Diseño probabilístico

Disciplina dentro del diseño de ingeniería.

Interferencia estadística de distribuciones de carga aplicada y resistencia del material. Se supone que la carga aplicada y la tensión de fractura están distribuidas normalmente y la probabilidad de falla es la superposición coloreada en gris. ^[1]

El diseño probabilístico es una disciplina dentro del diseño de ingeniería . Se trata principalmente de la consideración y minimización de los efectos de la variabilidad aleatoria sobre el desempeño de un sistema de ingeniería durante la fase de diseño. Normalmente, estos efectos estudiados y optimizados están relacionados con la calidad y la fiabilidad. Se diferencia del enfoque clásico de diseño al asumir una pequeña probabilidad de falla en lugar de utilizar el factor de seguridad . ^{[2] [3]} El diseño probabilístico se utiliza en una variedad de aplicaciones diferentes para evaluar la probabilidad de falla. Las disciplinas que utilizan ampliamente principios de diseño probabilístico incluyen el diseño de productos, control de calidad , ingeniería de sistemas , diseño de máquinas , ingeniería civil (particularmente útil en el diseño de estados límite ) y fabricación.

Objetivo y motivaciones

Cuando se utiliza un enfoque probabilístico para el diseño, el diseñador ya no piensa en cada variable como un valor o número único. En cambio, cada variable se considera una variable aleatoria continua con una distribución de probabilidad . Desde esta perspectiva, el diseño probabilístico predice el flujo de variabilidad (o distribuciones) a través de un sistema. ^[4]

Debido a que existen tantas fuentes de variabilidad aleatoria y sistémica al diseñar materiales y estructuras, es muy beneficioso para el diseñador modelar los factores estudiados como variables aleatorias. Al considerar este modelo, un diseñador puede realizar ajustes para reducir el flujo de variabilidad aleatoria, mejorando así la calidad de la ingeniería. Los defensores del enfoque de diseño probabilístico sostienen que muchos problemas de calidad pueden predecirse y rectificarse durante las primeras etapas de diseño y a un costo mucho menor. ^{[4] [5]}

Normalmente, el objetivo del diseño probabilístico es identificar el diseño que exhibirá los efectos más pequeños de la variabilidad aleatoria. Minimizar la variabilidad aleatoria es esencial para el diseño probabilístico porque limita los factores incontrolables y al mismo tiempo proporciona una determinación mucho más precisa de la probabilidad de falla. Esta podría ser la opción de diseño entre varias que resulte más robusta. Alternativamente, podría ser la única opción de diseño disponible, pero con la combinación óptima de variables y parámetros de entrada. Este segundo enfoque a veces se denomina robustificación , diseño de parámetros o diseño para Six Sigma . ^[4]

Fuentes de variabilidad

Aunque las leyes de la física dictan las relaciones entre variables y cantidades mensurables como fuerza, tensión , deformación y deflexión , todavía existen tres fuentes principales de variabilidad al considerar estas relaciones. ^[6]

La primera fuente de variabilidad es estadística, debido a las limitaciones de tener un tamaño de muestra finito para estimar parámetros como el límite elástico, el módulo de Young y la deformación verdadera . ^[7] La ​​incertidumbre de la medición es la que se minimiza más fácilmente de estas tres fuentes, ya que la varianza es proporcional a la inversa del tamaño de la muestra.

Podemos representar la varianza debida a las incertidumbres de la medición como un factor correctivo , que se multiplica por la media verdadera para obtener la media medida de . De manera equivalente, . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}={\bar {B}}X}$

Esto produce el resultado y la varianza del factor correctivo viene dada como: ${\displaystyle {\bar {B}}={\frac {\bar {X}}{X}}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle Var[B]={\frac {Var[{\bar {X}}]}{X}}={\frac {Var[X]}{nX}}}$

donde es el factor de corrección, es la media verdadera, es la media medida y es el número de mediciones realizadas. ^[6] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle n}$

La segunda fuente de variabilidad surge de las imprecisiones e incertidumbres del modelo utilizado para calcular dichos parámetros. Estos incluyen los modelos físicos que utilizamos para comprender la carga y sus efectos asociados en los materiales. La incertidumbre del modelo de un mensurable físico se puede determinar si se dispone tanto de los valores teóricos según el modelo como de los resultados experimentales.

El valor medido es equivalente a la predicción del modelo teórico multiplicada por un error del modelo de , más el error experimental . ^[8] De manera equivalente, ${\displaystyle {\hat {H}}(\omega )}$ ${\displaystyle H(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(\omega )=H(\omega )\phi (\omega )+\varepsilon (\omega )}$

y el error del modelo toma la forma general:

${\displaystyle \phi (\omega )=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\omega ^{n}}$

donde están los coeficientes de regresión determinados a partir de datos experimentales. ^[8] ${\displaystyle a_{i}}$

Finalmente, la última fuente de variabilidad proviene de la variabilidad intrínseca de cualquier mensurable físico. Existe una incertidumbre aleatoria fundamental asociada con todos los fenómenos físicos, y es comparativamente el más difícil minimizar esta variabilidad. Así, cada variable física y cantidad mensurable se puede representar como una variable aleatoria con una media y una variabilidad.

Comparación con los principios de diseño clásicos.

Considere el enfoque clásico para realizar ensayos de tracción en materiales. La tensión experimentada por un material se da como un valor singular (es decir, la fuerza aplicada dividida por el área de la sección transversal perpendicular al eje de carga). El límite elástico, que es el esfuerzo máximo que un material puede soportar antes de la deformación plástica, también se da como un valor singular. Según este enfoque, hay un 0% de posibilidades de falla del material por debajo del límite elástico y un 100% de posibilidades de falla por encima de él. Sin embargo, estos supuestos se desmoronan en el mundo real.

El modelo clásico tensión-deformación para un metal. Se presume que el material falla si la tensión excede el límite elástico.

El límite elástico de un material a menudo solo se conoce con cierta precisión, lo que significa que existe una incertidumbre y, por lo tanto, una distribución de probabilidad asociada con el valor conocido. ^{[6] [8]} Sea la función de distribución de probabilidad del límite elástico dada como . ${\displaystyle f(R)}$

De manera similar, la carga aplicada o la carga prevista sólo se puede conocer con cierta precisión, y también se desconoce el rango de tensión que sufrirá el material. Sea esta distribución de probabilidad dada como . ${\displaystyle f(S)}$

La probabilidad de falla es equivalente al área entre estas dos funciones de distribución, matemáticamente:

${\displaystyle P_{f}=P(R<S)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR}$

o de manera equivalente, si dejamos que la diferencia entre el límite elástico y la carga aplicada sea igual a una tercera función , entonces: ${\displaystyle R-S=Q}$

${\displaystyle P_{f}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR=\int \limits _{-\infty }^{0}f(Q)dQ}$

donde la varianza de la diferencia de medias está dada por . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma _{Q}^{2}={\sqrt {\sigma _{R}^{2}+\sigma _{S}^{2}}}}$

Los principios de diseño probabilístico permiten la determinación precisa de la probabilidad de falla, mientras que el modelo clásico no asume absolutamente ninguna falla antes del límite elástico. ^[9] Está claro que el modelo clásico de carga aplicada versus límite elástico tiene limitaciones, por lo que modelar estas variables con una distribución de probabilidad para calcular la probabilidad de falla es un enfoque más preciso. El enfoque de diseño probabilístico permite determinar la falla del material en todas las condiciones de carga, asociando probabilidades cuantitativas a la posibilidad de falla en lugar de un sí o un no definitivo.

Métodos utilizados para determinar la variabilidad.

El análisis de elementos finitos (en la foto, de un hueso de perro bajo tensión uniaxial) es un método principal utilizado para proporcionar valores teóricos de tensión y falla en el diseño probabilístico. ^[10]

En esencia, el diseño probabilístico se centra en la predicción de los efectos de la variabilidad. Para poder predecir y calcular la variabilidad asociada con la incertidumbre del modelo, se han ideado y utilizado muchos métodos en diferentes disciplinas para determinar valores teóricos para parámetros como la tensión y la deformación. Ejemplos de modelos teóricos utilizados junto con el diseño probabilístico incluyen:

• Análisis de elementos finitos ^[10]
• Método estocástico de elementos finitos ^[11]
• Método del elemento límite
• Métodos sin malla
• Métodos analíticos (consulte los principios de diseño clásicos)

Además, existen muchos métodos estadísticos que se utilizan para cuantificar y predecir la variabilidad aleatoria en el medible deseado. Algunos métodos que se utilizan para predecir la variabilidad aleatoria de una producción incluyen:

• el método de Montecarlo (incluidos los hipercubos latinos ); ^[12]
• propagación del error ;
• diseño de experimentos (DOE)
• el método de los momentos
• Interferencia estadística
• Despliegue de la función de calidad
• Modo de Fallos y Análisis de Efectos

Ver también

• elemento finito de intervalo
• Modelado estocástico
• Método de segundo momento de primer orden
• Distribución Weibull

Notas a pie de página

1. Sundarth, S; Woeste, Frank E.; Galligan, William (1978), Fiabilidad diferencial: ingeniería probabilística aplicada a elementos de madera en flexión-tensión (PDF) , vol. Res. Papilla. FPL-RP-302., Laboratorio de Productos Forestales de EE. UU. , consultado el 21 de enero de 2015{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Sundararajan, S (1995). Manual de mecánica estructural probabilística . Saltador. ISBN 978-0412054815.
3. Largo, MW; Narcico, JD (junio de 1999), Metodología de diseño para estructuras de aeronaves compuestas, DOT/FAA/AR-99/2, FAA, archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 , recuperado 24 de enero 2015
4. Ang, Alfredo HS; Tang, Wilson H (2006). Conceptos de probabilidad en ingeniería: énfasis en aplicaciones a la ingeniería civil y ambiental (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0471720645.
5. Puerta, Neelke; Hansson, Sven Ove (1 de junio de 2011). "¿Debería el diseño probabilístico reemplazar los factores de seguridad?". Filosofía y Tecnología . 24 (2): 151–168. doi : 10.1007/s13347-010-0003-6 . ISSN  2210-5441.
6. Soares, C. Guedes (1997), Soares, C. Guedes (ed.), "Cuantificación de la incertidumbre del modelo en confiabilidad estructural", Métodos probabilísticos para el diseño estructural , mecánica de sólidos y sus aplicaciones, Dordrecht: Springer Países Bajos, págs. 17–37, doi :10.1007/978-94-011-5614-1_2, ISBN 978-94-011-5614-1, recuperado el 11 de diciembre de 2023
7. Soares, C. Guedes, ed. (1997). "Métodos probabilísticos para el diseño estructural". Mecánica de Sólidos y sus Aplicaciones . doi :10.1007/978-94-011-5614-1. ISSN  0925-0042.
8. Ditlevsen, Ove (1 de enero de 1982). "Modelo de incertidumbre en confiabilidad estructural". Seguridad Estructural . 1 (1): 73–86. doi :10.1016/0167-4730(82)90016-9. ISSN  0167-4730.
9. Haugen, Edward B. (1980). Diseño mecánico probabilístico: Edward B. Haugen . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-05847-2.
10. Benaroya, H.; Rehak, M. (1 de mayo de 1988). "Métodos de elementos finitos en análisis estructural probabilístico: una revisión selectiva". Revisiones de Mecánica Aplicada . 41 (5): 201–213 - a través de Colección digital ASME.
11. Liu, WK; Belytschko, T.; Lua, YJ (1995), Sundararajan, C. (ed.), "Probabilistic Finite Element Method", Manual de mecánica estructural probabilística: teoría y aplicaciones industriales , Boston, MA: Springer US, págs. 70–105, doi :10.1007/ 978-1-4615-1771-9_5, ISBN 978-1-4615-1771-9, recuperado el 11 de diciembre de 2023
12. Kong, Depeng; Lu, Shouxiang; Frantzich, Hakan; Lo, SM (1 de diciembre de 2013). "Un método para vincular el factor de seguridad con la probabilidad objetivo de falla en la ingeniería de seguridad contra incendios". Revista de Ingeniería y Gestión Civil . 19 (T1): S212–S212. doi : 10.3846/13923730.2013.802718 .

Referencias

• Ang y Tang (2006) Conceptos de probabilidad en ingeniería: énfasis en aplicaciones a la ingeniería civil y ambiental. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-72064-X 
• Ash (1993) El libro de tutoría sobre probabilidad: un curso intuitivo para ingenieros y científicos ( y todos los demás ). Prensa Wiley-IEEE. ISBN 0-7803-1051-9 
• Clausing (1994) Desarrollo de la calidad total: una guía paso a paso para una ingeniería concurrente de clase mundial. Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos. ISBN 0-7918-0035-0 
• Haugen (1980) Diseño mecánico probabilístico. Wiley. ISBN 0-471-05847-5 
• Papoulis (2002) Probabilidad, variables aleatorias y proceso estocástico. McGraw-Hill Publishing Co. ISBN 0-07-119981-0 
• Siddall (1982) Diseño de ingeniería óptimo. CDN. ISBN 0-8247-1633-7 
• Dodson, B., Hammett, P. y Klerx, R. (2014) Diseño probabilístico para optimización y robustez para ingenieros John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-1-118-79619-1 
• Cederbaum G., Elishakoff I., Aboudi J. y Librescu L., Vibración aleatoria y confiabilidad de estructuras compuestas, Technomic, Lancaster, 1992, XIII + págs. 191; ISBN 0 87762 865 3 
• Elishakoff I., Lin YK y Zhu LP, Modelado probabilístico y convexo de estructuras excitadas acústicamente, Elsevier Science Publishers, Ámsterdam, 1994, VIII + págs. 296; ISBN 0 444 81624 0 
• Elishakoff I., Métodos probabilísticos en la teoría de estructuras: resistencia aleatoria de materiales, vibración aleatoria y pandeo, World Scientific, Singapur, ISBN 978-981-3149-84-7 , 2017 

enlaces externos

• Diseño probabilístico
• Enfoques no deterministas en ingeniería