En la geometría de empaquetamientos circulares en el plano euclidiano , el lema del anillo proporciona un límite inferior para los tamaños de los círculos adyacentes en un empaquetamiento circular. [1]
El lema establece: Sea cualquier número entero mayor o igual a tres. Supóngase que el círculo unitario está rodeado por un anillo de círculos disjuntos interiores, todos tangentes a él, con círculos consecutivos en el anillo tangentes entre sí. Entonces, el radio mínimo de cualquier círculo en el anillo es al menos la fracción unitaria donde es el n-ésimo número de Fibonacci . [1] [2]
La secuencia de radios mínimos, desde , comienza
También se conocen generalizaciones al espacio tridimensional. [3]
Se puede construir una secuencia infinita de círculos, que contenga anillos para cada uno que cumplan exactamente el límite del lema del anillo, lo que demuestra que es ajustado. La construcción permite considerar los semiplanos como círculos degenerados con radio infinito e incluye tangencias adicionales entre los círculos más allá de las requeridas en el enunciado del lema. Comienza intercalando el círculo unitario entre dos semiplanos paralelos; en la geometría de los círculos , se considera que estos son tangentes entre sí en el punto en el infinito . Cada círculo sucesivo después de estos dos primeros es tangente al círculo unitario central y a los dos círculos agregados más recientemente; vea la ilustración para los primeros seis círculos (incluidos los dos semiplanos) construidos de esta manera. Los primeros círculos de esta construcción forman un anillo, cuyo radio mínimo se puede calcular mediante el teorema de Descartes para que sea el mismo que el radio especificado en el lema del anillo. Esta construcción se puede perturbar a un anillo de círculos finitos, sin tangencias adicionales, cuyo radio mínimo es arbitrariamente cercano a este límite. [4]
Una versión del lema del anillo con un límite más débil fue demostrada por primera vez por Burton Rodin y Dennis Sullivan como parte de su prueba de la conjetura de William Thurston de que los empaquetamientos de círculos pueden usarse para aproximar mapas conformes . [5] Lowell Hansen dio una relación de recurrencia para el límite inferior más ajustado posible, [6] y Dov Aharonov encontró una expresión de forma cerrada para el mismo límite. [2]
Más allá de su aplicación original al mapeo conforme, [5] el teorema de empaquetamiento circular y el lema del anillo juegan papeles clave en una prueba de Keszegh, Pach y Pálvölgyi de que los gráficos planares de grado acotado pueden dibujarse con un número de pendiente acotado . [7]
