Ecuación integral del campo eléctrico

La ecuación integral del campo eléctrico es una relación que permite el cálculo de un campo eléctrico ( E ) generado por una distribución de corriente eléctrica ( J ).

Derivación

Cuando se consideran todas las cantidades en el dominio de la frecuencia, se supone una dependencia del tiempo que se suprime en todas partes. ${\displaystyle e^{jwt}}$

Comenzando con las ecuaciones de Maxwell que relacionan el campo eléctrico y magnético , y suponiendo un medio lineal, homogéneo con permeabilidad y permitividad : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-j\omega \mu \mathbf {H} \\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} &=j\omega \varepsilon \mathbf {E} +\mathbf {J} \end{aligned}}}$$

Siguiendo la tercera ecuación que involucra la divergencia de H por cálculo vectorial podemos escribir cualquier vector sin divergencia como el rotacional de otro vector, por lo tanto donde A se llama potencial vectorial magnético . Sustituyendo esto en lo anterior obtenemos y cualquier vector sin rotacional puede escribirse como el gradiente de un escalar, por lo tanto donde es el potencial escalar eléctrico . Estas relaciones ahora nos permiten escribir donde , que puede reescribirse por identidad vectorial como $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0\,}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {H} }$$ $${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {E} +j\omega \mu \mathbf {A} )=0}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} +j\omega \mu \mathbf {A} =-\nabla \Phi }$$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {A} -k^{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} -j\omega \varepsilon \nabla \Phi }$$ ${\displaystyle k=\omega {\sqrt {\mu \varepsilon }}}$ $${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} -k^{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} -j\omega \varepsilon \nabla \Phi }$$

Como solo hemos especificado el rotacional de A , tenemos la libertad de definir la divergencia y elegir lo siguiente: que se denomina condición de calibre de Lorenz . La expresión anterior para A ahora se reduce a que es la ecuación vectorial de Helmholtz . La solución de esta ecuación para A es donde es la función de Green homogénea tridimensional dada por $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =-j\omega \varepsilon \Phi \,}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} =-\mathbf {J} \,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int \mathbf {J} (\mathbf {r} ^{\prime })\ G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\,d\mathbf {r} ^{\prime }}$$ ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })}$ $${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {e^{-jk\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}}$$

Ahora podemos escribir lo que se llama ecuación integral del campo eléctrico (EFIE), relacionando el campo eléctrico E con el potencial vectorial A $${\displaystyle \mathbf {E} =-j\omega \mu \mathbf {A} +{\frac {1}{j\omega \varepsilon }}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )\,}$$

Podemos representar además la EFIE en forma diádica como donde aquí está la función de Green homogénea diádica dada por $${\displaystyle \mathbf {E} =-j\omega \mu \int _{V}d\mathbf {r} ^{\prime }\mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ^{\prime })\,}$$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\,}$ $${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {I} +{\frac {\nabla \nabla }{k^{2}}}\right]G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })}$$

Interpretación

La EFIE describe un campo radiado E dado un conjunto de fuentes J y, como tal, es la ecuación fundamental utilizada en el análisis y diseño de antenas . Es una relación muy general que se puede utilizar para calcular el campo radiado de cualquier tipo de antena una vez que se conoce la distribución de corriente en ella. El aspecto más importante de la EFIE es que nos permite resolver el problema de radiación/dispersión en una región no acotada , o cuya frontera se encuentra en el infinito . Para superficies cerradas, es posible utilizar la ecuación integral del campo magnético o la ecuación integral del campo combinado, que dan como resultado un conjunto de ecuaciones con un número de condición mejorado en comparación con la EFIE. Sin embargo, la MFIE y la CFIE aún pueden contener resonancias.

En los problemas de dispersión, es deseable determinar un campo disperso desconocido que se debe a un campo incidente conocido . Desafortunadamente, la EFIE relaciona el campo disperso con J , no con el campo incidente, por lo que no sabemos qué es J. Este tipo de problema se puede resolver imponiendo las condiciones de contorno sobre el campo incidente y disperso, lo que permite escribir la EFIE en términos de y J solamente. Una vez hecho esto, la ecuación integral se puede resolver mediante una técnica numérica apropiada para ecuaciones integrales, como el método de momentos . ${\displaystyle E_{s}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$

Notas

Según el teorema de Helmholtz, un campo vectorial se describe completamente por su divergencia y su rotacional. Como la divergencia no estaba definida, se justifica elegir la condición de calibre de Lorenz mencionada anteriormente, siempre que utilicemos de manera consistente esta definición de la divergencia de A en todos los análisis posteriores. Sin embargo, otras opciones para son igualmente válidas y conducen a otras ecuaciones, que describen todas los mismos fenómenos, y las soluciones de las ecuaciones para cualquier opción de conducen a los mismos campos electromagnéticos, y las mismas predicciones físicas sobre los campos y las cargas se aceleran con ellas. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$

Es natural pensar que si una cantidad exhibe este grado de libertad en su elección, entonces no debería interpretarse como una cantidad física real. Después de todo, si podemos elegir libremente ser cualquier cosa, entonces no es único. Uno puede preguntar: ¿cuál es el valor "verdadero" de medido en un experimento? Si no es único, entonces la única respuesta lógica debe ser que nunca podemos medir el valor de . Sobre esta base, a menudo se afirma que no es una cantidad física real y se cree que los campos y son las verdaderas cantidades físicas. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Sin embargo, hay al menos un experimento en el que los valores de y son ambos cero en la ubicación de una partícula cargada, pero aun así se ve afectado por la presencia de un potencial magnético vectorial local; véase el efecto Aharonov-Bohm para más detalles. Sin embargo, incluso en el experimento Aharonov-Bohm, la divergencia nunca entra en los cálculos; solo a lo largo de la trayectoria de la partícula determina el efecto medible. ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$

Referencias

• Gibson, Walton C. El método de momentos en electromagnetismo . Chapman & Hall/CRC, 2008. ISBN  978-1-4200-6145-1
• Harrington, Roger F. Campos electromagnéticos armónicos en el tiempo . McGraw-Hill, Inc., 1961. ISBN 0-07-026745-6 . 
• Balanis, Constantine A. Ingeniería electromagnética avanzada . Wiley, 1989. ISBN 0-471-62194-3 . 
• Chew, Weng C. Ondas y campos en medios no homogéneos . IEEE Press, 1995. ISBN 0-7803-4749-8 . 
• Rao, Wilton, Glisson. Dispersión electromagnética por superficies de forma arbitraria . IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. AP-30, n.º 3, mayo de 1982. doi:10.1109/TAP.1982.1142818