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Libro de Lemas

La primera página del Libro de los Lemas como aparece en Las obras de Arquímedes (1897).

El Libro de los Lemas o Libro de las Asunciones (en árabe Maʾkhūdhāt Mansūba ilā Arshimīdis ) es un libro atribuido a Arquímedes por Thābit ibn Qurra , aunque la autoría del libro es cuestionable. Consta de quince proposiciones ( lemas ) sobre círculos . [1]

Historia

Traducciones

El Libro de los Lemas fue introducido por primera vez en árabe por Thābit ibn Qurra, quien atribuyó la obra a Arquímedes. Una traducción del árabe al latín realizada por John Greaves y revisada por Samuel Foster (c. 1650) fue publicada en 1659 con el título Lemmata Archimedis. Otra traducción latina realizada por Abraham Ecchellensis y editada por Giovanni A. Borelli fue publicada en 1661 con el nombre de Liber Assumptorum . [2] TL Heath tradujo la obra latina de Heiburg al inglés en su The Works of Archimedes . [3] [4] Una copia manuscrita de la traducción árabe de Thābit ibn Qurra descubierta más recientemente fue traducida al inglés por Emre Coşkun en 2018. [5]

Paternidad literaria

La autoría original del Libro de los Lemas ha sido puesta en duda porque en la proposición cuatro, el libro se refiere a Arquímedes en tercera persona ; sin embargo, se ha sugerido que pudo haber sido añadida por el traductor. [6] Otra posibilidad es que el Libro de los Lemas pueda ser una colección de proposiciones de Arquímedes recopiladas posteriormente por un escritor griego. [1]

Nuevas figuras geométricas

El Libro de los Lemas introduce varias figuras geométricas nuevas .

Arbelos

Los arbelos son la región sombreada (gris).

Arquímedes introdujo por primera vez el arbelos (cuchillo de zapatero) en la cuarta proposición de su libro:

Si AB es el diámetro de un semicírculo y N un punto cualquiera sobre AB, y si se describen semicírculos dentro del primer semicírculo y tienen como diámetros AN, BN respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "lo que Arquímedes llamó αρβηλος"; y su área es igual al círculo sobre PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P. [1]

La figura se utiliza en las proposiciones cuatro a ocho. En la proposición cinco, Arquímedes introduce los círculos gemelos de Arquímedes , y en la proposición ocho, hace uso de lo que sería la cadena de Pappus , introducida formalmente por Pappus de Alejandría .

Salinón

El salinón es la región sombreada en azul.

Arquímedes introdujo por primera vez el salinón ( salero ) en la proposición catorce de su libro:

Sea ACB un semicírculo sobre AB como diámetro, y sean AD, BE longitudes iguales medidas a lo largo de AB desde A, B respectivamente. Sobre AD, BE como diámetros se describen semicírculos en el lado hacia C, y sobre DE como diámetro un semicírculo en el lado opuesto. Sea la perpendicular a AB a través de O, el centro del primer semicírculo, que se encuentra con los semicírculos opuestos en C, F respectivamente. Entonces el área de la figura limitada por las circunferencias de todos los semicírculos será igual al área del círculo sobre CF como diámetro. [1]

Arquímedes demostró que el salinón y el círculo son iguales en área.

Proposiciones

  1. Si dos círculos se tocan en A, y si CD, EF son diámetros paralelos en ellos, ADF es una línea recta.
  2. Sea AB el diámetro de un semicírculo, y las tangentes a él en B y en cualquier otro punto D sobre él se cortan en T. Si ahora DE se traza perpendicular a AB, y si AT, DE se cortan en F, entonces DF = FE.
  3. Sea P un punto cualquiera de un segmento de círculo cuya base es AB, y sea PN perpendicular a AB. Tómese D sobre AB de modo que AN = ND. Si ahora PQ es un arco igual al arco PA, y BQ se unen, entonces BQ, BD serán iguales.
  4. Si AB es el diámetro de un semicírculo y N un punto cualquiera sobre AB, y si se describen semicírculos dentro del primer semicírculo y tienen como diámetros AN, BN respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "lo que Arquímedes llamó αρβηλος"; y su área es igual al círculo sobre PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P.
  5. Sea AB el diámetro de un semicírculo, C cualquier punto de AB y CD perpendicular a él, y descríbanse semicírculos dentro del primer semicírculo y que tengan como diámetros AC y CB. Entonces, si se dibujan dos círculos que toquen CD por lados diferentes y cada uno toque dos de los semicírculos, los círculos así dibujados serán iguales.
  6. Sea AB, el diámetro de un semicírculo, dividido en C de modo que AC = 3/2 × CB [o en cualquier proporción]. Describa los semicírculos dentro del primer semicírculo y en AC, CB como diámetros, y suponga que se dibuja un círculo que toca los tres semicírculos. Si GH es el diámetro de este círculo, encuentre la relación entre GH y AB.
  7. Si se circunscriben círculos a un cuadrado y se inscriben en él, el círculo circunscrito es el doble del cuadrado inscrito.
  8. Si AB es cualquier cuerda de un círculo cuyo centro es O, y si AB se prolonga hasta C de modo que BC sea igual al radio; si además CO se encuentra con el círculo en D y se prolonga hasta encontrarse con el círculo por segunda vez en E, el arco AE será igual a tres veces el arco BD.
  9. Si en un círculo dos cuerdas AB, CD que no pasan por el centro se cortan en ángulo recto, entonces (arco AD) + (arco CB) = (arco AC) + (arco DB).
  10. Supóngase que TA, TB son dos tangentes a un círculo, mientras que TC lo corta. Sea BD la cuerda que pasa por B paralela a TC, y sea AD la que corta a TC en E. Entonces, si se traza EH perpendicular a BD, lo bisecará en H.
  11. Si dos cuerdas AB, CD en un círculo se cortan en ángulo recto en un punto O, que no es el centro, entonces AO 2 + BO 2 + CO 2 + DO 2 = (diámetro) 2 .
  12. Si AB es el diámetro de un semicírculo, y TP, TQ las tangentes a él desde cualquier punto T, y si AQ, BP se unen encontrándose en R, entonces TR es perpendicular a AB.
  13. Si un diámetro AB de un círculo se encuentra con cualquier cuerda CD, no un diámetro, en E, y si AM, BN se trazan perpendiculares a CD, entonces CN = DM.
  14. Sea ACB un semicírculo sobre AB como diámetro, y sean AD, BE longitudes iguales medidas a lo largo de AB desde A, B respectivamente. Sobre AD, BE como diámetros se describen semicírculos en el lado hacia C, y sobre DE como diámetro un semicírculo en el lado opuesto. Sea la perpendicular a AB a través de O, el centro del primer semicírculo, que se encuentra con los semicírculos opuestos en C, F respectivamente. Entonces el área de la figura limitada por las circunferencias de todos los semicírculos será igual al área del círculo sobre CF como diámetro.
  15. Sea AB el diámetro de un círculo, AC el lado de un pentágono regular inscrito, D el punto medio del arco AC. Unir CD y prolongarlo hasta que se encuentre con BA, producido en E; unir AC, DB que se encuentra en F, y trazar FM perpendicular a AB. Entonces EM = (radio del círculo). [1]

Referencias

  1. ^ abcde Heath, Thomas Little (1897), The Works of Archimedes, Cambridge University: University Press, pp.  xxxii , 301–318 , consultado el 15 de junio de 2008
  2. ^ "De Euclides a Newton". Universidad de Brown . Archivado desde el original el 24 de febrero de 2008. Consultado el 24 de junio de 2008 .
  3. ^ Aaboe, Asger (1997), Episodios de la historia temprana de las matemáticas, Washington, DC: Math. Assoc. of America, págs. 77, 85, ISBN 0-88385-613-1, consultado el 19 de junio de 2008
  4. ^ Glick, Thomas F.; Livesey, Steven John; Wallis, Faith (2005), Ciencia, tecnología y medicina medieval: una enciclopedia, Nueva York: Routledge , pág. 41, ISBN 0-415-96930-1, consultado el 19 de junio de 2008
  5. ^ Coşkun, Emre (2018). "Traducción de Thābit ibn Qurra del Maʾkhūdhāt Mansūba ilā Arshimīdis" (PDF) . SCIAMVS: Fuentes y comentarios en ciencias exactas . 19 : 53–102.
  6. ^ Bogomolny, A. "Archimedes' Book of Lemmas". Cut-the-Knot . Consultado el 19 de junio de 2008 .