Criterio de Kelly

Fórmula de dimensionamiento de apuestas para el crecimiento a largo plazo

Ejemplo de la fracción de apuesta de Kelly óptima, versus el rendimiento esperado de otras apuestas fraccionarias.

En teoría de la probabilidad , el criterio de Kelly (o estrategia de Kelly o apuesta de Kelly ) es una fórmula para dimensionar una secuencia de apuestas maximizando el valor esperado a largo plazo del logaritmo de la riqueza, lo que equivale a maximizar la tasa de crecimiento geométrico esperada a largo plazo . John Larry Kelly Jr. , un investigador de Bell Labs , describió el criterio en 1956. ^[1]

El uso práctico de la fórmula se ha demostrado para los juegos de azar , ^{[2] [3]} y la misma idea se utilizó para explicar la diversificación en la gestión de inversiones . ^[4] En la década de 2000, el análisis de estilo Kelly se convirtió en parte de la teoría de inversión dominante ^[5] y se ha afirmado que inversores exitosos conocidos, incluidos Warren Buffett ^[6] y Bill Gross ^[7], utilizan métodos de Kelly. ^[8] Véase también elección de cartera intertemporal . También es el reemplazo estándar del poder estadístico en pruebas estadísticas válidas en cualquier momento e intervalos de confianza, basados ​​en valores e y procesos e .

Criterio de Kelly para tasas de retorno binarias

En un sistema donde el retorno de una inversión o una apuesta es binario, es decir, una parte interesada gana o pierde un porcentaje fijo de su apuesta, el coeficiente de tasa de crecimiento esperado produce una solución muy específica para un porcentaje de apuesta óptimo.

Fórmula de juego

Cuando perder la apuesta implica perder toda la apuesta, la apuesta Kelly es:

${\displaystyle f^{*}=p-{\frac {q}{b}}=p-{\frac {1-p}{b}}}$

dónde:

• ${\displaystyle f^{*}}$es la fracción del bankroll actual a apostar.
• ${\displaystyle p}$es la probabilidad de ganar.
• ${\displaystyle q=1-p}$es la probabilidad de una pérdida.
• ${\displaystyle b}$es la proporción de la apuesta ganada con una victoria. Por ejemplo, si apuesta $10 en una apuesta con probabilidades de 2 a 1 (en caso de ganar, recibe $30, lo que le permite ganar $20), entonces . ${\displaystyle b=\$20/\$10=2.0}$

  

  La figura representa gráficamente la cantidad que se gana con una victoria en el eje x frente a la fracción de la cartera que se apuesta en el eje y. Esta figura supone que p=0,5 (que la probabilidad tanto de una victoria como de una pérdida es del 50%). Si la cantidad que se gana con una victoria es 1, entonces la cantidad de apuesta de Kelly es $0, lo que tiene sentido en una apuesta justa sin ganancia esperada.

Por ejemplo, si una apuesta tiene un 60% de posibilidades de ganar ( , ), y el jugador recibe probabilidades de 1 a 1 en una apuesta ganadora ( ), entonces, para maximizar la tasa de crecimiento a largo plazo del bankroll, el jugador debe apostar el 20% del bankroll en cada oportunidad ( ). ${\displaystyle p=0.6}$ ${\displaystyle q=0.4}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\textstyle f^{*}=0.6-{\frac {0.4}{1}}=0.2}$

La figura representa gráficamente la cantidad ganada con una victoria en el eje x frente a la fracción de la cartera que se apostará en el eje y. Esta figura supone que p=0,6 (que la probabilidad de una victoria es del 60%).

Figura 3D que representa el tamaño óptimo de la apuesta de Kelly (eje vertical) en función de la probabilidad de ganar y la cantidad obtenida con la victoria.

Si el jugador tiene ventaja de cero (es decir, si ), entonces el criterio recomienda que el jugador no apueste nada. ${\displaystyle b=q/p}$

Si la ventaja es negativa ( ), la fórmula da un resultado negativo, lo que indica que el jugador debe apostar el otro lado de la apuesta. Por ejemplo, en la ruleta americana , al apostador se le ofrece un pago de dinero parejo ( ) en rojo, cuando hay 18 números rojos y 20 números no rojos en la rueda ( ). La apuesta Kelly es , lo que significa que el jugador debe apostar un diecinueveavo de su bankroll a que no saldrá rojo. No se ofrece una apuesta anti-rojo explícita con probabilidades comparables en la ruleta, por lo que lo mejor que puede hacer un jugador Kelly es no apostar nada. ${\displaystyle b<q/p}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle p=18/38}$ ${\displaystyle -1/19}$

Fórmula de inversión

Una forma más general de la fórmula de Kelly permite pérdidas parciales, lo cual es relevante para las inversiones: ^{[9] : 7}

${\displaystyle f^{*}={\frac {p}{l}}-{\frac {q}{g}}}$

dónde:

• ${\displaystyle f^{*}}$es la fracción de los activos a aplicar a la garantía.
• ${\displaystyle p}$es la probabilidad de que la inversión aumente de valor.
• ${\displaystyle q}$es la probabilidad de que la inversión disminuya su valor ( ). ${\displaystyle q=1-p}$
• ${\displaystyle g}$es la fracción que se gana en un resultado positivo. ^{[9] : 7} Si el precio del valor aumenta un 10%, entonces . ${\displaystyle g={\frac {{\text{final value}}-{\text{original value}}}{\text{original value}}}={\frac {1.1-1}{1}}=0.1}$
• ${\displaystyle l}$es la fracción que se pierde en un resultado negativo. ^{[9] : 7} Si el precio del valor cae un 10%, entonces ${\displaystyle l={\frac {{\text{original value}}-{\text{final value}}}{\text{original value}}}={\frac {1-.9}{1}}=0.1}$

Cabe señalar que el criterio de Kelly es válido únicamente para probabilidades de resultados conocidas , lo que no sucede con las inversiones. Además, los inversores reacios al riesgo no deberían invertir la fracción completa de Kelly.

La forma general se puede reescribir de la siguiente manera

${\displaystyle f^{*}={\frac {p}{l}}\left(1-{\frac {1-p}{p}}{\frac {l}{g}}\right)={\frac {p}{l}}\left(1-{\frac {1}{WLP}}{\frac {1}{WLR}}\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle WLP={\frac {p}{1-p}}}$es la relación de probabilidad de ganar-perder (WLP), que es la relación entre apuestas ganadoras y perdedoras.
• ${\displaystyle WLR={\frac {g}{l}}}$es la relación de ganancias y pérdidas (WLR) de los resultados de las apuestas, que es el sesgo ganador .

Está claro que, al menos, uno de los factores o debe ser mayor que 1 para tener una ventaja (por lo que ). Incluso es posible que la relación de probabilidad de ganar-perder sea desfavorable , pero uno tiene una ventaja siempre que . ${\displaystyle WLP}$ ${\displaystyle WLR}$ ${\displaystyle f^{*}>0}$ ${\displaystyle WLP<1}$ ${\displaystyle WLP*WLR>1}$

La fórmula de Kelly puede dar como resultado fácilmente una fracción mayor que 1, como en el caso de una pérdida de tamaño (ver la expresión anterior con factores de y ). Esto sucede de forma un tanto contraintuitiva, porque la fórmula de la fracción de Kelly compensa una pérdida de tamaño pequeña con una apuesta mayor. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones reales, existe una gran incertidumbre sobre todos los parámetros que entran en la fórmula de Kelly. En el caso de una fracción de Kelly mayor que 1, es teóricamente ventajoso utilizar el apalancamiento para comprar valores adicionales con margen . ${\displaystyle l\ll 1}$ ${\displaystyle WLR}$ ${\displaystyle WLP}$

Ejemplo de apuesta: experimento de comportamiento

En un estudio, cada participante recibió 25 dólares y se le pidió que hiciera apuestas de dinero parejo sobre una moneda que caería cara el 60% de las veces. Los participantes tenían 30 minutos para jugar, por lo que podían hacer unas 300 apuestas, y los premios tenían un límite de 250 dólares. Pero el comportamiento de los sujetos de prueba estaba lejos de ser óptimo:

Sorprendentemente, el 28% de los participantes se arruinaron y el pago promedio fue de solo $91. Solo el 21% de los participantes alcanzó el máximo. 18 de los 61 participantes apostaron todo a una sola tirada, mientras que dos tercios apostaron a que saliera cruz en algún momento del experimento. ^{[10] [11]}

Utilizando el criterio de Kelly y basándonos en las probabilidades del experimento (ignorando el límite de $250 y la duración finita de la prueba), el enfoque correcto sería apostar el 20% del bankroll en cada lanzamiento de la moneda, lo que equivale a una ganancia promedio del 2,034% en cada lanzamiento. Esta es una media geométrica , no la tasa aritmética del 4% (r = 0,2 x (0,6 - 0,4) = 0,04). La riqueza teórica esperada después de 300 lanzamientos asciende a $10.505 ( ) si no hubiera un límite. ${\displaystyle =25\cdot (1.02034)^{300}}$

En este juego en particular, debido al límite, una estrategia de apostar solo el 12% del bote en cada lanzamiento tendría resultados aún mejores (una probabilidad del 95% de alcanzar el límite y un pago promedio de $242,03).

Prueba

Las pruebas heurísticas del criterio de Kelly son sencillas. ^[12] El criterio de Kelly maximiza el valor esperado del logaritmo de la riqueza (el valor esperado de una función está dado por la suma, sobre todos los resultados posibles, de la probabilidad de cada resultado particular multiplicada por el valor de la función en caso de que se produzca ese resultado). Empezamos con 1 unidad de riqueza y apostamos una fracción de esa riqueza a un resultado que ocurre con probabilidad y ofrece probabilidades de . La probabilidad de ganar es , y en ese caso la riqueza resultante es igual a . La probabilidad de perder es y las probabilidades de un resultado negativo son . En ese caso la riqueza resultante es igual a . Por lo tanto, la tasa de crecimiento geométrico esperada es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1+fb}$ ${\displaystyle q=1-p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1-fa}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=(1+fb)^{p}\cdot (1-fa)^{q}}$

Queremos encontrar el r máximo de esta curva (como función de f ), lo que implica encontrar la derivada de la ecuación. Esto se logra más fácilmente tomando primero el logaritmo de cada lado; como el logaritmo es monótono , no cambia las posiciones de los extremos de la función. La ecuación resultante es:

${\displaystyle E=\log(r)=p\log(1+fb)+q\log(1-fa)}$

con un crecimiento de la riqueza logarítmico. Para encontrar el valor de para el cual se maximiza la tasa de crecimiento, denotado como , diferenciamos la expresión anterior y la igualamos a cero. Esto da: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dE}{df}}\right|_{f=f^{*}}={\frac {pb}{1+f^{*}b}}+{\frac {-qa}{1-f^{*}a}}=0}$

Reorganizando esta ecuación para resolver el valor de obtenemos el criterio de Kelly: ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle f^{*}={\frac {p}{a}}-{\frac {q}{b}}}$

Nótese que esta expresión se reduce a la simple fórmula de juego cuando , cuando una pérdida resulta en la pérdida total de la apuesta. ${\displaystyle a=1=100\%}$

Criterio de Kelly para tasas de retorno no binarias

Si las tasas de retorno de una inversión o una apuesta son de naturaleza continua, el coeficiente de tasa de crecimiento óptimo debe tener en cuenta todos los eventos posibles.

Aplicación al mercado de valores

En finanzas matemáticas, si los pesos de los valores maximizan la tasa de crecimiento geométrico esperada (lo que equivale a maximizar la riqueza logarítmica), entonces una cartera es óptima en términos de crecimiento.

El criterio de Kelly muestra que para un valor volátil dado esto se satisface cuando

${\displaystyle f^{*}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}}}}$

donde es la fracción del capital disponible invertido que maximiza la tasa de crecimiento geométrico esperada, es el coeficiente de la tasa de crecimiento esperada, es la varianza del coeficiente de la tasa de crecimiento y es la tasa de retorno libre de riesgo. Nótese que aquí se supuso una función de densidad de probabilidad simétrica. ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r}$

Los cálculos de carteras óptimas para el crecimiento pueden sufrir tremendos problemas de entrada y salida de basura. Por ejemplo, los casos que se indican a continuación dan por sentado el rendimiento esperado y la estructura de covarianza de los activos, pero estos parámetros son, en el mejor de los casos, estimaciones o modelos que tienen una incertidumbre significativa. Si las ponderaciones de la cartera son en gran medida una función de errores de estimación, entonces el rendimiento ex post de una cartera óptima para el crecimiento puede diferir enormemente de la predicción ex ante . La incertidumbre de los parámetros y los errores de estimación son un tema importante en la teoría de carteras. Una estrategia para contrarrestar el riesgo desconocido es invertir menos que el criterio de Kelly.

Las estimaciones aproximadas siguen siendo útiles. Si tomamos un rendimiento excedente del 4% y una volatilidad del 16%, entonces se calcula que el ratio de Sharpe anual y el ratio de Kelly son del 25% y el 150%. El ratio de Sharpe diario y el ratio de Kelly son del 1,7% y el 150%. El ratio de Sharpe implica una probabilidad de ganancia diaria de p=(50% + 1,7%/4), donde asumimos que el ancho de banda de probabilidad es . Ahora podemos aplicar la fórmula discreta de Kelly para lo anterior con , y obtenemos otra estimación aproximada para la fracción de Kelly . Ambas estimaciones de la fracción de Kelly parecen bastante razonables, pero un enfoque prudente sugiere una multiplicación adicional del ratio de Kelly por el 50% (es decir, la mitad de Kelly). ${\displaystyle 4\sigma =4\%}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle p=50.425\%,a=b=1\%}$ ${\displaystyle f^{*}=85\%}$

Un artículo detallado de Edward O. Thorp y un coautor estima que la fracción de Kelly es del 117% para el índice SP500 del mercado bursátil estadounidense. ^[13] El riesgo de caída significativo de los mercados de valores es otra razón ^[14] para reducir la fracción de Kelly a partir de una estimación ingenua (por ejemplo, reducirla a la mitad).

Prueba

Se puede encontrar una prueba rigurosa y general en el artículo original de Kelly ^[1] o en algunas de las otras referencias que se enumeran a continuación. Se han publicado algunas correcciones. ^[15] Damos el siguiente argumento no riguroso para el caso con (una apuesta "a dinero parejo" 50:50) para mostrar la idea general y proporcionar algunas ideas. ^[1] Cuando , un apostador de Kelly apuesta veces su riqueza inicial , como se muestra arriba. Si gana, tiene después de una apuesta. Si pierde, tiene . Supongamos que hace apuestas como esta y gana veces de esta serie de apuestas. La riqueza resultante será: ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle 2p-1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 2pW}$ ${\displaystyle 2(1-p)W}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 2^{N}p^{K}(1-p)^{N-K}W\!.}$

El orden de las ganancias y las pérdidas no afecta la riqueza resultante. Supongamos que otro apostador apuesta una cantidad diferente, por un valor de (donde puede ser positivo o negativo). Tendrá después de una victoria y después de una derrota. Después de la misma serie de victorias y derrotas que el apostador de Kelly, tendrá: ${\displaystyle (2p-1+\Delta )W}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle (2p+\Delta )W}$ ${\displaystyle [2(1-p)-\Delta ]W}$

${\displaystyle (2p+\Delta )^{K}[2(1-p)-\Delta ]^{N-K}W}$

Tome la derivada de esto con respecto a y obtenga: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle K(2p+\Delta )^{K-1}[2(1-p)-\Delta ]^{N-K}W-(N-K)(2p+\Delta )^{K}[2(1-p)-\Delta ]^{N-K-1}W}$

La función se maximiza cuando esta derivada es igual a cero, lo que ocurre en:

${\displaystyle K[2(1-p)-\Delta ]=(N-K)(2p+\Delta )}$

Lo que implica que

${\displaystyle \Delta =2\left({\frac {K}{N}}-p\right)}$

Pero la proporción de apuestas ganadoras eventualmente convergerá a:

${\displaystyle \lim _{N\to +\infty }{\frac {K}{N}}=p}$

De acuerdo con la ley débil de los grandes números , en el largo plazo la riqueza final se maximiza si se establece en cero, lo que implica seguir la estrategia de Kelly. Esto ilustra que Kelly tiene un componente determinista y uno estocástico. Si uno conoce K y N y desea elegir una fracción constante de riqueza para apostar cada vez (de lo contrario, podría hacer trampa y, por ejemplo, apostar cero después de la K ^-ésima victoria sabiendo que el resto de las apuestas perderán), terminará con la mayor cantidad de dinero si apuesta: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \left(2{\frac {K}{N}}-1\right)W}$

cada vez. Esto es cierto ya sea pequeña o grande. La parte de "largo plazo" de Kelly es necesaria porque K no se conoce de antemano, solo que a medida que aumenta, se acercará a . Alguien que apuesta más que Kelly puede obtener mejores resultados si es por un tramo; alguien que apuesta menos que Kelly puede obtener mejores resultados si es por un tramo, pero a largo plazo, Kelly siempre gana. La prueba heurística para el caso general procede de la siguiente manera. ^{[ cita requerida ]} En un solo ensayo, si uno invierte la fracción de su capital, si la estrategia tiene éxito, el capital al final del ensayo aumenta por el factor , y, de la misma manera, si la estrategia falla, el capital disminuye por el factor . Por lo tanto, al final de los ensayos (con éxitos y fracasos), el capital inicial de $1 produce ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle pN}$ ${\displaystyle K>pN}$ ${\displaystyle K<pN}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1-f+f(1+b)=1+fb}$ ${\displaystyle 1-fa}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle pN}$ ${\displaystyle qN}$

${\displaystyle C_{N}=(1+fb)^{pN}(1-fa)^{qN}.}$

Maximizar , y en consecuencia , con respecto a conduce al resultado deseado ${\displaystyle \log(C_{N})/N}$ ${\displaystyle C_{N}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{*}=p/a-q/b.}$

Edward O. Thorp proporcionó una discusión más detallada de esta fórmula para el caso general. ^[9] Allí, se puede ver que la sustitución de por la razón del número de "éxitos" al número de ensayos implica que el número de ensayos debe ser muy grande, ya que se define como el límite de esta razón cuando el número de ensayos tiende a infinito. En resumen, apostar cada vez probablemente maximizará la tasa de crecimiento de la riqueza solo en el caso en que el número de ensayos sea muy grande, y y sean los mismos para cada ensayo. En la práctica, se trata de jugar el mismo juego una y otra vez, donde la probabilidad de ganar y las probabilidades de pago son siempre las mismas. En la prueba heurística anterior, los éxitos y los fracasos son altamente probables solo para . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle pN}$ ${\displaystyle qN}$ ${\displaystyle N}$

Resultados múltiples

El criterio de Kelly puede generalizarse ^[16] a las apuestas sobre muchos resultados mutuamente excluyentes, como en las carreras de caballos. Supongamos que hay varios resultados mutuamente excluyentes. La probabilidad de que el -ésimo caballo gane la carrera es , la cantidad total de apuestas realizadas en el -ésimo caballo es , y ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B_{k}}$

${\displaystyle \beta _{k}={\frac {B_{k}}{\sum _{i}B_{i}}}={\frac {D}{1+Q_{k}}},}$

donde son las probabilidades de pago. , es la tasa de dividendos donde es la ganancia o impuesto de la pista, es la tasa de ingresos después de la deducción de la ganancia de la pista cuando el caballo -th gana. La fracción de los fondos del apostador para apostar en el caballo -th es . El criterio de Kelly para apostar con múltiples resultados mutuamente excluyentes proporciona un algoritmo para encontrar el conjunto óptimo de resultados en los que es razonable apostar y proporciona una fórmula explícita para encontrar las fracciones óptimas de la riqueza del apostador para apostar en los resultados incluidos en el conjunto óptimo . El algoritmo para el conjunto óptimo de resultados consta de cuatro pasos: ^[16] ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle D=1-tt}$ ${\displaystyle tt}$ ${\displaystyle {\frac {D}{\beta _{k}}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle S^{o}}$ ${\displaystyle f_{k}^{o}}$ ${\displaystyle S^{o}}$

1. Calcule la tasa de ingresos esperada para todos los resultados posibles (o solo para varios de los más prometedores): $${\displaystyle er_{i}={\frac {Dp_{i}}{\beta _{i}}}=p_{i}(Q_{i}+1)}$$
2. Reordena los resultados de modo que la nueva secuencia no sea creciente. Así será la mejor apuesta. ${\displaystyle er_{k}}$ ${\displaystyle er_{1}}$
3. Conjunto (el conjunto vacío), , . Por lo tanto, se considerará primero la mejor apuesta . ${\displaystyle S=\varnothing }$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle R(S)=1}$ ${\displaystyle er_{k}=er_{1}}$
4. Repetir:

   Si luego inserta el resultado -ésimo en el conjunto: , recalcule de acuerdo con la fórmula: y luego establezca , ${\displaystyle er_{k}={\frac {D}{\beta _{k}}}p_{k}>R(S)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S=S\cup \{k\}}$ ${\displaystyle R(S)}$ $${\displaystyle R(S)={\frac {D\sum _{k\notin S}p_{k}}{D-\sum _{k\in S}\beta _{k}}}}$$ ${\displaystyle k=k+1}$

   De lo contrario, configure y detenga la repetición. ${\displaystyle S^{o}=S}$

Si el conjunto óptimo está vacío, entonces no se debe apostar en absoluto. Si el conjunto de resultados óptimos no está vacío, entonces la fracción óptima para apostar al resultado -ésimo se puede calcular a partir de esta fórmula: ${\displaystyle S^{o}}$ ${\displaystyle S^{o}}$ ${\displaystyle f_{k}^{o}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f_{i}=p_{i}-\beta _{i}{\frac {\sum _{k\notin S}p_{k}}{\left(D-\sum _{k\in S}\beta _{k}\right)}}.}$

Se puede demostrar ^[16] que

${\displaystyle R(S^{o})=1-\sum _{i\in S^{o}}{f_{i}^{o}}}$

donde el lado derecho es la tasa de reserva ^{[ aclaración necesaria ]} . Por lo tanto, el requisito puede interpretarse ^[16] de la siguiente manera: el resultado -ésimo se incluye en el conjunto de resultados óptimos si y solo si su tasa de ingresos esperada es mayor que la tasa de reserva. La fórmula para la fracción óptima puede interpretarse como el exceso de la tasa de ingresos esperada de -ésimo caballo sobre la tasa de reserva dividida por los ingresos después de la deducción de la ganancia de la pista cuando -ésimo caballo gana o como el exceso de la probabilidad de que -ésimo caballo gane sobre la tasa de reserva dividida por los ingresos después de la deducción de la ganancia de la pista cuando -ésimo caballo gana. El exponente de crecimiento binario es ${\displaystyle er_{k}={\frac {D}{\beta _{k}}}p_{k}>R(S)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S^{o}}$ ${\displaystyle f_{k}^{o}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle G^{o}=\sum _{i\in S}{p_{i}\log _{2}(er_{i})}+\left(1-\sum _{i\in S}{p_{i}}\right)\log _{2}(R(S^{o})),}$

y el tiempo de duplicación es

${\displaystyle T_{d}={\frac {1}{G^{o}}}.}$

Este método de selección de apuestas óptimas puede aplicarse también cuando se conocen las probabilidades solo para algunos de los resultados más prometedores, mientras que los resultados restantes no tienen ninguna posibilidad de ganar. En este caso debe ser que ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i}{p_{i}}<1,}$y

${\displaystyle \sum _{i}{\beta _{i}}<1}$.

Inversiones en acciones

El polinomio de Taylor de segundo orden puede utilizarse como una buena aproximación del criterio principal. Principalmente, es útil para la inversión en acciones, donde la fracción dedicada a la inversión se basa en características simples que pueden estimarse fácilmente a partir de datos históricos existentes: valor esperado y varianza . Esta aproximación puede ofrecer resultados similares al criterio original, ^[17] pero en algunos casos la solución obtenida puede ser inviable. ^[18]

Para activos individuales (acciones, fondos indexados, etc.) y una tasa libre de riesgo, es fácil obtener la fracción óptima para invertir a través del movimiento browniano geométrico . La ecuación diferencial estocástica que rige la evolución de un activo distribuido lognormalmente en el tiempo ( ) es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}/S_{t}=\mu dt+\sigma dW_{t}}$

cuya solución es

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)}$

donde es un proceso de Wiener , y (desviación porcentual) y (volatilidad porcentual) son constantes. Tomando expectativas del logaritmo: ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t.}$

Entonces el retorno logarítmico esperado es ${\displaystyle R_{s}}$

${\displaystyle R_{s}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right).}$

Consideremos una cartera formada por un activo y un bono que paga una tasa libre de riesgo , con una fracción invertida en y en el bono. La ecuación antes mencionada para debe modificarse por esta fracción, es decir , con una solución asociada ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (1-f)}$ ${\displaystyle dS_{t}}$ ${\displaystyle dS_{t}'=fdS_{t}}$

${\displaystyle S'_{t}=S'_{0}\exp \left(\left(f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}\right)t+f\sigma W_{t}\right)}$

El rendimiento esperado de un período está dado por

${\displaystyle \mathbb {E} {\left(\left[{\frac {S'_{1}}{S'_{0}}}-1\right]+(1-f)r\right)}=\mathbb {E} {\left(\left[\exp \left(\left(f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}\right)+f\sigma W_{1}\right)-1\right]\right)}+(1-f)r}$

Para pequeñas , , y , la solución se puede expandir al primer orden para producir un aumento aproximado en la riqueza. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle G(f)=f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}+(1-f)\ r.}$

Resolviendo obtenemos ${\displaystyle \max(G(f))}$

${\displaystyle f^{*}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}}}.}$

${\displaystyle f^{*}}$es la fracción que maximiza el rendimiento logarítmico esperado y, por lo tanto, es la fracción de Kelly. Thorp ^[9] llegó al mismo resultado pero a través de una derivación diferente. Recuerde que es diferente del rendimiento logarítmico del activo . Confundir esto es un error común que cometen los sitios web y los artículos que hablan sobre el criterio de Kelly. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle R_{s}}$

Para múltiples activos, considere un mercado con acciones correlacionadas con retornos estocásticos y un bono sin riesgo con retorno . Un inversor pone una fracción de su capital y el resto se invierte en el bono. Sin pérdida de generalidad, suponga que el capital inicial del inversor es igual a 1. De acuerdo con el criterio de Kelly, uno debería maximizar ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle k=1,\dots ,n,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u_{k}}$ ${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\ln \left((1+r)+\sum \limits _{k=1}^{n}u_{k}(r_{k}-r)\right)\right].}$

Ampliando esto con una serie de Taylor obtenemos ${\displaystyle {\vec {u_{0}}}=(0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\ln(1+r)+\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {u_{k}(r_{k}-r)}{1+r}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{k=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}u_{k}u_{j}{\frac {(r_{k}-r)(r_{j}-r)}{(1+r)^{2}}}\right].}$

De esta manera reducimos el problema de optimización a programación cuadrática y la solución sin restricciones es

${\displaystyle {\vec {u^{\star }}}=(1+r)({\widehat {\Sigma }})^{-1}({\widehat {\vec {r}}}-r)}$

donde y son el vector de medias y la matriz de segundos momentos no centrales mixtos de los rendimientos excedentes. También existe un algoritmo numérico para las estrategias fraccionarias de Kelly y para la solución óptima sin apalancamiento ni restricciones de venta en corto. ^[19] ${\displaystyle {\widehat {\vec {r}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\Sigma }}}$

Bernoulli

En un artículo de 1738, Daniel Bernoulli sugirió que, cuando se tiene la posibilidad de elegir entre apuestas o inversiones, se debe elegir la que tenga la media geométrica de resultados más alta. Esto es matemáticamente equivalente al criterio de Kelly, aunque la motivación es diferente (Bernoulli quería resolver la paradoja de San Petersburgo ).

Una traducción al inglés del artículo de Bernoulli no se publicó hasta 1954, ^[20] pero el trabajo era muy conocido entre matemáticos y economistas.

Crítica

Aunque la promesa de la estrategia de Kelly de obtener mejores resultados que cualquier otra estrategia a largo plazo parece convincente, algunos economistas han argumentado enérgicamente en contra de ella, principalmente porque las restricciones de inversión específicas de un individuo pueden anular el deseo de una tasa de crecimiento óptima. ^[8] La alternativa convencional es la teoría de la utilidad esperada , que dice que las apuestas deben tener un tamaño que maximice la utilidad esperada del resultado (para un individuo con utilidad logarítmica , la apuesta de Kelly maximiza la utilidad esperada, por lo que no hay conflicto; además, el artículo original de Kelly establece claramente la necesidad de una función de utilidad en el caso de los juegos de azar que se juegan un número finito de veces ^[1] ). Incluso los partidarios de Kelly suelen defender el Kelly fraccionario (apostar una fracción fija de la cantidad recomendada por Kelly) por una variedad de razones prácticas, como el deseo de reducir la volatilidad o protegerse contra errores no deterministas en sus cálculos de ventaja (borde). ^[21] En términos coloquiales, el criterio de Kelly requiere valores de probabilidad precisos, lo que no siempre es posible para los resultados de eventos del mundo real. Cuando un jugador sobreestima su verdadera probabilidad de ganar, el valor del criterio calculado se desviará del óptimo, aumentando el riesgo de ruina.

La fórmula de Kelly puede considerarse como una "diversificación temporal", que consiste en asumir el mismo riesgo durante diferentes períodos secuenciales de tiempo (en lugar de asumir el mismo riesgo en diferentes activos para la diversificación de activos). Claramente, existe una diferencia entre la diversificación temporal y la diversificación de activos, que fue planteada ^[22] por Paul A. Samuelson . También existe una diferencia entre el promedio de conjunto (cálculo de utilidad) y el promedio temporal (apuesta multiperiodo de Kelly sobre una única trayectoria temporal en la vida real). El debate se renovó al invocar la ruptura de la ergodicidad ^[23] . Sin embargo , debe reconocerse la diferencia entre la ruptura de la ergodicidad y la incertidumbre knightiana ^{[24] .}

Véase también

• Riesgo de ruina
• Teoría de la información y el juego
• La paradoja de Proebsting
• El problema de la cartera de Merton

Referencias

1. Kelly, JL (1956). "Una nueva interpretación de la tasa de información" (PDF) . Bell System Technical Journal . 35 (4): 917–926. doi :10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x.
2. Thorp, EO (enero de 1961), "La fórmula de la fortuna: el juego del blackjack", American Mathematical Society
3. Thorp, Edward O. (1966). Vencer al crupier: una estrategia ganadora para el juego de veintiuno: un análisis científico del juego mundial conocido como blackjack, veintiuno, vingt-et-un, pontoon o van-john . Nueva York: Random House. ISBN 0-394-70310-3.OCLC 655875  .
4. Thorp, Edward O.; Kassouf, Sheen T. (1967), Cómo vencer al mercado: un sistema científico de mercado de valores (PDF) , Random House, ISBN 0-394-42439-5, archivado desde el original (PDF) el 7 de octubre de 2009, página 184f.
5. Zenios, SA; Ziemba, WT (2006), Manual de gestión de activos y pasivos , Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-50875-1
6. Pabrai, Mohnish (2007), The Dhandho Investor: el método de valor de bajo riesgo para obtener altos rendimientos, Wiley, ISBN 978-0-470-04389-9
7. Thorp, EO (septiembre de 2008), "El criterio de Kelly: Parte II", Wilmott Magazine
8. Poundstone, William (2005), La fórmula de la fortuna: la historia no contada del sistema científico de apuestas que venció a los casinos y a Wall Street, Nueva York: Hill y Wang, ISBN 0-8090-4637-7
9. Thorp, Edward O. (junio de 1997). "El criterio de Kelly en el blackjack, las apuestas deportivas y el mercado de valores" (PDF) . 10.ª Conferencia Internacional sobre Juego y Asunción de Riesgos . Montreal . Consultado el 20 de marzo de 2024 .
10. Haghani, Victor; Dewey, Richard (19 de octubre de 2016). "Toma de decisiones racional en condiciones de incertidumbre: patrones de apuestas observados en una moneda sesgada". SSRN  2856963. arXiv :1701.01427
11. "Buttonwood", "Lanzadores irracionales", The Economist , 1 de noviembre de 2016.
12. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 14.7 (Ejemplo 2)", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8
13. Thorp, EO; Rotando, Louis M. (1992). "El criterio de Kelly y el mercado de valores" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 99 (10): 922–931. doi :10.1080/00029890.1992.11995955.
14. Turlakov, Mihail (2017). "Apalancamiento e incertidumbre". Journal of Investment Strategies, pp. 81-97 . 6. arXiv : 1612.07194 . doi :10.21314/JOIS.2017.087.
15. Thorp, EO (1969). "Sistemas de juego óptimos para juegos favorables". Revue de l'Institut International de Statistique / Revista del Instituto Internacional de Estadística . 37 (3). Instituto Internacional de Estadística (ISI): 273–293. doi :10.2307/1402118. JSTOR  1402118. MR  0135630.
16. Smoczynski, Peter; Tomkins, Dave (2010). "Una solución explícita al problema de optimizar la distribución de la riqueza de un apostador cuando apuesta en carreras de caballos". Mathematical Scientist . 35 (1): 10–17.
17. Marek, Patrice; Ťoupal, Tomaš; Vávra, František (2016). Distribución Eficiente del Capital de Inversión. 34º Congreso Internacional Métodos Matemáticos en Economía. págs. 540–545. MME2016.
18. Hsieh, Chung-Han; Barmish, B. Ross (2015). Sobre las apuestas de Kelly: algunas limitaciones . 53.ª Conferencia Anual Allerton sobre Comunicación, Control y Computación. Monticello, IL: IEEE. págs. 165–172.
19. Nekrasov, Vasily (2013). "Criterio de Kelly para carteras multivariadas: un enfoque sin modelos". SSRN  2259133.
20. Bernoulli, Daniel (1954). "Exposición de una nueva teoría sobre la medición del riesgo" (PDF) . Econometrica . 22 (1). The Econometric Society : 22–36. doi :10.2307/1909829. JSTOR  1909829. S2CID  9165746.Traducción al inglés de un documento de 1738.
21. Thorp, EO (mayo de 2008), "El criterio de Kelly: Parte I", Wilmott Magazine
22. Samuelson, Paul A. (1963), "Riesgo e incertidumbre: una falacia de los grandes números", Scientia (6.ª serie, año 57, abril-mayo), 153-158
23. Peters, Ole; Gell-Mann, Murray (2015), "Evaluación de apuestas usando dinámicas", Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science , 26 (2): 023103, arXiv : 1405.0585 , doi : 10.1063/1.4940236 , PMID  26931584, S2CID  9726238
24. Ford, Matthew; Kay, John (2022), La psicología es fundamental: las limitaciones de los enfoques de crecimiento óptimo para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre , doi :10.2139/ssrn.4140625, S2CID  250132554

Enlaces externos