfecto —por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, cuya suma es nuevamente 6. Un par de números amigos es un conjunto de números sociables de orden 2. No se conocen números sociables de orden 3, y se han realizado búsquedas de ellos hasta 1970. ^[2] ${\displaystyle 5\times 10^{7}}$

Es una cuestión abierta si todos los números terminan en un número sociable o en un primo (y, por lo tanto, 1), o, equivalentemente, si existen números cuya secuencia de alícuotas nunca termina y, por lo tanto, crece sin límite.

Ejemplo

A modo de ejemplo, el número 1.264.460 es un número sociable cuya secuencia alícuota cíclica tiene un periodo de 4:

La suma de los divisores propios de ( ) es ${\displaystyle 1264460}$ ${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 0 = 1547860,

la suma de los divisores propios de ( ) es ${\displaystyle 1547860}$ ${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 0 = 1727636,

la suma de los divisores propios de ( ) es ${\displaystyle 1727636}$ ${\displaystyle =2^{2}\cdot 521\cdot 829}$

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, y

la suma de los divisores propios de ( ) es ${\displaystyle 1305184}$ ${\displaystyle =2^{5}\cdot 40787}$

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Lista de números sociales conocidos

A continuación se clasifican todos los números sociales conocidos a partir de octubre de 2024 ^[actualizar]según la longitud de la secuencia de alícuotas correspondiente:

Se conjetura que si n es congruente con 3 módulo 4 entonces no existe tal secuencia con longitud n .

La secuencia de 5 ciclos es: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264

El único ciclo conocido de 28 es: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716 (secuencia A072890 en la OEIS ).

Estas dos secuencias proporcionan los únicos números sociables inferiores a 1 millón (además de los números perfectos y amigables).

Buscando números sociales

La sucesión de alícuotas se puede representar como un grafo dirigido , , para un entero dado , donde denota la suma de los divisores propios de . ^[5] Los ciclos en representan números sociables dentro del intervalo . Dos casos especiales son los bucles que representan números perfectos y los ciclos de longitud dos que representan pares amistosos . ${\displaystyle G_{n,s}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{n,s}}$ ${\displaystyle [1,n]}$

Conjetura de la suma de ciclos de números sociales

Se conjetura que a medida que el número de ciclos de números sociales con una longitud mayor que 2 se acerca al infinito, la proporción de las sumas de los ciclos de números sociales divisibles por 10 se acerca a 1 (secuencia A292217 en la OEIS ).

Referencias

1. P. Poulet, n.º 4865, L'Intermédiaire des Mathématiciens 25 (1918), págs. (El texto completo se puede encontrar en ProofWiki: Conjetura Catalan-Dickson).
2. Bratley, Paul; Lunnon, Fred; McKay, John (1970). "Números amigables y su distribución" (PDF) . Matemáticas de la computación . 24 (110): 431–432. doi : 10.1090/S0025-5718-1970-0271005-8 . ISSN  0025-5718.
3. https://oeis.org/A003416 referencia cruzada con https://oeis.org/A052470
4. Sergei Chernykh Lista de parejas amistosas
5. Rocha, Rodrigo Caetano; Thatte, Bhalchandra (2015), Detección de ciclos distribuidos en gráficos dispersos a gran escala , Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi :10.13140/RG.2.1.1233.8640

• H. Cohen, Sobre números amigables y sociables, Math. Comp. 24 (1970), págs. 423–429

Enlaces externos

• Una lista de números sociales conocidos
• Tablas extensas de números perfectos, amigables y sociables
• Weisstein, Eric W. "Números sociables". MathWorld .
• A003416 (número sociable más pequeño de cada ciclo) y A122726 (todos los números sociables) en OEIS