Ecuación del cohete de Tsiolkovsky

Ecuación matemática que describe el movimiento de un cohete.

Relación de la masa requerida de un cohete en función de la relación de la velocidad de escape efectiva

La ecuación clásica del cohete , o ecuación ideal del cohete , es una ecuación matemática que describe el movimiento de los vehículos que siguen el principio básico de un cohete : un dispositivo que puede aplicar aceleración a sí mismo usando empuje expulsando parte de su masa con alta velocidad y, por lo tanto, puede moverse debido a la conservación del momento . Se le atribuye a Konstantin Tsiolkovsky , quien la derivó de forma independiente y la publicó en 1903, ^{[1] [2] aunque} William Moore la había derivado y publicado de forma independiente en 1810, ^[3] y luego se publicó en un libro separado en 1813. ^[4] Robert Goddard también la desarrolló de forma independiente en 1912, y Hermann Oberth la derivó de forma independiente alrededor de 1920.

El cambio máximo de velocidad del vehículo (sin que actúen fuerzas externas) es: ${\displaystyle \Delta v}$

$${\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$$dónde:

• ${\displaystyle v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}g_{0}}$es la velocidad de escape efectiva ;
  • ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$es el impulso específico en la dimensión del tiempo;
  • ${\displaystyle g_{0}}$es la gravedad estándar ;
• ${\displaystyle \ln }$es la función logaritmo natural ;
• ${\displaystyle m_{0}}$es la masa total inicial, incluido el propulsor , también conocida como masa húmeda;
• ${\displaystyle m_{f}}$es la masa total final sin propulsor, también conocida como masa seca.

Dada la velocidad de escape efectiva determinada por el diseño del motor del cohete, el delta-v deseado (por ejemplo, velocidad orbital o velocidad de escape ) y una masa seca dada , la ecuación se puede resolver para la masa de propulsor requerida : ${\displaystyle m_{f}}$ ${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$ $${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.}$$

La masa húmeda necesaria crece exponencialmente con el delta-v deseado.

Historia

La ecuación recibe su nombre del científico ruso Konstantin Tsiolkovsky , quien la derivó de forma independiente y la publicó en su obra de 1903. ^{[5] [2]}

La ecuación había sido derivada previamente por el matemático británico William Moore en 1810, ^[3] y posteriormente publicada en un libro separado en 1813. ^[4]

El estadounidense Robert Goddard desarrolló la ecuación de forma independiente en 1912, cuando comenzó su investigación para mejorar los motores de cohetes para posibles vuelos espaciales. El ingeniero alemán Hermann Oberth derivó la ecuación de forma independiente alrededor de 1920, mientras estudiaba la viabilidad de los viajes espaciales.

Si bien la derivación de la ecuación del cohete es un ejercicio de cálculo sencillo , Tsiolkovsky tiene el honor de ser el primero en aplicarla a la cuestión de si los cohetes podrían alcanzar las velocidades necesarias para los viajes espaciales .

Experimento de la barca de Tsiolkovsky

Para comprender el principio de propulsión de los cohetes, Konstantin Tsiolkovsky propuso el famoso experimento de la "barca". Una persona se encuentra en una barca alejada de la orilla sin remos. Quiere llegar a esa orilla. Observa que la barca está cargada con una cierta cantidad de piedras y se le ocurre lanzar, una a una y lo más rápido posible, estas piedras en dirección contraria a la orilla. En efecto, la cantidad de movimiento de las piedras lanzadas en una dirección corresponde a una cantidad igual de movimiento de la barca en la otra dirección (sin tener en cuenta la fricción/resistencia).

Derivación

Derivación más popular

Consideremos el siguiente sistema:

El cohete teórico de Tsiolkovsky desde t = 0 hasta t = delta_t

En la siguiente derivación, "el cohete" se entiende como "el cohete y todo su propulsor no gastado".

La segunda ley del movimiento de Newton relaciona las fuerzas externas ( ) con el cambio en el momento lineal de todo el sistema (incluido el cohete y el escape) de la siguiente manera: donde es el momento del cohete en el tiempo : y es el momento del cohete y la masa agotada en el tiempo : y donde, con respecto al observador: ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ $${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}}{\Delta t}}}$$ ${\displaystyle {\vec {P}}_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle {\vec {P}}_{0}=m{\vec {V}}}$$ ${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}}$ ${\displaystyle t=\Delta t}$ $${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V}}_{\text{e}}}$$

• ${\displaystyle {\vec {V}}}$es la velocidad del cohete en el momento ${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}}$es la velocidad del cohete en el momento ${\displaystyle t=\Delta t}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}$es la velocidad de la masa añadida al escape (y perdida por el cohete) durante el tiempo ${\displaystyle \Delta t}$
• ${\displaystyle m}$es la masa del cohete en el momento ${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle \left(m-\Delta m\right)}$es la masa del cohete en el momento ${\displaystyle t=\Delta t}$

La velocidad del escape en el marco del observador está relacionada con la velocidad del escape en el marco del cohete por: por lo tanto, Resolviendo esto obtenemos: Si y son opuestos, tienen la misma dirección que , son insignificantes (ya que ), y usando (ya que expulsar un resultado positivo da como resultado una disminución en la masa del cohete en el tiempo), ${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ $${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}={\vec {V}}_{\text{e}}-{\vec {V}}}$$ $${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}}$$ $${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}}$$ ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{i}}}$ ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle \Delta m\Delta {\vec {V}}}$ ${\displaystyle dm\,d{\vec {v}}\to 0}$ ${\displaystyle dm=-\Delta m}$ ${\displaystyle \Delta m}$ $${\displaystyle \sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

Si no hay fuerzas externas entonces ( conservación del momento lineal ) y ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=0}$ $${\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

Suponiendo que es constante (conocida como hipótesis de Tsiolkovsky ^[2] ), por lo que no está sujeta a integración, entonces la ecuación anterior puede integrarse de la siguiente manera: ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ $${\displaystyle -\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}}$$

Esto produce entonces o equivalentemente o o donde es la masa total inicial incluyendo el propulsor, la masa final y la velocidad del escape del cohete con respecto al cohete (el impulso específico o, si se mide en tiempo, el multiplicado por la aceleración de la gravedad en la Tierra). Si NO es constante, es posible que no tengamos ecuaciones de cohetes que sean tan simples como las formas anteriores. Muchas investigaciones sobre dinámica de cohetes se basaron en la hipótesis de la constante de Tsiolkovsky. $${\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}$$ $${\displaystyle m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}$$ $${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}}$$ $${\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)}$$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m_{f}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

El valor es la masa total de trabajo del propulsor gastado. ${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$

${\displaystyle \Delta V}$( delta v ) es la integración en el tiempo de la magnitud de la aceleración producida al utilizar el motor del cohete (cuál sería la aceleración real si no hubiera fuerzas externas). En el espacio libre, para el caso de aceleración en la dirección de la velocidad, este es el aumento de la velocidad. En el caso de una aceleración en dirección opuesta (desaceleración) es la disminución de la velocidad. Por supuesto, la gravedad y la resistencia también aceleran el vehículo, y pueden sumar o restar al cambio de velocidad experimentado por el vehículo. Por lo tanto, delta-v puede no ser siempre el cambio real en la velocidad del vehículo.

Otras derivaciones

Basado en impulsos

La ecuación también se puede derivar de la integral básica de aceleración en forma de fuerza (empuje) sobre masa. Representando la ecuación delta-v de la siguiente manera: $${\displaystyle \Delta v=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\frac {|T|}{{m_{0}}-{t}\Delta {m}}}~dt}$$

donde T es el empuje, es la masa inicial (húmeda) y es la masa inicial menos la masa final (seca), ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \Delta m}$

y dándose cuenta de que la integral de una fuerza resultante a lo largo del tiempo es el impulso total, suponiendo que el empuje es la única fuerza involucrada, $${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}F~dt=J}$$

Se encuentra que la integral es: $${\displaystyle J~{\frac {\ln({m_{0}})-\ln({m_{f}})}{\Delta m}}}$$

Al comprender que el impulso sobre el cambio de masa es equivalente a la fuerza sobre el caudal másico del propulsor (p), que a su vez es equivalente a la velocidad de escape, la integral se puede comparar a $${\displaystyle {\frac {J}{\Delta m}}={\frac {F}{p}}=V_{\text{exh}}}$$ $${\displaystyle \Delta v=V_{\text{exh}}~\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}$$

Basado en aceleración

Imaginemos un cohete en reposo en el espacio sin fuerzas ejercidas sobre él ( Primera ley del movimiento de Newton ). Desde el momento en que se pone en marcha el motor (el reloj se pone a 0), el cohete expulsa masa de gas a un caudal másico constante R (kg/s) y a una velocidad de escape relativa al cohete v _e (m/s). Esto crea una fuerza constante F que propulsa al cohete que es igual a R × v _e . El cohete está sujeto a una fuerza constante, pero su masa total disminuye de forma constante porque está expulsando gas. Según la Segunda ley del movimiento de Newton , su aceleración en cualquier instante t es su fuerza propulsora F dividida por su masa actual m : $${\displaystyle ~a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {F}{m(t)}}=-{\frac {Rv_{\text{e}}}{m(t)}}}$$

Ahora bien, la masa de combustible que el cohete lleva inicialmente a bordo es igual a m ₀ – m _f . Por tanto, para el caudal másico constante R, se necesitará un tiempo T = ( m ₀ – m _f )/ R para quemar todo este combustible. Integrando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo desde 0 hasta T (y observando que R = dm/dt permite una sustitución a la derecha) se obtiene: $${\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}$$

Límite de expulsión de "pellets" de masa finita

La ecuación del cohete también se puede derivar como el caso límite del cambio de velocidad para un cohete que expulsa su combustible en forma de pellets consecutivamente, como , con una velocidad de escape efectiva tal que la energía mecánica ganada por unidad de masa de combustible está dada por . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle v_{\text{eff}}}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{\text{eff}}^{2}}$

En el marco del centro de masa del cohete, si se expulsa una pastilla de masa a velocidad y la masa restante del cohete es , la cantidad de energía convertida para aumentar la energía cinética del cohete y de la pastilla es ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\text{eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}.}$$

Utilizando la conservación del momento en el marco del cohete justo antes de la expulsión, , de donde encontramos ${\textstyle u=\Delta v{\tfrac {m}{m_{p}}}}$ $${\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}{\frac {m_{p}}{\sqrt {m(m+m_{p})}}}.}$$

Sea la fracción de masa de combustible inicial a bordo y la masa inicial del cohete con combustible cargado. Divida la masa total de combustible en pastillas discretas, cada una de masa . La masa restante del cohete después de expulsar las pastillas es entonces . El cambio de velocidad general después de expulsar las pastillas es la suma ^[6] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \phi m_{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{p}=\phi m_{0}/N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m=m_{0}(1-j\phi /N)}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N+\phi /N)}}}}$$

Tenga en cuenta que para grandes, el último término en el denominador y puede descuidarse para obtener donde y . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi /N\ll 1}$ $${\displaystyle \Delta v\approx v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{1-j\phi /N}}=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\Delta x}{1-x_{j}}}}$$ ${\textstyle \Delta x={\frac {\phi }{N}}}$ ${\textstyle x_{j}={\frac {j\phi }{N}}}$

Como esta suma de Riemann se convierte en la integral definida, ya que la masa final restante del cohete es . ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\text{eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$$ ${\displaystyle m_{f}=m_{0}(1-\phi )}$

Relatividad especial

Si se tiene en cuenta la relatividad especial , se puede derivar la siguiente ecuación para un cohete relativista , ^[7] donde nuevamente representa la velocidad final del cohete (después de expulsar toda su masa de reacción y reducirse a una masa en reposo de ) en el marco de referencia inercial donde el cohete comenzó en reposo (con la masa en reposo, incluido el combustible, siendo inicialmente ), y representa la velocidad de la luz en el vacío: ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}$$

Escribir como permite reorganizar esta ecuación como ${\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}}$$

Luego, utilizando la identidad (aquí "exp" denota la función exponencial ; ver también Logaritmo natural así como la identidad de "potencia" en Identidades logarítmicas ) y la identidad ( ver Función hiperbólica ), esto es equivalente a ${\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}$ ${\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$ $${\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}$$

Términos de la ecuación

Delta-en

Delta- v (literalmente " cambio en la velocidad "), simbolizado como Δ v y pronunciado delta-vee , tal como se utiliza en la dinámica de vuelo de naves espaciales , es una medida del impulso que se necesita para realizar una maniobra como el despegue o el aterrizaje en un planeta o luna, o una maniobra orbital en el espacio . Es un escalar que tiene las unidades de velocidad . Tal como se utiliza en este contexto, no es lo mismo que el cambio físico en la velocidad del vehículo.

El delta- v es producido por motores de reacción, como los motores de cohetes , es proporcional al empuje por unidad de masa y al tiempo de combustión, y se utiliza para determinar la masa de propulsor necesaria para la maniobra dada a través de la ecuación del cohete.

Para maniobras múltiples, delta- v se suma linealmente.

Para las misiones interplanetarias, el delta -v se representa a menudo en un gráfico porkchop que muestra el delta- v de la misión requerida en función de la fecha de lanzamiento.

Fracción de masa

En ingeniería aeroespacial , la fracción de masa de propulsor es la parte de la masa de un vehículo que no llega al destino, generalmente utilizada como una medida del rendimiento del vehículo. En otras palabras, la fracción de masa de propulsor es la relación entre la masa de propulsor y la masa inicial del vehículo. En una nave espacial, el destino suele ser una órbita, mientras que para las aeronaves es su lugar de aterrizaje. Una fracción de masa más alta representa un menor peso en un diseño. Otra medida relacionada es la fracción de carga útil , que es la fracción del peso inicial que es carga útil.

Velocidad de escape efectiva

La velocidad de escape efectiva a menudo se especifica como un impulso específico y están relacionadas entre sí por: donde $${\displaystyle v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},}$$

• ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$es el impulso específico en segundos,
• ${\displaystyle v_{\text{e}}}$es el impulso específico medido en m/s , que es el mismo que la velocidad de escape efectiva medida en m/s (o ft/s si g está en ft/s ² ),
• ${\displaystyle g_{0}}$es la gravedad estándar , 9,80665  m/s ² (en unidades imperiales 32,174  ft/s ² ).

Aplicabilidad

La ecuación del cohete captura los elementos esenciales de la física del vuelo de los cohetes en una única ecuación corta. También es válida para los vehículos de reacción tipo cohete siempre que la velocidad de escape efectiva sea constante, y se puede sumar o integrar cuando la velocidad de escape efectiva varíe. La ecuación del cohete solo tiene en cuenta la fuerza de reacción del motor del cohete; no incluye otras fuerzas que puedan actuar sobre un cohete, como las fuerzas aerodinámicas o gravitacionales . Como tal, cuando se utiliza para calcular el requisito de propulsor para el lanzamiento desde (o descenso propulsado hacia) un planeta con atmósfera, los efectos de estas fuerzas deben incluirse en el requisito delta-V (ver los ejemplos a continuación). En lo que se ha llamado "la tiranía de la ecuación del cohete", existe un límite a la cantidad de carga útil que el cohete puede transportar, ya que mayores cantidades de propulsor incrementan el peso total y, por lo tanto, también aumentan el consumo de combustible. ^[8] La ecuación no se aplica a sistemas que no sean cohetes, como el aerofrenado , los lanzamientos con cañones , los ascensores espaciales , los bucles de lanzamiento , la propulsión con amarre o las velas ligeras .

La ecuación del cohete se puede aplicar a maniobras orbitales para determinar cuánto propulsor se necesita para cambiar a una nueva órbita en particular, o para encontrar la nueva órbita como resultado de una quema de propulsor particular. Cuando se aplica a maniobras orbitales, se supone una maniobra impulsiva , en la que el propulsor se descarga y delta-v se aplica instantáneamente. Esta suposición es relativamente precisa para quemas de corta duración, como para correcciones a mitad de curso y maniobras de inserción orbital. A medida que aumenta la duración de la quema, el resultado es menos preciso debido al efecto de la gravedad en el vehículo durante la duración de la maniobra. Para propulsión de bajo empuje y larga duración, como la propulsión eléctrica , se utilizan análisis más complicados basados ​​en la propagación del vector de estado de la nave espacial y la integración del empuje para predecir el movimiento orbital.

Ejemplos

Supongamos una velocidad de escape de 4.500 metros por segundo (15.000 pies/s) y una de 9.700 metros por segundo (32.000 pies/s) (de la Tierra a LEO , incluso para superar la gravedad y la resistencia aerodinámica). ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle \Delta v}$

• Cohete de una sola etapa en órbita : = 0,884, por lo tanto, el 88,4 % de la masa total inicial debe ser combustible. El 11,6 % restante se destina a los motores, el tanque y la carga útil. ${\displaystyle 1-e^{-9.7/4.5}}$
• Dos etapas en órbita : supongamos que la primera etapa debe proporcionar una velocidad de 5.000 metros por segundo (16.000 pies/s); = 0,671, por lo tanto, el 67,1% de la masa total inicial tiene que ser propulsor para la primera etapa. La masa restante es el 32,9%. Después de desechar la primera etapa, queda una masa igual a este 32,9%, menos la masa del tanque y los motores de la primera etapa. Supongamos que esto es el 8% de la masa total inicial, entonces queda el 24,9%. La segunda etapa debe proporcionar una velocidad de 4.700 metros por segundo (15.000 pies/s); = 0,648, por lo tanto, el 64,8% de la masa restante tiene que ser propulsor, que es el 16,2% de la masa total original, y queda el 8,7% para el tanque y los motores de la segunda etapa, la carga útil y, en el caso de un transbordador espacial, también el orbitador. De esta forma, el 16,7% de la masa de lanzamiento original está disponible para todos los motores, los tanques y la carga útil. ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle 1-e^{-5.0/4.5}}$ ${\displaystyle \Delta v}$ ${\displaystyle 1-e^{-4.7/4.5}}$

Etapas

En el caso de etapas de cohetes con propulsión secuencial , la ecuación se aplica a cada etapa, donde para cada etapa la masa inicial en la ecuación es la masa total del cohete después de descartar la etapa anterior, y la masa final en la ecuación es la masa total del cohete justo antes de descartar la etapa en cuestión. Para cada etapa, el impulso específico puede ser diferente.

Por ejemplo, si el 80% de la masa de un cohete es el combustible de la primera etapa, y el 10% es la masa seca de la primera etapa, y el 10% es el cohete restante, entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v\ &=v_{\text{e}}\ln {100 \over 100-80}\\&=v_{\text{e}}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\\end{aligned}}}$$

Con tres etapas similares, posteriormente más pequeñas y con lo mismo para cada etapa, se obtiene: ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

$${\displaystyle \Delta v\ =3v_{\text{e}}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}}$$

y la carga útil es 10% × 10% × 10% = 0,1% de la masa inicial.

Un cohete SSTO comparable , también con una carga útil del 0,1 %, podría tener una masa del 11,1 % para los tanques de combustible y los motores, y del 88,8 % para el combustible. Esto daría

$${\displaystyle \Delta v\ =v_{\text{e}}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}}.}$$

Si el motor de una nueva etapa se enciende antes de que se haya descartado la etapa anterior y los motores que trabajan simultáneamente tienen un impulso específico diferente (como suele ser el caso con los cohetes propulsores de combustible sólido y una etapa de combustible líquido), la situación es más complicada.

Véase también

• Portal de vuelos espaciales

• Presupuesto del delta-v
• Problema con el Jeep
• Relación de masa
• Efecto Oberth : la aplicación de delta-v en un pozo de gravedad aumenta la velocidad final
• Cohete relativista
• Reversibilidad de órbitas
• Robert H. Goddard - términos añadidos para gravedad y resistencia en vuelo vertical
• Propulsión de naves espaciales
• Ley de epónimos de Stigler

Referencias

1. К. Ціолковскій, Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами, 1903 (disponible en línea aquí Archivado el 15 de agosto de 2011 en Wayback Machine en un PDF RARed )
2. Tsiolkovsky, K. "Máquinas voladoras reactivas" (PDF) .
3. Moore, William (1810). "Sobre el movimiento de cohetes tanto en medios resistentes como no resistentes". Revista de filosofía natural, química y artes . 27 : 276–285.
4. Moore, William (1813). Tratado sobre el movimiento de los cohetes, al que se añade un ensayo sobre artillería naval, en teoría y en la práctica, etc. G. & S. Robinson.
5. К. Ціолковскій, Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами, 1903 (disponible en línea aquí Archivado el 15 de agosto de 2011 en Wayback Machine en un PDF RARed )
6. Blanco, Philip (noviembre de 2019). "Un enfoque discreto y energético para la propulsión de cohetes". Educación en Física . 54 (6): 065001. Bibcode :2019PhyEd..54f5001B. doi :10.1088/1361-6552/ab315b. S2CID  202130640.
7. Adelante, Robert L. "Una derivación transparente de la ecuación relativista del cohete" (ver el lado derecho de la ecuación 15 en la última página, con R como la relación entre la masa inicial y la final y w como la velocidad de escape, correspondiente a v _e en la notación de este artículo)
8. "La tiranía de la ecuación del cohete". NASA.gov . Archivado desde el original el 6 de marzo de 2022. Consultado el 18 de abril de 2016 .

Enlaces externos

• Cómo derivar la ecuación del cohete
• Calculadora de relatividad: aprenda las ecuaciones del cohete de Tsiolkovsky
• Gráfica y calculadora de ecuaciones del cohete de Tsiolkovsky en WolframAlpha