Coeficiente de presión

Número adimensional que describe presiones relativas en un campo de flujo de fluido.

En dinámica de fluidos , el coeficiente de presión es un número adimensional que describe las presiones relativas en todo un campo de flujo. El coeficiente de presión se utiliza en aerodinámica e hidrodinámica . Cada punto en un campo de flujo de fluido tiene su propio coeficiente de presión único, C _p .

En muchas situaciones de aerodinámica e hidrodinámica, el coeficiente de presión en un punto cercano a un cuerpo es independiente del tamaño del mismo. En consecuencia, un modelo de ingeniería se puede probar en un túnel de viento o de agua , se pueden determinar los coeficientes de presión en lugares críticos alrededor del modelo y estos coeficientes de presión se pueden utilizar con confianza para predecir la presión del fluido en esos lugares críticos alrededor de una aeronave o un barco de tamaño completo.

Definición

El coeficiente de presión es un parámetro para estudiar fluidos compresibles e incompresibles como el agua y el aire. La relación entre el coeficiente adimensional y los números dimensionales es ^{[1] [2]}

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}$

dónde:

${\displaystyle p}$es la presión estática en el punto en el que se evalúa el coeficiente de presión

${\displaystyle p_{\infty }}$es la presión estática en la corriente libre (es decir, alejada de cualquier perturbación)

${\displaystyle \rho _{\infty }}$es la densidad del fluido en corriente libre (el aire a nivel del mar y 15 °C es 1,225 ) ${\displaystyle {\rm {kg/m^{3}}}}$

${\displaystyle V_{\infty }}$es la velocidad de corriente libre del fluido, o la velocidad del cuerpo a través del fluido

Flujo incompresible

Utilizando la ecuación de Bernoulli , el coeficiente de presión se puede simplificar aún más para flujos potenciales (no viscosos y estables): ^[3]

${\displaystyle C_{p}|_{M\,\approx \,0}={p-p_{\infty } \over p_{0}-p_{\infty }}={1-{\bigg (}{\frac {u}{u_{\infty }}}{\bigg )}^{2}}}$

dónde:

${\displaystyle u}$es la velocidad del flujo en el punto en el que se evalúa el coeficiente de presión

${\displaystyle M}$es el número de Mach , que se toma en el límite de cero

${\displaystyle p_{0}}$es la presión de estancamiento del flujo

Esta relación es válida para el flujo de fluidos incompresibles, donde las variaciones de velocidad y presión son lo suficientemente pequeñas como para que las variaciones de densidad del fluido puedan despreciarse. Esta suposición se hace comúnmente en la práctica de ingeniería cuando el número de Mach es menor que aproximadamente 0,3.

• ${\displaystyle C_{p}}$de cero indica que la presión es la misma que la presión de corriente libre.
• ${\displaystyle C_{p}}$de uno corresponde a la presión de estancamiento e indica un punto de estancamiento .
• Los valores más negativos de en un flujo de líquido se pueden sumar al número de cavitación para obtener el margen de cavitación. Si este margen es positivo, el flujo es localmente completamente líquido, mientras que si es cero o negativo, el flujo es cavitante o gaseoso. ${\displaystyle C_{p}}$

Las ubicaciones son importantes en el diseño de planeadores porque indican una ubicación adecuada para un puerto de "Energía total" para el suministro de presión de señal al variómetro , un indicador de velocidad vertical especial que reacciona a los movimientos verticales de la atmósfera pero no reacciona a las maniobras verticales del planeador. ${\displaystyle C_{p}=-1}$

En un campo de flujo de fluido incompresible alrededor de un cuerpo, habrá puntos que tendrán coeficientes de presión positivos de hasta uno, y coeficientes de presión negativos que incluyen coeficientes menores a menos uno.

Flujo compresible

En el flujo de fluidos compresibles como el aire, y en particular el flujo de alta velocidad de fluidos compresibles, (la presión dinámica ) ya no es una medida precisa de la diferencia entre la presión de estancamiento y la presión estática . Además, la relación familiar de que la presión de estancamiento es igual a la presión total no siempre es cierta. (Siempre es cierto en el flujo isentrópico , pero la presencia de ondas de choque puede hacer que el flujo se desvíe de la isoentropía). Como resultado, los coeficientes de presión pueden ser mayores que uno en el flujo compresible. ^[4] ${\displaystyle {{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}}$

Teoría de la perturbación

El coeficiente de presión se puede estimar para el flujo irrotacional e isentrópico introduciendo el potencial y el potencial de perturbación , normalizados por la velocidad de corriente libre. ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle u_{\infty }}$

${\displaystyle \Phi =u_{\infty }x+\phi (x,y,z)}$

Utilizando la ecuación de Bernoulli ,

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$

que puede reescribirse como

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {a^{2}}{\gamma -1}}={\text{constant}}}$

¿Dónde está la velocidad del sonido? ${\displaystyle a}$

El coeficiente de presión se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {a}{a_{\infty }}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}({\frac {u_{\infty }^{2}}{2}}-\Phi _{t}-{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}})+1\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx {\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1-{\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}(\phi _{t}+u_{\infty }\phi _{x})\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx -{\frac {2\phi _{t}}{u_{\infty }^{2}}}-{\frac {2\phi _{x}}{u_{\infty }}}\end{aligned}}}$

¿Dónde está la velocidad del sonido en campo lejano? ${\displaystyle a_{\infty }}$

Teoría del pistón local

La teoría clásica del pistón es una poderosa herramienta aerodinámica. A partir del uso de la ecuación de momento y la suposición de perturbaciones isentrópicas, se obtiene la siguiente fórmula básica de la teoría del pistón para la presión superficial:

${\displaystyle p=p_{\infty }\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}}$

donde es la velocidad de caída y es la velocidad del sonido. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle C_{p}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]}$

La superficie se define como

${\displaystyle F(x,y,z,t)=z-f(x,y,t)=0}$

La condición límite de velocidad de deslizamiento conduce a

${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}(u_{\infty }+\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z})=V_{\text{wall}}\cdot {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}=-{\frac {\partial F}{\partial t}}{\frac {1}{|\nabla F|}}}$

La velocidad de caída se aproxima como ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w={\frac {\partial f}{\partial t}}+u_{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Flujo hipersónico

En el flujo hipersónico, el coeficiente de presión se puede calcular con precisión para un vehículo utilizando la teoría corpuscular del movimiento del fluido de Newton, que es inexacta para el flujo de baja velocidad y se basa en tres supuestos: ^[5]

1. El flujo se puede modelar como una corriente de partículas en movimiento rectilíneo.
2. Al impactar con una superficie, se pierde todo el impulso normal.
3. Todo el momento tangencial se conserva y el flujo sigue al cuerpo.

Para una velocidad de corriente libre que impacta una superficie de área , que está inclinada en un ángulo con respecto a la corriente libre, el cambio en el momento normal es y el flujo de masa incidente en la superficie es , siendo la densidad del aire de la corriente libre. Entonces, el flujo de momento, igual a la fuerza ejercida sobre la superficie , de acuerdo con la segunda ley de Newton es igual a: ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle V_{\infty }\sin \theta }$ ${\displaystyle \rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta }$ ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=(\rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta )(V_{\infty }\sin \theta )=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}A\sin ^{2}\theta }$

Dividiendo por el área de la superficie, queda claro que la fuerza por unidad de área es igual a la diferencia de presión entre la presión de la superficie y la presión de la corriente libre , lo que conduce a la relación: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {F}{A}}=p-p_{\infty }=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}\sin ^{2}\theta \implies {\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}=2\sin ^{2}\theta }$

La última ecuación puede identificarse como el coeficiente de presión, lo que significa que la teoría newtoniana predice que el coeficiente de presión en el flujo hipersónico es:

${\displaystyle C_{p}=2\sin ^{2}\theta }$

Para flujos de muy alta velocidad y vehículos con superficies afiladas, la teoría newtoniana funciona muy bien.

Ley de Newton modificada

Lester Lees propuso una modificación de la teoría newtoniana, específicamente para cuerpos romos: ^[6]

${\displaystyle C_{p}=C_{p,\max }\sin ^{2}\theta }$

¿Dónde está el valor máximo del coeficiente de presión en el punto de estancamiento detrás de una onda de choque normal ? ${\displaystyle C_{p,\max }}$

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {p_{o}-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}={\frac {p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)}$

donde es la presión de estancamiento y es la relación entre los calores específicos . La última relación se obtiene a partir de la ley de los gases ideales , el número de Mach y la velocidad del sonido . La fórmula del tubo de Pitot de Rayleigh para un choque normal calóricamente perfecto dice que la relación entre la presión de estancamiento y la presión de corriente libre es: ${\displaystyle p_{o}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p=\rho RT}$ ${\displaystyle M=V/a}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\gamma RT}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]}$

Por lo tanto, se deduce que el coeficiente de presión máximo para la ley newtoniana modificada es:

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left\{\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]-1\right\}}$

En el límite cuando , el coeficiente de presión máximo se convierte en: ${\displaystyle M_{\infty }\rightarrow \infty }$

${\displaystyle C_{p,\max }=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}}{4\gamma }}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left({\frac {4}{\gamma +1}}\right)}$

Y como , , recuperando el coeficiente de presión de la teoría newtoniana a velocidades muy altas. La teoría newtoniana modificada es sustancialmente más precisa que el modelo newtoniano para calcular la distribución de presión sobre cuerpos romos. ^[5] ${\displaystyle \gamma \rightarrow 1}$ ${\displaystyle C_{p,\max }=2}$

Distribución de presión

Un perfil aerodinámico en un ángulo de ataque determinado tendrá lo que se denomina una distribución de presión. Esta distribución de presión es simplemente la presión en todos los puntos alrededor de un perfil aerodinámico. Normalmente, los gráficos de estas distribuciones se dibujan de forma que los números negativos estén más arriba en el gráfico, ya que el valor de la superficie superior del perfil aerodinámico suele estar más abajo de cero y, por lo tanto, será la línea superior del gráfico. ${\displaystyle C_{p}}$

Relación con los coeficientes aerodinámicos

Los tres coeficientes aerodinámicos son integrales de la curva del coeficiente de presión a lo largo de la cuerda. El coeficiente de sustentación para una sección aerodinámica bidimensional con superficies estrictamente horizontales se puede calcular a partir del coeficiente de distribución de presión por integración o calculando el área entre las líneas de la distribución. Esta expresión no es adecuada para la integración numérica directa utilizando el método de panel de aproximación de sustentación, ya que no tiene en cuenta la dirección de la sustentación inducida por la presión. Esta ecuación es válida solo para un ángulo de ataque cero.

${\displaystyle C_{l}={\frac {1}{x_{TE}-x_{LE}}}\int \limits _{x_{LE}}^{x_{TE}}\left(C_{p_{l}}(x)-C_{p_{u}}(x)\right)dx}$

dónde:

${\displaystyle C_{p_{l}}}$es el coeficiente de presión en la superficie inferior

${\displaystyle C_{p_{u}}}$es el coeficiente de presión en la superficie superior

${\displaystyle x_{LE}}$es la ubicación de vanguardia

${\displaystyle x_{TE}}$¿Es la ubicación del borde de salida?

Cuando la superficie inferior es más alta (más negativa) en la distribución, se considera un área negativa, ya que producirá fuerza hacia abajo en lugar de sustentación. ${\displaystyle C_{p}}$

Véase también

• Coeficiente de sustentación
• Coeficiente de arrastre
• Coeficiente de momento de cabeceo

Referencias

1. LJ Clancy (1975) Aerodinámica , § 3.6, Pitman Publishing Limited, Londres. ISBN  0-273-01120-0
2. Abbott y Von Doenhoff, Teoría de las secciones del ala , ecuación 2.24
3. Anderson, John D. Fundamentos de aerodinámica . 4ª ed. Nueva York: McGraw Hill, 2007. 219.
4. https://thesis.library.caltech.edu/608/1/Scherer_lr_1950.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
5. Anderson, Jr., John D. (2019). Hipersónico y dinámica de gases a alta temperatura . Serie educativa de la AIAA (3.ª ed.). Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. págs. 58-67. ISBN 978-1-62410-514-2.
6. Lees, Lester (1955). "Flujo hipersónico". Quinta Conferencia Aeronáutica Internacional . Los Ángeles: Instituto de Ciencias Aeronáuticas: 241–276. doi :10.2514/2.6897. ISSN  0022-4650.

Lectura adicional

• Abbott, IH y Von Doenhoff, AE (1959) Theory of Wing Sections , Dover Publications, Inc. Nueva York, Libro estándar n.º 486-60586-8
• Anderson, John D (2001) Fundamentos de aerodinámica 3.ª edición , McGraw-Hill. ISBN 0-07-237335-0