El método de elementos analíticos ( AEM ) es un método numérico utilizado para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . [1] [2] [3] Fue desarrollado inicialmente por ODL Strack en la Universidad de Minnesota . Es similar en naturaleza al método de elementos de contorno (BEM), ya que no se basa en la discretización de volúmenes o áreas en el sistema modelado; solo se discretizan los límites internos y externos. Una de las principales distinciones entre AEM y BEM es que las integrales de contorno se calculan analíticamente. Aunque originalmente se desarrolló para modelar el flujo de agua subterránea, [4] AEM se ha aplicado posteriormente a otros campos de estudio, incluidos estudios de flujo y conducción de calor, ondas periódicas y deformación por fuerza. [5]
La premisa básica del método de elementos analíticos es que, para ecuaciones diferenciales lineales , las soluciones elementales pueden superponerse para obtener soluciones más complejas. Existe un conjunto de soluciones analíticas 2D y 3D ("elementos") disponibles para diferentes ecuaciones de gobierno. Estos elementos corresponden típicamente a una discontinuidad en la variable dependiente o su gradiente a lo largo de un límite geométrico (por ejemplo, punto, línea, elipse, círculo, esfera, etc.). Esta discontinuidad tiene una forma funcional específica (generalmente un polinomio en 2D) y puede manipularse para satisfacer las condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann o Robin (mixtas). Cada solución analítica es infinita en el espacio y/o el tiempo.
Comúnmente, cada solución analítica contiene grados de libertad (coeficientes) que pueden calcularse para cumplir con las condiciones de contorno prescritas a lo largo del borde del elemento. Para obtener una solución global (es decir, los coeficientes de elemento correctos), se resuelve un sistema de ecuaciones de manera que se satisfagan las condiciones de contorno a lo largo de todos los elementos (utilizando la colocación , la minimización de mínimos cuadrados o un enfoque similar). En particular, la solución global proporciona una descripción espacialmente continua de la variable dependiente en todas partes del dominio infinito, y la ecuación gobernante se satisface exactamente en todas partes excepto a lo largo del borde del elemento, donde la ecuación gobernante no es estrictamente aplicable debido a la discontinuidad.
La capacidad de superponer numerosos elementos en una única solución significa que se pueden obtener soluciones analíticas para condiciones de contorno de cualquier complejidad. Es decir, se pueden resolver modelos que tienen geometrías complejas, contornos rectos o curvos, contornos múltiples, condiciones de contorno transitorias, capas de acuíferos múltiples, propiedades que varían por partes y propiedades que varían continuamente. Los elementos se pueden implementar utilizando expansiones de campo lejano de modo que los modelos que contienen muchos miles de elementos se puedan resolver de manera eficiente y con alta precisión.
El método de elementos analíticos se ha aplicado a problemas de flujo de agua subterránea regidos por una variedad de ecuaciones diferenciales parciales lineales, incluidas la ecuación de Laplace , la ecuación de Poisson , la ecuación de Helmholtz modificada, [6] la ecuación del calor y las ecuaciones biarmónicas . A menudo, estas ecuaciones se resuelven utilizando variables complejas que permiten utilizar técnicas matemáticas disponibles en la teoría de variables complejas. Una técnica útil para resolver problemas complejos es utilizar el mapeo conforme que mapea el límite de una geometría, por ejemplo, una elipse, sobre el límite del círculo unitario donde se conoce la solución.
En el método analítico de elementos se utilizan el potencial de descarga y la función de caudal , o el potencial complejo combinado. Este potencial vincula las propiedades físicas del sistema de agua subterránea, la carga hidráulica o los límites de flujo, a una representación matemática de un potencial. Esta representación matemática se puede utilizar para calcular el potencial en términos de posición y, por lo tanto, también para resolver problemas de flujo de agua subterránea. Los elementos se desarrollan resolviendo las condiciones de contorno para cualquiera de estas dos propiedades, la carga hidráulica o el límite de flujo, lo que da como resultado soluciones analíticas capaces de abordar numerosas condiciones de contorno.
Como se mencionó, el método de elementos analíticos no se basa en la discretización del volumen o el área en el modelo, como en los métodos de elementos finitos o de diferencias finitas . Por lo tanto, puede modelar problemas complejos con un error del orden de la precisión de la máquina. Esto se ilustra en un estudio que modeló un acuífero isotrópico altamente heterogéneo al incluir 100.000 heterogeneidades esféricas con una conductividad aleatoria y rastrear 40.000 partículas. [7] El método de elementos analíticos se puede utilizar de manera eficiente como verificación o como una herramienta de detección en proyectos más grandes, ya que puede calcular de manera rápida y precisa el flujo de agua subterránea para muchos problemas complejos. [8] [9]
A diferencia de otros métodos de modelado de aguas subterráneas de uso común, por ejemplo, el método de elementos finitos o el método de elementos finitos diferentes , el AEM no divide el dominio del modelo en celdas. Esto ofrece la ventaja de que el modelo es válido para cualquier punto dado en el dominio del modelo. Sin embargo, también impone que el dominio no se divida tan fácilmente en regiones de, por ejemplo, conductividad hidráulica diferente, como cuando se modela con una cuadrícula de celdas; sin embargo, una solución a este problema es incluir subdominios en el modelo AEM. [10] También existen soluciones para implementar propiedades o estructuras que varían verticalmente en un acuífero en un modelo AEM. [11] [12] [13]
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