Convergencia delta

En matemáticas, la convergencia delta , o Δ-convergencia , es un modo de convergencia en espacios métricos , más débil que la convergencia métrica habitual y similar a (pero distinta de) la convergencia débil en espacios de Banach . En el espacio de Hilbert , la convergencia delta y la convergencia débil coinciden. Para una clase general de espacios, de manera similar a la convergencia débil, cada secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente delta. La convergencia delta fue introducida por primera vez por Teck-Cheong Lim, ^[1] y, poco después, bajo el nombre de casi convergencia, por Tadeusz Kuczumow. ^[2]

Definición

Se dice que una secuencia en un espacio métrico es Δ-convergente a si para cada , . ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \limsup(d(x_{k},x)-d(x_{k},y))\leq 0}$

Caracterización en espacios de Banach

Si es un espacio de Banach uniformemente convexo y uniformemente suave , con la función de dualidad dada por , , entonces una secuencia es delta-convergente a si y solo si converge a cero débilmente en el espacio dual (ver ^[3] ). En particular, la delta-convergencia y la convergencia débil coinciden si es un espacio de Hilbert. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ ${\displaystyle \|x\|=\|x^{*}\|}$ ${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle =\|x\|^{2}}$ ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{k}-x)^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

Propiedad de Opial

La coincidencia de convergencia débil y convergencia delta es equivalente, para espacios de Banach uniformemente convexos, a la conocida propiedad de Opial ^[3]

Teorema de compacidad delta

El teorema de compacidad delta de TC Lim ^[1] establece que si es un espacio métrico asintóticamente completo , entonces cada secuencia acotada en tiene una subsecuencia delta-convergente. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$

El teorema de compacidad delta es similar al teorema de Banach-Alaoglu para convergencia débil pero, a diferencia del teorema de Banach-Alaoglu (en el caso no separable), su demostración no depende del axioma de elección.

Centro asintótico y completitud asintótica

Un centro asintótico de una sucesión , si existe, es un límite de los centros de Chebyshev para sucesiones truncadas . Un espacio métrico se denomina asintóticamente completo si alguna sucesión acotada en él tiene un centro asintótico. ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})_{k\geq n}}$

Convexidad uniforme como condición suficiente de completitud asintótica

La condición de completitud asintótica del teorema de compacidad delta se satisface para espacios de Banach uniformemente convexos y, más generalmente, para espacios métricos uniformemente rotundos, tal como los define J. Staples. ^[4]

Lectura adicional

• William Kirk, Naseer Shahzad, Teoría del punto fijo en espacios distantes. Springer, Cham, 2014. xii+173 págs.
• G. Devillanova, S. Solimini, C. Tintarev, Sobre convergencia débil en espacios métricos, Análisis y optimización no lineal (BS Mordukhovich, S. Reich, AJ Zaslavski, editores), 43–64, Contemporary Mathematics 659, AMS, Providence, RI, 2016.

Referencias

1. TC Lim, Observaciones sobre algunos teoremas de punto fijo, Proc. Amer. Math. Soc. 60 (1976), 179–182.
2. T. Kuczumow, Una convergencia casi total y sus aplicaciones, Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A 32 (1978), 79–88.
3. S. Solimini, C. Tintarev, Análisis de concentración en espacios de Banach, Comm. Contemporáneo. Matemáticas. 2015, DOI 10.1142/S0219199715500388
4. J. Staples, Teoremas de punto fijo en espacios métricos uniformemente rotundos, Bull. Austral. Math. Soc. 14 (1976), 181–192.