Ecuación diferencial parcial hiperbólica

Tipo de ecuaciones diferenciales parciales

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial de orden hiperbólica es una ecuación diferencial parcial (PDE) que, en términos generales, tiene un problema de valor inicial bien planteado para las primeras derivadas. ^{[ cita necesaria ]} Más precisamente, el problema de Cauchy se puede resolver localmente para datos iniciales arbitrarios a lo largo de cualquier hipersuperficie no característica . Muchas de las ecuaciones de la mecánica son hiperbólicas, por lo que el estudio de las ecuaciones hiperbólicas es de gran interés contemporáneo. El modelo de ecuación hiperbólica es la ecuación de onda . En una dimensión espacial, esto es La ecuación tiene la propiedad de que, si u y su primera derivada son datos iniciales especificados arbitrariamente en la línea t = 0 (con suficientes propiedades de suavidad), entonces existe una solución para todo el tiempo t . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

Las soluciones de ecuaciones hiperbólicas son "ondulatorias". Si se produce una perturbación en los datos iniciales de una ecuación diferencial hiperbólica, entonces no todos los puntos del espacio sienten la perturbación al mismo tiempo. En relación con una coordenada de tiempo fija, las perturbaciones tienen una velocidad de propagación finita . Viajan a lo largo de las características de la ecuación. Esta característica distingue cualitativamente las ecuaciones hiperbólicas de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas . Una perturbación de los datos iniciales (o de frontera) de una ecuación elíptica o parabólica se siente al mismo tiempo esencialmente en todos los puntos del dominio.

Aunque la definición de hiperbolicidad es fundamentalmente cualitativa, existen criterios precisos que dependen del tipo particular de ecuación diferencial que se considere. Existe una teoría bien desarrollada para los operadores diferenciales lineales , debida a Lars Gårding , en el contexto del análisis microlocal . Las ecuaciones diferenciales no lineales son hiperbólicas si sus linealizaciones son hiperbólicas en el sentido de Gårding. Existe una teoría algo diferente para los sistemas de ecuaciones de primer orden que provienen de sistemas de leyes de conservación .

Definición

Una ecuación diferencial parcial es hiperbólica en un punto siempre que el problema de Cauchy tenga solución única en una vecindad de para cualquier dato inicial dado sobre una hipersuperficie no característica que pasa a través de . ^[1] Aquí los datos iniciales prescritos consisten en todas las derivadas (transversales) de la función en la superficie hasta uno menos que el orden de la ecuación diferencial. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Ejemplos

Mediante un cambio lineal de variables, cualquier ecuación de la forma con puede transformarse en la ecuación de onda , excepto los términos de orden inferior que no son esenciales para la comprensión cualitativa de la ecuación. ^{[2] : 400} Esta definición es análoga a la definición de hipérbola plana . $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0}$$ $${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$

La ecuación de onda unidimensional : es un ejemplo de ecuación hiperbólica. Las ecuaciones de ondas bidimensionales y tridimensionales también entran en la categoría de PDE hiperbólica. Este tipo de ecuación diferencial parcial hiperbólica de segundo orden se puede transformar en un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales de primer orden. ^{[2] : 402} $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$

Sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales parciales.

El siguiente es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para funciones desconocidas , donde : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

donde alguna vez son funciones continuamente diferenciables , no lineales en general. ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d}$

A continuación, para cada uno defina la matriz jacobiana. ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$ ${\displaystyle s\times s}$ $${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

El sistema ( ∗ ) es hiperbólico si para todos la matriz tiene sólo valores propios reales y es diagonalizable . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

Si la matriz tiene s valores propios reales distintos , se deduce que es diagonalizable. En este caso el sistema ( ∗ ) se llama estrictamente hiperbólico . ${\displaystyle A}$

Si la matriz es simétrica, se deduce que es diagonalizable y los valores propios son reales. En este caso el sistema ( ∗ ) se llama hiperbólico simétrico . ${\displaystyle A}$

Sistema hiperbólico y leyes de conservación.

Existe una conexión entre un sistema hiperbólico y una ley de conservación . Considere un sistema hiperbólico de una ecuación diferencial parcial para una función desconocida . Entonces el sistema ( ∗ ) tiene la forma ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

Aquí, puede interpretarse como una cantidad que se mueve según el flujo dado por . Para ver que la cantidad se conserva, integra ( ∗∗ ) sobre un dominio ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

Si y son funciones suficientemente suaves, podemos usar el teorema de la divergencia y cambiar el orden de la integración y obtener una ley de conservación para la cantidad en forma general, lo que significa que la tasa de cambio temporal de en el dominio es igual a la neta. flujo de a través de su límite . Dado que se trata de una igualdad, se puede concluir que se conserva dentro de . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}}$ ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

Ver también

• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Operador hipoelíptico
• Ecuación diferencial parcial parabólica

Referencias

1. Rozhdestvenskii, BL (2001) [1994], "Ecuación diferencial parcial hiperbólica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 19 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , doi :10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, SEÑOR  2597943, OCLC  465190110

Otras lecturas

• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 

enlaces externos

• "Ecuación diferencial parcial hiperbólica, métodos numéricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones hiperbólicas lineales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones hiperbólicas no lineales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.