SAMV (algoritmo)

Algoritmo de superresolución sin parámetros

SAMV ( varianza mínima asintótica dispersa iterativa ^{[1] [2] ) es un algoritmo} de superresolución sin parámetros para el problema inverso lineal en estimación espectral , estimación de dirección de llegada (DOA) y reconstrucción tomográfica con aplicaciones en procesamiento de señales , imágenes médicas y teledetección . El nombre fue acuñado en 2013 ^[1] para enfatizar su base en el criterio de varianza mínima asintótica (AMV). Es una herramienta poderosa para la recuperación de las características de amplitud y frecuencia de múltiples fuentes altamente correlacionadas en entornos desafiantes (por ejemplo, número limitado de instantáneas y baja relación señal-ruido ). Las aplicaciones incluyen radar de apertura sintética , ^{[2] [3]} tomografía computarizada e imágenes por resonancia magnética (MRI) .

Definición

La formulación del algoritmo SAMV se presenta como un problema inverso en el contexto de la estimación de DOA. Supongamos que una matriz lineal uniforme (ULA) de 1 elemento recibe señales de banda estrecha emitidas desde fuentes ubicadas en las ubicaciones , respectivamente. Los sensores en la ULA acumulan instantáneas durante un tiempo específico. Los vectores de instantáneas dimensionales son ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N}$

donde es la matriz de dirección , contiene las formas de onda de la fuente y es el término de ruido. Suponga que , donde es el delta de Dirac y es igual a 1 solo si y 0 en caso contrario. Suponga también que y son independientes, y que , donde . Sea un vector que contiene las potencias de señal desconocidas y la varianza del ruido, . ${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]}$ ${\displaystyle {\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}}$ ${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle \delta _{n,{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle n={\bar {n}}}$ ${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$ ${\displaystyle {\bf {x}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle {\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})}$ ${\displaystyle {\bf {p}}}$ ${\displaystyle {\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}}$

La matriz de covarianza que contiene toda la información sobre es ${\displaystyle {\bf {y}}(n)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.}$

Esta matriz de covarianza se puede estimar tradicionalmente mediante la matriz de covarianza de muestra donde . Después de aplicar el operador de vectorización a la matriz , el vector obtenido está relacionado linealmente con el parámetro desconocido como ${\displaystyle {\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N}$ ${\displaystyle {\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]}$ ${\displaystyle {\bf {R}}}$ ${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}}$,

donde , , , , y sea donde es el producto de Kronecker. ${\displaystyle {\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]}$ ${\displaystyle {\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]}$ ${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,K}$ ${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})}$ ${\displaystyle \otimes }$

Algoritmo SAMV

Para estimar el parámetro a partir del estadístico , desarrollamos una serie de enfoques SAMV iterativos basados ​​en el criterio de varianza mínima asintótica. A partir de ^[1] , la matriz de covarianza de un estimador consistente arbitrario de basado en el estadístico de segundo orden está limitada por la matriz definida positiva simétrica real ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$ ${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }\geq [{\bf {S}}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},}$

donde . Además, este límite inferior se obtiene mediante la matriz de covarianza de la distribución asintótica de obtenida al minimizar, ${\displaystyle {\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),}$

dónde ${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].}$

Por lo tanto, la estimación de se puede obtener iterativamente. ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

Los valores y que se minimizan se pueden calcular de la siguiente manera. Supongamos que y se han aproximado hasta cierto grado en la iteración th, se pueden refinar en la iteración th mediante, ${\displaystyle \{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i)}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i)}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$

${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},}$

donde la estimación de en la iteración está dada por con . ${\displaystyle {\bf {R}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}}$ ${\displaystyle {\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})}$

Más allá de la precisión de la cuadrícula de escaneo

La resolución de la mayoría de las técnicas de localización de fuentes basadas en detección comprimida está limitada por la finura de la cuadrícula de dirección que cubre el espacio de parámetros de ubicación. ^[4] En el modelo de recuperación de señal dispersa, la escasez de la señal de verdad depende de la distancia entre el elemento adyacente en el diccionario sobrecompleto , por lo tanto, surge la dificultad de elegir el diccionario sobrecompleto óptimo. La complejidad computacional es directamente proporcional a la finura de la cuadrícula de dirección, una cuadrícula altamente densa no es computacionalmente práctica. Para superar esta limitación de resolución impuesta por la cuadrícula, se propone el SAMV-SML sin cuadrícula ( varianza mínima asintótica dispersa iterativa - máxima verosimilitud estocástica ) ^[1] , que refina las estimaciones de ubicación minimizando iterativamente una función de costo de máxima verosimilitud estocástica con respecto a un solo parámetro escalar . ${\displaystyle \mathbf {x} (n)}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}}$ ${\displaystyle \theta _{k}}$

Aplicación a la obtención de imágenes Doppler de rango

Comparación de los resultados de las imágenes Doppler de rango SISO con tres objetivos de 5 dB y seis de 25 dB. (a) verdad fundamental, (b) filtro adaptado (MF), (c) algoritmo IAA, (d) algoritmo SAMV-0. Todos los niveles de potencia están en dB. Los métodos MF e IAA tienen una resolución limitada con respecto al eje Doppler. SAMV-0 ofrece una resolución superior tanto en términos de rango como de Doppler. ^[1]

Una aplicación típica con el algoritmo SAMV en un problema de obtención de imágenes Doppler de rango de radar / sónar SISO . Este problema de obtención de imágenes es una aplicación de instantánea única, y se incluyen algoritmos compatibles con la estimación de instantánea única, es decir, filtro adaptado (MF, similar al periodograma o retroproyección , que a menudo se implementa de manera eficiente como transformada rápida de Fourier (FFT)), IAA, ^[5] y una variante del algoritmo SAMV (SAMV-0). Las condiciones de simulación son idénticas a: ^{[5] Se emplea un código P3} de compresión de pulsos polifásicos de un elemento como pulso transmitido, y se simulan un total de nueve objetivos móviles. De todos los objetivos móviles, tres son de potencia de dB y los seis restantes son de potencia de dB. Se supone que las señales recibidas están contaminadas con ruido gaussiano blanco uniforme de potencia de dB. ${\displaystyle 30}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle 0}$

El resultado de la detección del filtro adaptado sufre graves efectos de smearing y de fuga tanto en el dominio Doppler como en el de rango, por lo que es imposible distinguir los objetivos de dB. Por el contrario, el algoritmo IAA ofrece resultados de imagen mejorados con estimaciones de rango de objetivo observables y frecuencias Doppler. El enfoque SAMV-0 proporciona un resultado muy disperso y elimina por completo los efectos de smearing, pero no detecta los objetivos de dB débiles. ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 5}$

Implementación de código abierto

Una implementación MATLAB de código abierto del algoritmo SAMV se puede descargar aquí.

Véase también

• Portal de software libre y de código abierto
• Portal de la ciencia

• Procesamiento de matrices  : área de investigación en procesamiento de señales
• Filtro adaptado  : filtros utilizados en el procesamiento de señales que son óptimos en algún sentido.
• Periodograma  : estimación de la densidad espectral de una señal
• Retroproyección filtrada  – Transformada integral (transformada de Radon)
• Clasificación de múltiples señales  : algoritmo utilizado para la estimación de frecuencia y la radiogoniometría (MUSIC), un método popular de superresolución paramétrica
• Radar de pulso Doppler  : tipo de sistema de radar
• Imágenes de súper resolución  : cualquier técnica para mejorar la resolución de un sistema de imágenes más allá de los límites convencionales.
• Detección comprimida  : técnica de procesamiento de señales
• Problema inverso  – Proceso de calcular los factores causales que produjeron un conjunto de observaciones.
• Reconstrucción tomográfica  : estime las propiedades de los objetos a partir de un número finito de proyecciones

Referencias

1. Abeida, Habti; Zhang, Qilin; Li, Jian ; Merabtine, Nadjim (2013). "Enfoques iterativos dispersos asintóticos basados ​​en varianza mínima para procesamiento de matrices" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 61 (4): 933–944. arXiv : 1802.03070 . Bibcode :2013ITSP...61..933A. doi :10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN  1053-587X. S2CID  16276001.
2. Glentis, George-Othon; Zhao, Kexin; Jakobsson, Andreas; Abeida, Habti; Li, Jian (2014). "Obtención de imágenes SAR mediante implementaciones eficientes de enfoques de aprendizaje automático disperso" (PDF) . Procesamiento de señales . 95 : 15–26. doi :10.1016/j.sigpro.2013.08.003. S2CID  41743051.
3. Yang, Xuemin; Li, Guangjun; Zheng, Zhi (3 de febrero de 2015). "Estimación DOA de señal no circular basada en representación dispersa". Comunicaciones personales inalámbricas . 82 (4): 2363–2375. doi :10.1007/s11277-015-2352-z. S2CID  33008200.
4. Malioutov, D.; Cetin, M.; Willsky, AS (2005). "Una perspectiva de reconstrucción de señales dispersas para la localización de fuentes con conjuntos de sensores". IEEE Transactions on Signal Processing . 53 (8): 3010–3022. Bibcode :2005ITSP...53.3010M. doi :10.1109/tsp.2005.850882. hdl : 1721.1/87445 . S2CID  6876056.
5. Yardibi, Tarik; Li, Jian ; Stoica, Petre; Xue, Ming; Baggeroer, Arthur B. (2010). "Localización y detección de fuentes: un enfoque adaptativo iterativo no paramétrico basado en mínimos cuadrados ponderados". IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . 46 (1): 425–443. Bibcode :2010ITAES..46..425Y. doi :10.1109/taes.2010.5417172. hdl : 1721.1/59588 . S2CID  18834345.