El momento angular relativo específico desempeña un papel fundamental en el análisis del problema de los dos cuerpos , ya que permanece constante para una órbita dada en condiciones ideales. " Específico " en este contexto indica momento angular por unidad de masa. La unidad del SI para el momento angular relativo específico es el metro cuadrado por segundo.
donde es el vector de momento angular, definido como .
El vector es siempre perpendicular al plano orbital osculador instantáneo , que coincide con la órbita perturbada instantánea . No es necesariamente perpendicular al plano orbital promedio en el tiempo.
Prueba de constancia en el caso de los dos cuerpos
En determinadas condiciones, se puede demostrar que el momento angular específico es constante. Las condiciones para esta demostración incluyen:
La masa de un objeto es mucho mayor que la masa del otro. ( )
El producto vectorial del vector de posición con la ecuación de movimiento es:
Porque el segundo término desaparece:
También se puede deducir que:
Combinando estas dos ecuaciones obtenemos:
Como la derivada respecto del tiempo es igual a cero, la cantidad es constante. Si se utiliza el vector de velocidad en lugar de la tasa de cambio de posición y para el momento angular específico: es constante.
Esto es diferente de la construcción normal del momento, porque no incluye la masa del objeto en cuestión.
Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
Las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario se pueden demostrar casi directamente con las relaciones anteriores.
Primera ley
La demostración comienza de nuevo con la ecuación del problema de los dos cuerpos. Esta vez, el producto vectorial se multiplica por el momento angular relativo específico.
El lado izquierdo es igual a la derivada porque el momento angular es constante.
Después de algunos pasos (que incluyen usar el producto triple vectorial y definir el escalar como la velocidad radial , en oposición a la norma del vector ), el lado derecho se convierte en:
Igualando estas dos expresiones e integrándolas en el tiempo obtenemos (con la constante de integración )
Ahora esta ecuación se multiplica ( producto escalar ) por y se reorganiza.
La segunda ley se desprende inmediatamente de la segunda de las tres ecuaciones para calcular el valor absoluto del momento angular relativo específico. [1]
Si se conecta esta forma de la ecuación con la relación para el área de un sector con un ángulo infinitesimalmente pequeño (triángulo con un lado muy pequeño), la ecuación
Tercera ley
La tercera ley de Kepler es una consecuencia directa de la segunda ley. Al integrarla a lo largo de una revolución se obtiene el período orbital [1]
para el área de una elipse. Reemplazando el semieje menor por y el momento angular relativo específico por uno se obtiene
Existe pues una relación entre el semieje mayor y el período orbital de un satélite que puede reducirse a una constante del cuerpo central.
^ abcd Vallado, David A. (2001). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones (2.ª ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 20–30. ISBN 0-7923-6903-3.