Ecuación de crecimiento de grietas

Figura 1: Gráfico típico de la tasa de crecimiento de grietas versus el rango de intensidad de tensión. La ecuación de París-Erdogan se ajusta a la región lineal central del Régimen B.

Se utiliza una ecuación de crecimiento de grietas para calcular el tamaño de una grieta por fatiga que crece debido a cargas cíclicas. El crecimiento de una grieta por fatiga puede provocar fallas catastróficas, particularmente en el caso de aeronaves. Cuando muchas grietas por fatiga en crecimiento interactúan entre sí, se conoce como daño por fatiga generalizado . Se puede utilizar una ecuación de crecimiento de grietas para garantizar la seguridad, tanto en la fase de diseño como durante la operación, prediciendo el tamaño de las grietas. En estructuras críticas, las cargas se pueden registrar y utilizar para predecir el tamaño de las grietas para garantizar que se realice el mantenimiento o el retiro antes de que falle alguna de las grietas. Los factores de seguridad se utilizan para reducir la vida de fatiga prevista a una vida de fatiga de servicio debido a la sensibilidad de la vida de fatiga al tamaño y la forma de los defectos que inician grietas y la variabilidad entre la carga supuesta y la carga real experimentada por un componente.

La vida a fatiga se puede dividir en un período de iniciación y un período de crecimiento de la grieta. ^[1] Las ecuaciones de crecimiento de grietas se utilizan para predecir el tamaño de la grieta a partir de un defecto inicial determinado y generalmente se basan en datos experimentales obtenidos de pruebas de fatiga de amplitud constante .

Una de las primeras ecuaciones de crecimiento de grietas basada en el rango del factor de intensidad de tensión de un ciclo de carga ( ) es la ecuación de París-Erdogan ^[2] ${\displaystyle \Delta K}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K)^{m}}$

donde es la longitud de la grieta y es el crecimiento de la grieta por fatiga para un solo ciclo de carga . Se han desarrollado una variedad de ecuaciones de crecimiento de grietas similares a la ecuación de París-Erdogan para incluir factores que afectan la tasa de crecimiento de grietas, como la relación de tensión, las sobrecargas y los efectos del historial de carga. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\rm {d}}a/{\rm {d}}N}$ ${\displaystyle N}$

El rango de intensidad de tensión se puede calcular a partir de la intensidad de tensión máxima y mínima para un ciclo.

${\displaystyle \Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}}$

Se utiliza un factor de geometría para relacionar la tensión del campo lejano con la intensidad de la tensión de la punta de la grieta usando ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}}$.

Existen referencias estándar que contienen los factores de geometría para muchas configuraciones diferentes. ^{[3] [4] [5]}

Historia de las ecuaciones de propagación de grietas.

A lo largo de los años se han propuesto muchas ecuaciones de propagación de grietas para mejorar la precisión de la predicción e incorporar una variedad de efectos. Los trabajos de Head, ^[6] Frost y Dugdale, ^[7] McEvily e Illg, ^[8] y Liu ^[9] sobre el comportamiento de crecimiento de grietas por fatiga sentaron las bases de este tema. La forma general de estas ecuaciones de propagación de grietas se puede expresar como

${\displaystyle {da \over dN}=f(\Delta \sigma ,a,C_{i}),}$

donde, la longitud de la grieta se denota por , el número de ciclos de carga aplicados está dado por , el rango de tensión por y los parámetros del material por . Para configuraciones simétricas, la longitud de la grieta desde el eje de simetría se define como y es la mitad de la longitud total de la grieta . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta \sigma }$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$

Las ecuaciones de crecimiento de grietas de la forma no son una verdadera ecuación diferencial ya que no modelan el proceso de crecimiento de grietas de manera continua durante todo el ciclo de carga. Como tal, se requieren algoritmos de identificación o recuento de ciclos separados, como el algoritmo de recuento de flujo de lluvia comúnmente utilizado , para identificar los valores máximo y mínimo en un ciclo. Aunque se desarrolló para los métodos de tensión/deformación-vida, el recuento de flujo de lluvia también ha demostrado funcionar para el crecimiento de grietas. ^[10] También se han desarrollado un pequeño número de ecuaciones derivadas verdaderas de crecimiento de grietas por fatiga. ^{[11] [12]} ${\displaystyle da/dN}$

Factores que afectan la tasa de crecimiento de las grietas.

Regímenes

La Figura 1 muestra un gráfico típico de la tasa de crecimiento de la grieta en función de la intensidad de la tensión alterna o la fuerza impulsora de la punta de la grieta representada en escalas logarítmicas. El comportamiento de la tasa de crecimiento de las grietas con respecto a la intensidad de la tensión alterna se puede explicar en diferentes regímenes (ver figura 1) de la siguiente manera ${\displaystyle \Delta K}$

Régimen A: A tasas de crecimiento bajas, las variaciones en la microestructura , la tensión media (o relación de carga) y el medio ambiente tienen efectos significativos en las tasas de propagación de grietas. Se observa que en relaciones de carga bajas la tasa de crecimiento es más sensible a la microestructura y en materiales de baja resistencia es más sensible a la relación de carga. ^[13]

Régimen B: En el rango medio de tasas de crecimiento, las variaciones en la microestructura, la tensión media (o relación de carga), el espesor y el entorno no tienen efectos significativos sobre las tasas de propagación de grietas.

Régimen C: A altas tasas de crecimiento, la propagación de grietas es muy sensible a las variaciones en la microestructura, la tensión media (o relación de carga) y el espesor. Los efectos ambientales tienen relativamente menos influencia.

Efecto de la relación de estrés

Los ciclos con una relación de tensión más alta tienen una mayor tasa de crecimiento de grietas. ^[14] Este efecto a menudo se explica utilizando el concepto de cierre de grietas , que describe la observación de que las caras de las grietas pueden permanecer en contacto entre sí con cargas superiores a cero. Esto reduce el rango del factor de intensidad de tensión efectivo y la tasa de crecimiento de grietas por fatiga. ^[15] ${\displaystyle R=K_{\text{min}}}/{K_{\text{max}}\equiv P_{\text{min}}/{P_{\text{max}}}}$

Efectos de secuencia

Una ecuación da la tasa de crecimiento para un solo ciclo, pero cuando la carga no es de amplitud constante, los cambios en la carga pueden conducir a aumentos o disminuciones temporales en la tasa de crecimiento. Se han desarrollado ecuaciones adicionales para tratar algunos de estos casos. La tasa de crecimiento se retrasa cuando ocurre una sobrecarga en una secuencia de carga. Estas cargas generan una zona plástica que puede retrasar la tasa de crecimiento. Dos ecuaciones notables para modelar los retrasos que ocurren mientras la grieta crece a través de la región de sobrecarga son: ^[16] ${\displaystyle da/dN}$

El modelo Wheeler (1972)

${\displaystyle \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{VA}}=\beta \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{CA}}}$con ${\displaystyle \beta =\left({\frac {r_{\text{pi}}}{r_{\text{max}}}}\right)^{k}}$

donde es la zona plástica correspondiente al i-ésimo ciclo que ocurre después de la sobrecarga y es la distancia entre la grieta y la extensión de la zona plástica en la sobrecarga. ${\displaystyle r_{\text{pi}}}$ ${\displaystyle r_{\text{max}}}$

El modelo Willenborg

Ecuaciones de crecimiento de grietas

Ecuación de umbral

Para predecir la tasa de crecimiento de grietas en la región cercana al umbral, se ha utilizado la siguiente relación ^[17]

${\displaystyle {da \over dN}=A\left(\Delta K-\Delta K_{\text{th}}\right)^{p}.}$

Ecuación París-Erdoğan

Para predecir la tasa de crecimiento de grietas en el régimen intermedio, se utiliza la ecuación de París-Erdoğan ^[2]

${\displaystyle {da \over dN}=C\left(\Delta K\right)^{m}.}$

ecuación de Forman

En 1967, Forman propuso la siguiente relación para tener en cuenta el aumento de las tasas de crecimiento debido a la relación de tensiones y al aproximarse a la tenacidad a la fractura ^[18] ${\displaystyle K_{\text{c}}}$

${\displaystyle {da \over dN}={\frac {C(\Delta K)^{n}}{(1-R)K_{\text{c}}-\Delta K}}}$

Ecuación de McEvily-Groeger

McEvily y Groeger ^[19] propusieron la siguiente relación de ley de potencia que considera los efectos de valores altos y bajos de ${\displaystyle \Delta K}$

${\displaystyle {da \over dN}=A(\Delta K-\Delta K_{\text{th}})^{2}{\Big [}1+{\frac {\Delta K}{K_{\text{Ic}}-K_{\text{max}}}}{\Big ]}}$.

ecuación nasgro

La ecuación de NASGRO se utiliza en los programas de crecimiento de crack AFGROW, FASTRAN y NASGRO. ^[20] Es una ecuación general que cubre la tasa de crecimiento más baja cerca del umbral y la tasa de crecimiento aumentada que se acerca a la tenacidad a la fractura , además de permitir el efecto de tensión media al incluir la relación de tensión . La ecuación de NASGRO es ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {da}{dN}}=C\left[\left({\frac {1-f}{1-R}}\right)\Delta K\right]^{n}{\left(1-{\frac {\Delta K_{\text{th}}}{\Delta K}}\right)^{p} \over \left(1-{\frac {K_{\max }}{K_{\text{crit}}}}\right)^{q}}}$

donde , , , , y son los coeficientes de la ecuación . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$

ecuación de McClintock

En 1967, McClintock desarrolló una ecuación para el límite superior de crecimiento de la grieta basada en el desplazamiento cíclico de la apertura de la punta de la grieta ^[21]. ${\displaystyle \Delta {\text{CTOD}}}$

${\displaystyle {da \over dN}\propto \Delta {\text{CTOD}}\approx \beta {(\Delta K)^{2} \over {2\sigma _{0}E'}}}$

donde es la tensión de flujo, es el módulo de Young y es una constante que normalmente se encuentra en el rango de 0,1 a 0,5. ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle \beta }$

Ecuación de Walker

Para tener en cuenta el efecto de la relación de tensiones, Walker sugirió una forma modificada de la ecuación de París-Erdogan ^[22]

${\displaystyle {da \over dN}=C{\Big (}{\overline {\Delta K}}{\Big )}^{m}=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}=C{\big (}K_{\text{max}}(1-R)^{\gamma }{\big )}^{m}}$

donde, es un parámetro del material que representa la influencia de la relación de tensiones en la tasa de crecimiento de las grietas por fatiga. Normalmente, toma un valor cercano a , pero puede variar entre . En general, se supone que la porción de compresión del ciclo de carga no tiene ningún efecto sobre el crecimiento de la grieta considerando lo que da. Esto puede explicarse físicamente considerando que la grieta se cierra con carga cero y no se comporta como una grieta bajo cargas de compresión. En materiales muy dúctiles como el acero Man-Ten, la carga de compresión contribuye al crecimiento de grietas según . ^[23] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle 0.3-1.0}$ ${\displaystyle {\big (}R<0{\big )}}$ ${\displaystyle \gamma =0,}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta K}}=K_{\text{max}}.}$ ${\displaystyle \gamma =0.22}$

ecuación de elber

Elber modificó la ecuación de Paris-Erdogan para permitir el cierre de grietas con la introducción del nivel de intensidad de la tensión de apertura en el que se produce el contacto. Por debajo de este nivel no hay movimiento en la punta de la grieta y, por tanto, no hay crecimiento. Este efecto se ha utilizado para explicar el efecto de la relación de tensiones y la mayor tasa de crecimiento observada con grietas cortas. La ecuación de Elber es ^[16] ${\displaystyle K_{\text{op}}}$

${\displaystyle \Delta K_{\text{eff}}=K_{\text{max}}-K_{\text{op}}}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K_{\text{eff}})^{m}}$

Ecuación de materiales dúctiles y frágiles.

La forma general de la tasa de crecimiento de grietas por fatiga en materiales dúctiles y frágiles viene dada por ^[21]

${\displaystyle {da \over dN}\propto (K_{\text{max}})^{n}(\Delta K)^{p},}$

donde, y son parámetros materiales. Con base en diferentes mecanismos de avance de grietas y protección de puntas de grietas en metales, cerámicas e intermetálicos , se observa que la tasa de crecimiento de grietas por fatiga en metales depende significativamente del término, en cerámicas de y los intermetálicos tienen una dependencia casi similar de los términos y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Delta K}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}}$ ${\displaystyle \Delta K}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}}$

Predicción de la vida por fatiga.

Programas de computador

Existen muchos programas informáticos que implementan ecuaciones de crecimiento de crack, como Nasgro , ^[24] AFGROW y Fastran . Además, también existen programas que implementan un enfoque probabilístico del crecimiento de grietas que calculan la probabilidad de falla a lo largo de la vida útil de un componente. ^{[25] [26]}

Los programas de crecimiento de grietas hacen crecer una grieta desde un tamaño de falla inicial hasta que excede la tenacidad a la fractura de un material y falla. Debido a que la tenacidad a la fractura depende de las condiciones límite, la tenacidad a la fractura puede cambiar desde condiciones de deformación plana para una grieta de superficie semicircular a condiciones de tensión plana para una grieta pasante. La tenacidad a la fractura en condiciones de tensión plana suele ser dos veces mayor que en condiciones de deformación plana. Sin embargo, debido a la rápida tasa de crecimiento de una grieta cerca del final de su vida, las variaciones en la tenacidad a la fractura no alteran significativamente la vida de un componente.

Los programas de crecimiento de crack suelen ofrecer una opción de:

• Métodos de conteo cíclico para extraer los extremos del ciclo.
• Factores geométricos que seleccionan la forma de la grieta y la carga aplicada.
• ecuación de crecimiento de grietas
• modelos de aceleración/retraso
• Propiedades del material como límite elástico y tenacidad a la fractura.

Solucion analitica

El factor de intensidad del estrés está dado por

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}},}$

donde es la tensión de tracción uniforme aplicada que actúa sobre la muestra en la dirección perpendicular al plano de la grieta, es la longitud de la grieta y es un parámetro adimensional que depende de la geometría de la muestra. La intensidad del estrés alternante se vuelve ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&={\begin{cases}\beta (\sigma _{\text{max}}-\sigma _{\text{min}}){\sqrt {\pi a}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}},\qquad R\geq 0\\\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}},\qquad R<0\end{cases}},\end{aligned}}}$

donde es el rango de amplitud de la tensión cíclica. ${\displaystyle \Delta \sigma }$

Suponiendo que el tamaño inicial de la grieta es , el tamaño crítico de la grieta antes de que falle la muestra se puede calcular usando como ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{c}}$ ${\displaystyle {\big (}K=K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}{\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{Ic}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a_{c}}},\\\Rightarrow a_{c}&={\frac {1}{\pi }}{\bigg (}{\frac {K_{\text{Ic}}}{\beta \sigma _{\text{max}}}}{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

La ecuación anterior es de naturaleza implícita y puede resolverse numéricamente si es necesario. ${\displaystyle a_{c}}$

Caso I

Porque el cierre de grietas tiene un efecto insignificante sobre la tasa de crecimiento de las grietas ^[27] y la ecuación de París-Erdogan se puede utilizar para calcular la vida a fatiga de una muestra antes de que alcance el tamaño crítico de la grieta como ${\displaystyle R\geq 0.7,}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C(\Delta K)^{m}=C{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {1}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

Modelo de crecimiento de crack con valor constante de 𝛽 y R = 0

Figura 2: Representación geométrica de la muestra de ensayo de tensión con fisura central

Para el modelo de crecimiento de grietas de Griffith-Irwin o grieta central de longitud en una lámina infinita como se muestra en la figura 2, tenemos y es independiente de la longitud de la grieta. Además, se puede considerar que es independiente de la longitud de la grieta. Al asumir la integral anterior se simplifica a ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \beta ={\text{constant}},}$

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{({\sqrt {a}})^{m}}},}$

Al integrar la expresión anterior para los casos y , el número total de ciclos de carga viene dado por ${\displaystyle m\neq 2}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle N_{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{f}&={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}{\Bigg [}{\frac {1}{(a_{0})^{\frac {m-2}{2}}}}-{\frac {1}{(a_{c})^{\frac {m-2}{2}}}}{\Bigg ]},\qquad m\neq 2,\\N_{f}&={\frac {1}{\pi C(\beta \Delta \sigma )^{2}}}\ln {\frac {a_{c}}{a_{0}}},\qquad m=2.\end{aligned}}}$

Ahora bien, para que un tamaño de grieta crítico sea muy grande en comparación con el tamaño de grieta inicial, se obtendrá ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle {\big (}a_{c}>>a_{0}{\big )}}$

${\displaystyle N_{f}={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma \beta )^{m}}}(a_{0})^{\frac {2-m}{2}}.}$

Las expresiones analíticas anteriores para el número total de ciclos de carga hasta la fractura se obtienen asumiendo . Para los casos en los que depende del tamaño de la grieta, como las geometrías de tensión de muesca de borde único (SENT) y tensión de fisura central (CCT), se puede utilizar la integración numérica para calcular . ${\displaystyle {\big (}N_{f}{\big )}}$ ${\displaystyle Y={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle N_{f}}$

Caso II

Porque el fenómeno de cierre de grietas tiene un efecto en la tasa de crecimiento de las grietas y podemos invocar la ecuación de Walker para calcular la vida a fatiga de una muestra antes de que alcance el tamaño crítico de la grieta como ${\displaystyle R<0.7,}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}={\frac {C}{(1-R)^{m(1-\gamma )}}}{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {(1-R)^{m(1-\gamma )}}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

Cálculo numérico

Figura 3: Representación esquemática del proceso de predicción de la vida por fatiga ^[28]

Este esquema es útil cuando depende del tamaño de la grieta . Se considera que el tamaño inicial de la grieta es . El factor de intensidad de tensión en el tamaño de grieta actual se calcula utilizando la tensión máxima aplicada como ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{max}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$
Si es menor que la tenacidad a la fractura , la grieta no ha alcanzado su tamaño crítico y la simulación continúa con el tamaño de grieta actual para calcular la intensidad de la tensión alterna como ${\displaystyle K_{\text{max}}}$ ${\displaystyle K_{\text{Ic}}}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle \Delta K=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.}$

Ahora, sustituyendo el factor de intensidad de tensión en la ecuación de París-Erdogan, el incremento en el tamaño de la grieta se calcula como ${\displaystyle \Delta a}$

${\displaystyle \Delta a=C(\Delta K)^{m}\Delta N,}$

¿Dónde está el tamaño del paso del ciclo? El nuevo tamaño de grieta se vuelve ${\displaystyle \Delta N}$

${\displaystyle a_{i+1}=a_{i}+\Delta a,}$

donde índice se refiere al paso de iteración actual. El nuevo tamaño de grieta se utiliza para calcular la intensidad de la tensión en la tensión máxima aplicada para la siguiente iteración. Este proceso iterativo continúa hasta ${\displaystyle i}$

${\displaystyle K_{\text{max}}\geq K_{\text{Ic}}.}$

Una vez que se cumple este criterio de falla, se detiene la simulación.

La representación esquemática del proceso de predicción de la vida por fatiga se muestra en la figura 3.

Ejemplo

Figura 4: Representación geométrica de la muestra de prueba de tensión de muesca de borde único

El factor de intensidad de tensión en una muestra SENT (ver figura 4) bajo crecimiento de grietas por fatiga viene dado por ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{I}&=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]},\\\Delta K_{I}&=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$

Para el cálculo se consideran los siguientes parámetros

${\displaystyle a_{0}=5}$mm, mm, mm, , , ${\displaystyle W=100}$ ${\displaystyle h=200}$ ${\displaystyle K_{\text{Ic}}=30{\text{ MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$ ${\displaystyle R={\frac {K_{\text{min}}}{K_{\text{max}}}}=0.7}$

${\displaystyle \Delta \sigma =20}$MPa, , . ${\displaystyle C=4.6774\times 10^{-11}{\frac {\text{m}}{\text{cycle}}}{\frac {1}{({\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}})^{m}}}}$ ${\displaystyle m=3.874}$

La longitud crítica de la grieta, , se puede calcular cuando : ${\displaystyle a=a_{c}}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}}$

${\displaystyle a_{c}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg (}{\frac {0.45}{\beta }}{\Bigg )}^{2}.}$

Resolviendo la ecuación anterior, la longitud crítica de la grieta se obtiene como . ${\displaystyle a_{c}=26.7{\text{mm}}}$

Ahora bien, invocando la ecuación París-Erdogan se obtiene

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C(\Delta \sigma )^{m}({\sqrt {\pi }})^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{a^{\frac {m}{2}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]}^{m}}}}$

Por integración numérica de la expresión anterior, el número total de ciclos de carga hasta la falla se obtiene como . ${\displaystyle N_{f}=1.2085\times 10^{6}{\text{ cycles}}}$

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enlaces externos

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