En geometría , un grupo de puntos es un grupo matemático de operaciones de simetría ( isometrías en un espacio euclidiano ) que tienen un punto fijo en común. El origen de coordenadas del espacio euclidiano se toma convencionalmente como un punto fijo, y cada grupo de puntos en dimensión d es entonces un subgrupo del grupo ortogonal O( d ). Los grupos de puntos se utilizan para describir las simetrías de figuras geométricas y objetos físicos como las moléculas .
Cada grupo de puntos puede representarse como un conjunto de matrices ortogonales M que transforman el punto x en el punto y según y = Mx . Cada elemento de un grupo de puntos es una rotación ( determinante de M = 1 ), o bien es una reflexión o rotación impropia (determinante de M = −1 ).
Las simetrías geométricas de los cristales se describen mediante grupos espaciales , que permiten traslaciones y contienen grupos puntuales como subgrupos. Los grupos puntuales discretos en más de una dimensión se presentan en familias infinitas, pero a partir del teorema de restricción cristalográfico y de uno de los teoremas de Bieberbach , cada número de dimensiones tiene solo un número finito de grupos puntuales que son simétricos sobre alguna red o rejilla con ese número de dimensiones. Estos son los grupos puntuales cristalográficos .
Los grupos puntuales se pueden clasificar en grupos quirales (o puramente rotacionales) y grupos aquirales . [1] Los grupos quirales son subgrupos del grupo ortogonal especial SO( d ): contienen solo transformaciones ortogonales que preservan la orientación, es decir, aquellas de determinante +1. Los grupos aquirales contienen también transformaciones de determinante −1. En un grupo aquiral, las transformaciones que preservan la orientación forman un subgrupo (quiral) de índice 2.
Los grupos de Coxeter finitos o grupos de reflexión son aquellos grupos puntuales que se generan puramente mediante un conjunto de espejos de reflexión que pasan por el mismo punto. Un grupo de Coxeter de rango n tiene n espejos y se representa mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin . La notación de Coxeter ofrece una notación entre corchetes equivalente al diagrama de Coxeter, con símbolos de marcado para grupos puntuales de subsimetría rotacional y de otro tipo. Los grupos de reflexión son necesariamente aquirales (excepto el grupo trivial que contiene solo el elemento identidad).
Sólo hay dos grupos de puntos unidimensionales: el grupo identidad y el grupo de reflexión.
Grupos de puntos en dos dimensiones , a veces llamados grupos roseta .
Vienen en dos familias infinitas:
La aplicación del teorema de restricción cristalográfica restringe n a los valores 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias, lo que produce 10 grupos.
El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, definido por 1 o 2 espejos, también puede estar dado por su grupo de Coxeter y polígonos relacionados. Estos incluyen 5 grupos cristalográficos. La simetría de los grupos de reflexión se puede duplicar mediante un isomorfismo , mapeando ambos espejos entre sí mediante un espejo bisectriz, duplicando el orden de simetría.
Grupos puntuales en tres dimensiones , a veces llamados grupos puntuales moleculares debido a su amplio uso en el estudio de las simetrías de las moléculas .
Se presentan en 7 familias infinitas de grupos axiales (también llamados prismáticos) y 7 grupos poliédricos adicionales (también llamados platónicos). En la notación de Schönflies ,
Aplicando el teorema de restricción cristalográfica a estos grupos se obtienen los 32 grupos puntuales cristalográficos .
Los grupos de puntos de reflexión, definidos por 1 a 3 planos de simetría, también pueden estar dados por su grupo de Coxeter y poliedros relacionados. El grupo [3,3] puede duplicarse, escribiéndose como [[3,3]], mapeando el primer y el último espejo entre sí, duplicando la simetría a 48 y siendo isomorfo al grupo [4,3].
Los grupos puntuales de cuatro dimensiones (tanto quirales como aquirales) se enumeran en Conway y Smith, [1] Sección 4, Tablas 4.1–4.3.
La siguiente lista proporciona los grupos de reflexión de cuatro dimensiones (excluyendo aquellos que dejan un subespacio fijo y que, por lo tanto, son grupos de reflexión de dimensión inferior). Cada grupo se especifica como un grupo de Coxeter y, al igual que los grupos poliédricos de 3D, se puede nombrar por su 4-politopo regular convexo relacionado . Existen grupos rotacionales puros relacionados para cada uno con la mitad del orden, y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo, [3,3,3] + tiene tres puntos de giro triples y un orden de simetría de 60. Los grupos simétricos frontales-posteriores como [3,3,3] y [3,4,3] se pueden duplicar, se muestran como corchetes dobles en la notación de Coxeter, por ejemplo, [[3,3,3]] con su orden duplicado a 240.
La siguiente tabla muestra los grupos de reflexión de cinco dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, y pueden representarse mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo [3,3,3,3] + tiene cuatro puntos de giro triples y un orden de simetría de 360.
La siguiente tabla muestra los grupos de reflexión de seis dimensiones (excluidos aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos rotacionales puros relacionados para cada uno con la mitad del orden, y pueden representarse mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo [3,3,3,3,3] + tiene cinco puntos de giro triples y un orden de simetría de 2520.
La siguiente tabla muestra los grupos de reflexión de siete dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, definidos por un número par de reflexiones, y pueden representarse mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo [3,3,3,3,3,3] + tiene seis puntos de giro triples y un orden de simetría de 20160.
La siguiente tabla muestra los grupos de reflexión de ocho dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, definidos por un número par de reflexiones, y pueden representarse mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo [3,3,3,3,3,3,3] + tiene siete puntos de giro triples y un orden de simetría de 181440.