Ecuación de Ginzburg-Landau

La ecuación de Ginzburg-Landau , que lleva el nombre de Vitaly Ginzburg y Lev Landau , describe la evolución no lineal de pequeñas perturbaciones cerca de una bifurcación de longitud de onda finita desde un estado estable a uno inestable de un sistema. Al inicio de la bifurcación de longitudes de onda finitas, el sistema se vuelve inestable para un número de onda crítico distinto de cero. En las proximidades de esta bifurcación, la evolución de las perturbaciones se caracteriza por el modo particular de Fourier para con una amplitud que varía lentamente (más precisamente, la parte real de ). La ecuación de Ginzburg-Landau es la ecuación gobernante para . Los modos inestables pueden ser no oscilatorios (estacionarios) u oscilatorios. ^{[1] [2]} ${\displaystyle k_{c}}$ ${\displaystyle k_{c}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Para bifurcación no oscilatoria, satisface la ecuación real de Ginzburg-Landau ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=\nabla ^{2}A+A-A|A|^{2}}$

que fue derivada por primera vez por Alan C. Newell y John A. Whitehead ^[3] y por Lee Segel ^[4] en 1969. Para bifurcación oscilatoria, satisface la compleja ecuación de Ginzburg-Landau ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=(1+i\alpha )\nabla ^{2}A+A-(1+i\beta )A|A|^{2}}$

que fue derivado por primera vez por Keith Stewartson y John Trevor Stuart en 1971. ^[5] Aquí y son constantes reales. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Cuando el problema es homogéneo, es decir, cuando es independiente de las coordenadas espaciales, la ecuación de Ginzburg-Landau se reduce a la ecuación de Stuart-Landau . La ecuación de Swift-Hohenberg da como resultado la ecuación de Ginzburg-Landau. ${\displaystyle A}$

Sustituyendo , donde es la amplitud y es la fase, se obtienen las siguientes ecuaciones ${\displaystyle A(\mathbf {x} ,t)=Re^{i\Theta }}$ ${\displaystyle R=|A|}$ ${\displaystyle \Theta =\mathrm {arg} (A)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial R}{\partial t}}&=[\nabla ^{2}R-R(\nabla \Theta )^{2}]-\alpha (2\nabla \Theta \cdot \nabla R+R\nabla ^{2}\Theta )+(1-R^{2})R,\\R{\frac {\partial \Theta }{\partial t}}&=\alpha [\nabla ^{2}R-R(\nabla \Theta )^{2}]+(2\nabla \Theta \cdot \nabla R+R\nabla ^{2}\Theta )-\beta R^{3}.\end{aligned}}}$

Algunas soluciones de la ecuación real de Ginzburg-Landau

Tipo de onda plana estable

Si sustituimos en la ecuación real sin el término de la derivada del tiempo, obtenemos ${\displaystyle A=f(k)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$

${\displaystyle A(\mathbf {x} )={\sqrt {1-k^{2}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} },\quad |k|<1.}$

Se sabe que esta solución se vuelve inestable debido a la inestabilidad de Eckhaus para los números de onda. ${\displaystyle k^{2}>1/3.}$

Solución estable con condición de contorno absorbente.

Una vez más, busquemos soluciones estables, pero con una condición de frontera absorbente en algún lugar. En un dominio 1D semiinfinito , la solución viene dada por ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle 0\leq x<\infty }$

${\displaystyle A(x)=e^{ia}\tanh {\frac {x}{\sqrt {2}}},}$

donde es una constante real arbitraria. Se pueden construir numéricamente soluciones similares en un dominio finito. ${\displaystyle a}$

Algunas soluciones de la compleja ecuación de Ginzburg-Landau

Ola viajera

La solución de la onda viajera está dada por

${\displaystyle A(\mathbf {x} ,t)={\sqrt {1-k^{2}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t},\quad \omega =\beta +(\alpha -\beta )k^{2},\quad |k|<1.}$

La velocidad de grupo de la onda está dada por La solución anterior se vuelve inestable debido a la inestabilidad de Benjamin-Feir para los números de onda ${\displaystyle d\omega /dk=2(\alpha -\beta )k.}$ ${\displaystyle k^{2}>(1+\alpha \beta )/(2\beta ^{2}+\alpha \beta +3).}$

Pulso de Hocking-Stewartson

El pulso de Hocking-Stewartson se refiere a una solución 1D casi estable de la compleja ecuación de Ginzburg-Landau, obtenida por Leslie M. Hocking y Keith Stewartson en 1972. ^[6] La solución viene dada por

${\displaystyle A(x,t)=\lambda Le^{i\nu t}(\mathrm {sech} \lambda x)^{1+iM}}$

donde las cuatro constantes reales en la solución anterior satisfacen

${\displaystyle \lambda ^{2}(M^{2}+2\alpha -1)=1,\quad \lambda ^{2}(\alpha -\alpha M^{2}+2M)=\nu ,}$

${\displaystyle 2-M^{2}-3\alpha M=-L^{2},\quad 2\alpha +3M-\alpha M^{2}=-\beta L^{2}.}$

Soluciones de estructura coherente

Las soluciones de estructura coherente se obtienen asumiendo dónde . Esto lleva a ${\displaystyle A=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t}B({\boldsymbol {\xi }},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {x} +\mathbf {u} t}$

${\displaystyle {\frac {\partial B}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla B=(1+i\alpha )\nabla ^{2}B+\lambda B-(1+i\beta )B|B|^{2}}$

dónde y ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +(1+i\alpha )\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \lambda =1+i\omega -(1+i\alpha )k^{2}.}$

Ver también

• Ecuación de Davey-Stewartson
• Ecuación de Stuart-Landau
• Ecuación de Swift-Hohenberg
• Ecuación de Gross-Pitaevskii

Referencias

1. Cross, MC y Hohenberg, ordenador personal (1993). Formación de patrones fuera del equilibrio. Reseñas de física moderna, 65(3), 851.
2. Cross, M. y Greenside, H. (2009). Formación de patrones y dinámica en sistemas en desequilibrio. Prensa de la Universidad de Cambridge.
3. Newell, AC y Whitehead, JA (1969). Ancho de banda finito, convección de amplitud finita. Revista de Mecánica de Fluidos, 38(2), 279-303.
4. Segel, LA (1969). Las paredes laterales distantes provocan una modulación de amplitud lenta de la convección celular. Revista de Mecánica de Fluidos, 38(1), 203-224.
5. Stewartson, K. y Stuart, JT (1971). Una teoría de la inestabilidad no lineal para un sistema de ondas en un flujo plano de Poiseuille. Revista de Mecánica de Fluidos, 48(3), 529-545.
6. Hocking, LM y Stewartson, K. (1972). Sobre la respuesta no lineal de un flujo paralelo plano marginalmente inestable a una perturbación bidimensional. Actas de la Royal Society de Londres. A. Ciencias Físicas y Matemáticas, 326(1566), 289-313.