Teorema de Carnot (termodinámica)

Máxima eficiencia alcanzable de cualquier motor térmico

El teorema de Carnot , también llamado regla de Carnot , es un principio de la termodinámica desarrollado por Nicolas Léonard Sadi Carnot en 1824 que especifica los límites de la máxima eficiencia que puede obtener cualquier motor térmico .

El teorema de Carnot establece que todas las máquinas térmicas que funcionan entre los mismos dos depósitos térmicos o de calor no pueden tener eficiencias mayores que una máquina térmica reversible que funciona entre los mismos depósitos. Un corolario de este teorema es que toda máquina térmica reversible que funciona entre un par de depósitos de calor es igualmente eficiente, independientemente de la sustancia de trabajo empleada o de los detalles de la operación. Dado que una máquina térmica de Carnot también es una máquina reversible, la eficiencia de todas las máquinas térmicas reversibles se determina como la eficiencia de la máquina térmica de Carnot que depende únicamente de las temperaturas de sus depósitos frío y caliente.

La eficiencia máxima (es decir, la eficiencia del motor térmico de Carnot) de un motor térmico que funciona entre depósitos calientes y fríos, denotados como H y C respectivamente, es la relación entre la diferencia de temperatura entre los depósitos y la temperatura del depósito caliente, expresada en la ecuación

${\displaystyle \eta _{\text{max}}={\frac {T_{\mathrm {H} }-T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}},}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle T_{\mathrm {H} }}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle T_{\mathrm {C} }}$ son las temperaturas absolutas de los depósitos caliente y frío, respectivamente, y la eficiencia ⁠ ⁠ ${\displaystyle \eta }$ es la relación entre el trabajo realizado por el motor (hacia el entorno ) y el calor extraído del depósito caliente (hacia el motor).

⁠ ⁠ ${\displaystyle \eta _{\text{max}}}$ es mayor que cero si y solo si hay una diferencia de temperatura entre los dos depósitos térmicos. Dado que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \eta _{\text{max}}}$ es el límite superior de todas las eficiencias reversibles e irreversibles de los motores térmicos, se concluye que se puede producir trabajo a partir de un motor térmico si y solo si hay una diferencia de temperatura entre dos depósitos térmicos que se conectan al motor.

El teorema de Carnot es una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica . Históricamente, se basó en la teoría calórica contemporánea y precedió al establecimiento de la segunda ley. ^[1]

Prueba

Una situación imposible: un motor térmico no puede hacer funcionar un motor térmico reversible menos eficiente sin violar la segunda ley de la termodinámica. Las cantidades en esta figura son los valores absolutos de las transferencias de energía (calor y trabajo).

La prueba del teorema de Carnot es una prueba por contradicción o reductio ad absurdum (un método para probar una afirmación asumiendo su falsedad y derivando lógicamente una afirmación falsa o contradictoria de esta suposición), basada en una situación como la de la figura de la derecha, donde dos máquinas térmicas con diferentes eficiencias están operando entre dos depósitos térmicos a diferentes temperaturas. El depósito relativamente más caliente se llama depósito caliente y el otro depósito se llama depósito frío. Una máquina térmica (no necesariamente reversible ) con una mayor eficiencia está impulsando una máquina térmica reversible con una menor eficiencia , lo que hace que esta última actúe como una bomba de calor . El requisito de que la máquina sea reversible es necesario para explicar el trabajo y el calor asociados con ella utilizando su eficiencia conocida. Sin embargo, dado que , el flujo neto de calor sería hacia atrás, es decir, hacia el depósito caliente: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \eta _{_{L}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}>\eta _{_{L}}}$

${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}=Q<{\frac {\eta _{_{M}}}{\eta _{_{L}}}}Q=Q_{\text{h}}^{\text{in}},}$

donde representa calor, denota entrada a un objeto, para salida de un objeto, y para el depósito térmico caliente. Si el calor fluye desde el depósito caliente entonces tiene el signo de + mientras que si fluye desde el depósito caliente entonces tiene el signo de -. Esta expresión se puede derivar fácilmente utilizando la definición de la eficiencia de un motor térmico, , donde el trabajo y el calor en esta expresión son cantidades netas por ciclo del motor, y la conservación de energía para cada motor como se muestra a continuación. Se emplea la convención de signos de trabajo , con la que se utiliza el signo de + para el trabajo realizado por un motor a su entorno. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\text{in}}}$ ${\displaystyle {\text{out}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$ ${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$ ${\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$ ${\displaystyle W}$

La expresión anterior significa que el calor que entra en el depósito caliente desde el par de motores (que se puede considerar como un solo motor) es mayor que el calor que entra en el par de motores desde el depósito caliente (es decir, el depósito caliente obtiene energía continuamente). Un motor térmico reversible con una eficiencia baja entrega más calor (energía) al depósito caliente para una cantidad dada de trabajo (energía) a este motor cuando se acciona como una bomba de calor. Todo esto significa que el calor puede transferirse de lugares fríos a lugares calientes sin trabajo externo, y tal transferencia de calor es imposible por la segunda ley de la termodinámica .

• Puede parecer extraño que se utilice una bomba de calor reversible hipotética con una baja eficiencia para violar la segunda ley de la termodinámica, pero la cifra de mérito para las unidades de refrigeración no es la eficiencia, sino el coeficiente de rendimiento (COP), ^[2] que es donde este tiene el signo opuesto al anterior (+ para el trabajo realizado al motor). ${\displaystyle W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$ ${\displaystyle Q_{\text{c}}^{\text{out}}/W}$ ${\displaystyle W}$

Encontremos los valores de trabajo y calor representados en la figura de la derecha en la que un motor térmico reversible con una menor eficiencia es impulsado como bomba de calor por un motor térmico con una mayor eficiencia . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \eta _{_{L}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}}$

La definición de la eficiencia es para cada motor y se pueden realizar las siguientes expresiones: ${\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$

${\displaystyle \eta _{M}={\frac {W_{M}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},M}}}={\frac {\eta _{M}Q}{Q}}=\eta _{M},}$

${\displaystyle \eta _{L}={\frac {W_{L}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}}}={\frac {-\eta _{M}Q}{-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}}=\eta _{L}.}$

El denominador de la segunda expresión, , está hecho para que la expresión sea consistente y ayuda a completar los valores de trabajo y calor para el motor . ${\displaystyle Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}=-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}$ ${\displaystyle L}$

Para cada motor, el valor absoluto de la energía que entra en el motor, , debe ser igual al valor absoluto de la energía que sale del motor, . De lo contrario, la energía se acumula continuamente en un motor o se viola la conservación de la energía al extraer más energía de un motor que la energía de entrada al motor: ${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{in}}}$ ${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{out}}}$

${\displaystyle E_{\text{M,abs}}^{\text{in}}=Q=(1-\eta _{M})Q+\eta _{M}Q=E_{\text{M,abs}}^{\text{out}},}$

${\displaystyle E_{\text{L,abs}}^{\text{in}}=\eta _{M}Q+\eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=E_{\text{L,abs}}^{\text{out}}.}$

En la segunda expresión, se utiliza para encontrar el término que describe la cantidad de calor tomada del depósito frío, completando las expresiones de valor absoluto de trabajo y calor en la figura de la derecha. ${\textstyle \left|Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}\right|=\left|-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q\right|}$ ${\textstyle \eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)}$

Una vez establecido que los valores de las figuras correctas son correctos, el teorema de Carnot se puede probar para los motores térmicos irreversibles y reversibles como se muestra a continuación. ^[3]

Motores reversibles

Para ver que cada motor reversible que opera entre depósitos a temperaturas y debe tener la misma eficiencia, supongamos que dos motores térmicos reversibles tienen diferentes eficiencias y dejemos que el motor relativamente más eficiente impulse al motor relativamente menos eficiente como una bomba de calor. Como muestra la figura de la derecha, esto hará que el calor fluya del depósito frío al caliente sin trabajo externo, lo que viola la segunda ley de la termodinámica. Por lo tanto, ambos motores térmicos (reversibles) tienen la misma eficiencia y concluimos que: ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Todos los motores térmicos reversibles que funcionan entre los mismos dos depósitos térmicos ( de calor ) tienen la misma eficiencia.

La eficiencia del motor térmico reversible se puede determinar analizando un motor térmico de Carnot como uno de los motores térmicos reversibles.

Esta conclusión es un resultado importante porque ayuda a establecer el teorema de Clausius , que implica que el cambio de entropía es único para todos los procesos reversibles: ^[4] ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta S=\int _{a}^{b}{\frac {dQ_{\text{rev}}}{T}}}$

ya que el cambio de entropía, que se produce durante una transición desde un estado de equilibrio termodinámico a un estado en un espacio VT (volumen-temperatura), es el mismo en todos los caminos de proceso reversibles entre estos dos estados. Si esta integral no fuera independiente del camino, entonces la entropía no sería una variable de estado . ^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Motores irreversibles

Consideremos dos motores, y , que son irreversibles y reversibles respectivamente. Construimos la máquina que se muestra en la figura de la derecha, con accionamiento como una bomba de calor. Entonces, si es más eficiente que , la máquina violará la segunda ley de la termodinámica. Dado que un motor térmico de Carnot es un motor térmico reversible, y todos los motores térmicos reversibles funcionan con la misma eficiencia entre los mismos depósitos, tenemos la primera parte del teorema de Carnot: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Ningún motor térmico irreversible es más eficiente que un motor térmico de Carnot que funciona entre los mismos dos depósitos térmicos.

Definición de temperatura termodinámica

La eficiencia de un motor térmico es el trabajo realizado por el motor dividido por el calor introducido al motor por ciclo del motor o

donde es el trabajo realizado por el motor, es el calor que llega al depósito frío desde el motor y es el calor que llega al motor desde el depósito caliente, por ciclo. Por lo tanto, la eficiencia depende únicamente de . ^[6] ${\displaystyle w_{\text{cy}}}$ ${\displaystyle q_{C}}$ ${\displaystyle q_{H}}$ ${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}}$

Dado que todos los motores térmicos reversibles que funcionan entre temperaturas y deben tener la misma eficiencia, la eficiencia de un motor térmico reversible es una función únicamente de las dos temperaturas del depósito: ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Además, un motor térmico reversible que funcione entre las temperaturas y debe tener la misma eficiencia que uno que consta de dos ciclos, uno entre y otra temperatura (intermedia) , y el segundo entre y ( ). Esto solo puede ser el caso si ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}<T_{2}<T_{3}}$

Especializándonos en el caso de que se trate de una temperatura de referencia fija: la temperatura del punto triple del agua es 273,16. (Por supuesto, se podría utilizar cualquier temperatura de referencia y cualquier valor numérico positivo; la elección aquí corresponde a la escala Kelvin ). Entonces, para cualquier y , ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {f(T_{1},T_{3})}{f(T_{1},T_{2})}}={\frac {273.16\cdot f(T_{1},T_{3})}{273.16\cdot f(T_{1},T_{2})}}.}$

Por lo tanto, si la temperatura termodinámica se define por

${\displaystyle T'=273.16\cdot f(T_{1},T),}$

Entonces la función vista como una función de la temperatura termodinámica, es

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {T_{3}'}{T_{2}'}}.}$

De ello se deduce inmediatamente que

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación anterior obtenemos una relación para la eficiencia en términos de temperaturas termodinámicas: ${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})}$

Aplicabilidad a las pilas de combustible

Dado que las pilas de combustible pueden generar energía útil cuando todos los componentes del sistema están a la misma temperatura ( ), claramente no están limitadas por el teorema de Carnot, que establece que no se puede generar energía cuando . Esto se debe a que el teorema de Carnot se aplica a los motores que convierten energía térmica en trabajo, mientras que las pilas de combustible convierten energía química en trabajo. ^[7] Sin embargo, la segunda ley de la termodinámica aún establece restricciones a la conversión de energía de las pilas de combustible. ^[8] ${\displaystyle T=T_{H}=T_{C}}$ ${\displaystyle T_{H}=T_{C}}$

Una batería de Carnot es un tipo de sistema de almacenamiento de energía que almacena electricidad en un depósito de energía térmica y convierte el calor almacenado nuevamente en electricidad a través de ciclos termodinámicos. ^[9]

Véase también

• Eficiencia de Chambadal-Novikov
• Límites de eficiencia de calefacción y refrigeración

Referencias

1. John Murrell (2009). "Una breve historia de la termodinámica" . Consultado el 2 de mayo de 2014 .Copia de archivo en Internet Archive  PDF (142 Archivado el 22 de noviembre de 2009 en Wayback Machine KB)
2. Tipler, Paul; Mosca, G. (2008). "19.2, 19.7". Física para científicos e ingenieros (6.ª ed.). Freeman. ISBN 9781429201322.
3. "Lección 10: Teorema de Carnot" (PDF) . 7 de febrero de 2005 . Consultado el 5 de octubre de 2010 .
4. Ohanian, Hans (1994). Principios de física . WW Norton and Co., pág. 438. ISBN 039395773X.
5. http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/ThermLaw2/ThermalProcesses.html Archivado el 28 de diciembre de 2013 en Wayback Machine y http://www.itp.phys.ethz.ch/education/hs10/stat/slides/Laws_TD.pdf Archivado el 13 de diciembre de 2013 en Wayback Machine . Ambos consultados el 13 de diciembre de 2013.
6. El signo de q _C > 0 para el calor residual perdido por el sistema viola la convención de signos del calor .
7. "Pilas de combustible frente a eficiencia de Carnot" . Consultado el 20 de febrero de 2011 .
8. Jacob, Kallarackel T; Jain, Saurabh (julio de 2005). Redefinición de la eficiencia de las pilas de combustible: reevaluación del límite de Carnot. T1 - Noveno Simposio Internacional sobre Pilas de Combustible de Óxido Sólido (SOFC IX). EE. UU. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. Consultado el 23 de abril de 2013 .
9. Dumont, Olivier; Frate, Guido Francesco; Pillai, Aditya; Lecompte, Steven; De paepe, Michel; Lemort, Vincent (2020). "Tecnología de baterías de Carnot: una revisión de vanguardia". Revista de almacenamiento de energía . 32 : 101756. doi :10.1016/j.est.2020.101756. hdl : 2268/251473 . ISSN  2352-152X. S2CID  225019981.