Mano temblorosa equilibrio perfecto

Variante del equilibrio de Nash en la teoría de juegos

En teoría de juegos , el equilibrio perfecto de mano temblorosa es un tipo de refinamiento de un equilibrio de Nash que fue propuesto por primera vez por Reinhard Selten . ^[1] Un equilibrio perfecto de mano temblorosa es un equilibrio que tiene en cuenta la posibilidad de un juego fuera de equilibrio al suponer que los jugadores, a través de un "desliz de la mano" o temblor, pueden elegir estrategias no deseadas , aunque con una probabilidad insignificante .

Definición

En primer lugar, definamos un juego perturbado . Un juego perturbado es una copia de un juego base, con la restricción de que solo se permite jugar con estrategias totalmente mixtas . Una estrategia totalmente mixta es una estrategia mixta en la que cada estrategia (tanto pura como mixta) se juega con una probabilidad distinta de cero. Estas son las "manos temblorosas" de los jugadores; a veces juegan una estrategia diferente a la que pretendían jugar. A continuación, definamos un conjunto de estrategias S (en un juego base) como perfecto en cuanto a manos temblorosas si existe una secuencia de juegos perturbados que convergen al juego base en el que existe una serie de equilibrios de Nash que convergen a S.

Nota: Todos los equilibrios de Nash completamente mezclados son perfectos.

Nota 2: La extensión de estrategia mixta de cualquier juego de forma normal finito tiene al menos un equilibrio perfecto. ^[2]

Ejemplo

El juego representado en la siguiente matriz de forma normal tiene dos equilibrios de Nash de estrategia pura , a saber y . Sin embargo, solo la mano temblorosa es perfecta. ${\displaystyle \langle {\text{Up}},{\text{Left}}\rangle }$ ${\displaystyle \langle {\text{Down}},{\text{Right}}\rangle }$ ${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$

Supongamos que el jugador 1 (el jugador de la fila) está jugando una estrategia mixta , para . ${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

La ganancia esperada del jugador 2 al jugar L es:

${\displaystyle 1(1-\varepsilon )+2\varepsilon =1+\varepsilon }$

La ganancia esperada del jugador 2 al jugar la estrategia R es:

${\displaystyle 0(1-\varepsilon )+2\varepsilon =2\varepsilon }$

Para valores pequeños de , el jugador 2 maximiza su pago esperado al colocar un peso mínimo en R y un peso máximo en L. Por simetría, el jugador 1 debería colocar un peso mínimo en D y un peso máximo en U si el jugador 2 está jugando la estrategia mixta . Por lo tanto, la mano temblorosa es perfecta. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$

Sin embargo, un análisis similar falla en el caso del perfil de estrategia . ${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$

Supongamos que el jugador 2 está jugando una estrategia mixta . La ganancia esperada del jugador 1 por jugar U es: ${\displaystyle (\varepsilon ,1-\varepsilon )}$

${\displaystyle 1\varepsilon +2(1-\varepsilon )=2-\varepsilon }$

La ganancia esperada del jugador 1 al jugar D es:

${\displaystyle 0(\varepsilon )+2(1-\varepsilon )=2-2\varepsilon }$

Para todos los valores positivos de , el jugador 1 maximiza su pago esperado al colocar un peso mínimo en D y un peso máximo en U. Por lo tanto, no es perfecto porque el jugador 2 (y, por simetría, el jugador 1) maximiza su pago esperado al desviarse con mayor frecuencia a L si hay una pequeña posibilidad de error en el comportamiento del jugador 1. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$

Equilibrios de juegos de dos jugadores

En los juegos 2x2, el conjunto de equilibrios perfectos de mano temblorosa coincide con el conjunto de equilibrios que consiste en dos estrategias no dominadas. En el ejemplo anterior, vemos que el equilibrio <Abajo,Derecha> es imperfecto, ya que la Izquierda (débilmente) domina a la Derecha para el Jugador 2 y Arriba (débilmente) domina a Abajo para el Jugador 1. ^[3]

Equilibrios de juegos en forma extensiva

Hay dos formas posibles de ampliar la definición de perfección de mano temblorosa a los juegos de forma extensiva .

• Se puede interpretar la forma extensiva como una mera descripción concisa de un juego en forma normal y aplicar los conceptos descritos anteriormente a este juego en forma normal. En los juegos perturbados resultantes, cada estrategia del juego en forma extensiva debe jugarse con una probabilidad distinta de cero. Esto conduce a la noción de un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma normal .
• Alternativamente, se puede recordar que los temblores deben interpretarse como errores de modelado cometidos por los jugadores con una probabilidad insignificante cuando se juega el juego. Un error de este tipo probablemente consistiría en que un jugador haga un movimiento diferente al previsto en algún momento durante el juego. Difícilmente consistiría en que el jugador elija una estrategia diferente a la prevista, es decir, un plan equivocado para jugar todo el juego. Para capturar esto, se puede definir el juego perturbado al requerir que cada movimiento en cada conjunto de información se realice con una probabilidad distinta de cero. Los límites de equilibrio de tales juegos perturbados cuando las probabilidades de temblor tienden a cero se denominan equilibrios perfectos de mano temblorosa en forma extensiva .

Las nociones de equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma normal y en forma extensiva son incomparables, es decir, un equilibrio de un juego en forma extensiva puede ser perfecto de mano temblorosa en forma normal pero no perfecto de mano temblorosa en forma extensiva y viceversa. Como ejemplo extremo de esto, Jean-François Mertens ha dado un ejemplo de un juego en forma extensiva de dos jugadores donde no es admisible ningún equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma extensiva, es decir, los conjuntos de equilibrios perfectos de mano temblorosa en forma extensiva y en forma normal para este juego son disjuntos. ^{[ cita requerida ]}

Un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma extensiva también es un equilibrio secuencial . Un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma normal de un juego en forma extensiva puede ser secuencial, pero no necesariamente lo es. De hecho, un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma normal ni siquiera tiene que ser perfecto en subjuegos .

Problemas con la perfección

Myerson (1978) ^[4] señaló que la perfección es sensible a la adición de una estrategia estrictamente dominada y en su lugar propuso otro refinamiento, conocido como equilibrio adecuado .

Referencias

1. Selten, R. (1975). "Una reexaminación del concepto de perfección para puntos de equilibrio en juegos extensivos". Revista internacional de teoría de juegos . 4 (1): 25–55. doi :10.1007/BF01766400.
2. Selten, R.: Reexamen del concepto de perfección para puntos de equilibrio en juegos extensivos. Int. J. Game Theory4, 1975, 25–55.
3. Van Damme, Eric (1987). Estabilidad y perfección de los equilibrios de Nash . doi :10.1007/978-3-642-96978-2. ISBN 978-3-642-96980-5.
4. Myerson, Roger B. "Refinamientos del concepto de equilibrio de Nash". Revista internacional de teoría de juegos 7.2 (1978): 73-80.

Lectura adicional

• Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). Un curso de teoría de juegos. MIT Press. págs. 246–254. ISBN 9780262650403.