Aproximación lineal

Aproximación de una función por su recta tangente en un punto

Línea tangente en ( a , f ( a ))

En matemáticas , una aproximación lineal es una aproximación de una función general utilizando una función lineal (más precisamente, una función afín ). Se utilizan ampliamente en el método de diferencias finitas para producir métodos de primer orden para resolver o aproximar soluciones de ecuaciones.

Definición

Dada una función dos veces continuamente diferenciable de una variable real , el teorema de Taylor para el caso establece que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=1}$

$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}}$$

${\displaystyle R_{2}}$

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).}$$

Esta es una buena aproximación cuando está lo suficientemente cerca de ; ya que una curva, cuando se observa de cerca, comenzará a parecerse a una línea recta. Por lo tanto, la expresión del lado derecho es solo la ecuación de la recta tangente a la gráfica de at . Por este motivo, a este proceso también se le llama aproximación de la recta tangente . Las aproximaciones lineales en este caso mejoran aún más cuando la segunda derivada de a, , es suficientemente pequeña (cerca de cero) (es decir, en o cerca de un punto de inflexión ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle f''(a)}$

Si es cóncavo hacia abajo en el intervalo entre y , la aproximación será una sobreestimación (ya que la derivada es decreciente en ese intervalo). Si es cóncavo hacia arriba , la aproximación será una subestimación. ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Las aproximaciones lineales para funciones vectoriales de una variable vectorial se obtienen de la misma manera, con la derivada en un punto reemplazada por la matriz jacobiana . Por ejemplo, dada una función diferenciable con valores reales, se puede aproximar cerca de mediante la fórmula ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (a,b)}$

$${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}$$

El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica de en ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (a,b).}$

En el caso más general de los espacios de Banach , se tiene

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}$$

derivada de Fréchet ${\displaystyle Df(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Aplicaciones

Óptica

La óptica gaussiana es una técnica en óptica geométrica que describe el comportamiento de los rayos de luz en sistemas ópticos mediante el uso de la aproximación paraxial , en la que solo se consideran los rayos que forman pequeños ángulos con el eje óptico del sistema. ^[2] En esta aproximación, las funciones trigonométricas se pueden expresar como funciones lineales de los ángulos. La óptica gaussiana se aplica a sistemas en los que todas las superficies ópticas son planas o partes de una esfera . En este caso, se pueden dar fórmulas explícitas simples para parámetros de un sistema de imágenes como distancia focal, aumento y brillo, en términos de las formas geométricas y las propiedades materiales de los elementos constituyentes.

Periodo de oscilación

El período de oscilación de un péndulo de gravedad simple depende de su longitud , de la fuerza de gravedad local y, en pequeña medida, del ángulo máximo en que el péndulo oscila con respecto a la vertical, θ ₀ , llamado amplitud . ^[3] Es independiente de la masa de la pesa. El verdadero período T de un péndulo simple, el tiempo necesario para un ciclo completo de un péndulo de gravedad simple ideal, se puede escribir de varias formas diferentes (ver péndulo ), siendo un ejemplo la serie infinita : ^{[4] [5]}

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$

donde L es la longitud del péndulo y g es la aceleración local de la gravedad .

Sin embargo, si se toma la aproximación lineal (es decir, si la amplitud se limita a pequeñas oscilaciones, ^{[Nota 1]} ), el período es: ^[6]

En la aproximación lineal, el período de oscilación es aproximadamente el mismo para oscilaciones de diferentes tamaños: es decir, el período es independiente de la amplitud . Esta propiedad, llamada isocronismo , es la razón por la que los péndulos son tan útiles para medir el tiempo. ^[7] Las oscilaciones sucesivas del péndulo, incluso si cambian de amplitud, toman la misma cantidad de tiempo.

Resistividad electrica

La resistividad eléctrica de la mayoría de los materiales cambia con la temperatura. Si la temperatura T no varía demasiado, normalmente se utiliza una aproximación lineal:

$${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]}$$

coeficiente de temperatura de resistividad^[8] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{15}}$

Ver también

• Aproximación binomial
• El método de Euler.
• diferencias finitas
• Métodos de diferencias finitas
• El método de Newton
• Serie de potencia
• serie de taylor

Notas

1. Una oscilación "pequeña" es aquella en la que el ángulo θ es lo suficientemente pequeño como para que sin (θ) pueda aproximarse a θ cuando θ se mide en radianes.

Referencias

1. "12.1 Estimación del valor de una función mediante la aproximación lineal" . Consultado el 3 de junio de 2012 .
2. Lipson, A.; Lipson, SG; Lipson, H. (2010). Física óptica (4ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 51.ISBN​ 978-0-521-49345-1.
3. Milham, Willis I. (1945). El tiempo y los cronometradores . MacMillan. págs. 188-194. OCLC  1744137.
4. Nelson, Robert; MG Olsson (febrero de 1987). "El péndulo: física rica a partir de un sistema simple" (PDF) . Revista Estadounidense de Física . 54 (2): 112-121. Código Bib : 1986AmJPh..54..112N. doi :10.1119/1.14703. S2CID  121907349 . Consultado el 29 de octubre de 2008 .
5. Beckett, Edmundo; y tres más (1911). "Reloj"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Enciclopedia Británica . vol. 06 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 534 a 553, véase la página 538, segundo párrafo. Péndulo.-incluye una derivación
6. Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentos de Física, 5ª Ed . Nueva York: John Wiley & Sons. pag. 381.ISBN​ 0-471-14854-7.
7. Cooper, Herbert J. (2007). Instrumentos cientificos. Nueva York: Hutchinson. pag. 162.ISBN​ 978-1-4067-6879-4.
8. Ward, señor (1971). Ciencias de la Ingeniería Eléctrica . McGraw-Hill. págs. 36–40. ISBN 0-07-094255-2.

Otras lecturas

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Cálculo III . Berlín: Springer-Verlag. pag. 775.ISBN​ 0-387-90985-0.
• Strang, Gilbert (1991). Cálculo . Colegio Wellesley. pag. 94.ISBN​ 0-9614088-2-0.
• Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). Cómo prepararse para el Cálculo AP . Hauppauge, Nueva York: Serie educativa Barrons. pag. 118.ISBN​ 0-7641-2382-3.