Ecuación de movimiento de Appell

Formulación de la mecánica clásica.

En mecánica clásica , la ecuación de movimiento de Appell (también conocida como ecuación de movimiento de Gibbs-Appell ) es una formulación general alternativa de la mecánica clásica descrita por Josiah Willard Gibbs en 1879 ^[1] y Paul Émile Appell en 1900. ^[2]

Declaración

La ecuación de Gibbs-Appell dice

${\displaystyle Q_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}},}$

donde es una aceleración generalizada arbitraria, o la segunda derivada temporal de las coordenadas generalizadas , y es su correspondiente fuerza generalizada . La fuerza generalizada da el trabajo realizado. ${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q_{r}}}}$ ${\displaystyle q_{r}}$ ${\displaystyle Q_{r}}$

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r},}$

donde el índice recorre las coordenadas generalizadas , que suelen corresponder a los grados de libertad del sistema. La función se define como la suma ponderada en masa de las aceleraciones de las partículas al cuadrado, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q_{r}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

donde el índice recorre las partículas, y ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

es la aceleración de la -ésima partícula, la segunda derivada de su vector de posición . Cada uno se expresa en términos de coordenadas generalizadas y se expresa en términos de aceleraciones generalizadas. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}}$

Relaciones con otras formulaciones de la mecánica clásica.

La formulación de Appell no introduce ninguna física nueva a la mecánica clásica y, como tal, es equivalente a otras reformulaciones de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana . Toda la mecánica clásica está contenida en las leyes del movimiento de Newton. En algunos casos, la ecuación de movimiento de Appell puede ser más conveniente que la mecánica lagrangiana comúnmente utilizada, particularmente cuando están involucradas restricciones no holonómicas . De hecho, la ecuación de Appell conduce directamente a las ecuaciones de movimiento de Lagrange. ^[3] Además, se puede utilizar para derivar las ecuaciones de Kane, que son particularmente adecuadas para describir el movimiento de naves espaciales complejas. ^[4] La formulación de Appell es una aplicación del principio de mínima restricción de Gauss . ^[5]

Derivación

El cambio en las posiciones de las partículas r _k para un cambio infinitesimal en las coordenadas generalizadas D es

${\displaystyle d\mathbf {r} _{k}=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}}$

Tomando dos derivadas con respecto al tiempo se obtiene una ecuación equivalente para las aceleraciones

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}}$

El trabajo realizado por un cambio infinitesimal dq _r en las coordenadas generalizadas es

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}}$

donde la segunda ley de Newton para la k ésima partícula

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=m_{k}\mathbf {a} _{k}}$

ha sido usado. Sustituyendo la fórmula por d r _k e intercambiando el orden de las dos sumas se obtienen las fórmulas

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \sum _{r=1}^{D}dq_{r}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)}$

Por lo tanto, las fuerzas generalizadas son

${\displaystyle Q_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)}$

Esto es igual a la derivada de S con respecto a las aceleraciones generalizadas.

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial }{\partial \alpha _{r}}}{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {a} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)}$

dando la ecuación de movimiento de Appell

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}=Q_{r}.}$

Ejemplos

Ecuaciones de Euler de dinámica de cuerpos rígidos.

Las ecuaciones de Euler proporcionan una excelente ilustración de la formulación de Appell.

Considere un cuerpo rígido de N partículas unidas por varillas rígidas. La rotación del cuerpo puede describirse mediante un vector de velocidad angular y el correspondiente vector de aceleración angular. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}}$

La fuerza generalizada para una rotación es el par , ya que el trabajo realizado para una rotación infinitesimal es . La velocidad de la -ésima partícula está dada por ${\displaystyle {\textbf {N}}}$ ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\phi }}}$ ${\displaystyle dW=\mathbf {N} \cdot \delta {\boldsymbol {\phi }}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{k}}$

¿Dónde está la posición de la partícula en coordenadas cartesianas? su aceleración correspondiente es ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\frac {d\mathbf {v} _{k}}{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}}$

Por lo tanto, la función puede escribirse como ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left\{\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)^{2}+\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)^{2}+2\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)\right\}}$

Al establecer la derivada de S con respecto a igual al par se obtienen las ecuaciones de Euler. ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle I_{xx}\alpha _{x}-\left(I_{yy}-I_{zz}\right)\omega _{y}\omega _{z}=N_{x}}$

${\displaystyle I_{yy}\alpha _{y}-\left(I_{zz}-I_{xx}\right)\omega _{z}\omega _{x}=N_{y}}$

${\displaystyle I_{zz}\alpha _{z}-\left(I_{xx}-I_{yy}\right)\omega _{x}\omega _{y}=N_{z}}$

Ver también

• Portal de física

• Principio de acción estacionaria.
• Mecánica analítica

Referencias

1. Gibbs, JW (1879). "Sobre las fórmulas fundamentales de la dinámica". Revista Estadounidense de Matemáticas . 2 (1): 49–64. doi :10.2307/2369196. JSTOR  2369196.
2. Appell, P (1900). "Sur una forma general de ecuaciones dinámicas". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 121 : 310–?.
3. Deslodge, Edward A. (1988). "Las ecuaciones de movimiento de Gibbs-Appell" (PDF) . Revista Estadounidense de Física . 56 (9): 841–46. Código bibliográfico : 1988AmJPh..56..841D. doi :10.1119/1.15463. S2CID  123074999.
4. Deslodge, Edward A. (1987). "Relación entre las ecuaciones de Kane y las ecuaciones de Gibbs-Appell". Revista de orientación, control y dinámica . 10 (1). Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica: 120–22. Código bibliográfico : 1987JGCD...10..120D. doi :10.2514/3.20192.
5. Lewis, Andrew D. (agosto de 1996). "La geometría de las ecuaciones de Gibbs-Appell y el principio de mínima restricción de Gauss" (PDF) . Informes de Física Matemática . 38 (1): 11–28. Código Bib : 1996RpMP...38...11L. doi :10.1016/0034-4877(96)87675-0.

Otras lecturas

• Pars, Los Ángeles (1965). Tratado sobre dinámica analítica . Woodbridge, Connecticut: Ox Bow Press. págs. 197–227, 631–632.
• Whittaker, et al. (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (4ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN.
• Seeger (1930). "Ecuaciones de Appell". Revista de la Academia de Ciencias de Washington . 20 : 481–484.
• Brell, H (1913). "Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges". Viena. Sitz . 122 : 933–944.Conexión de la formulación de Appell con el principio de acción mínima .
• Copia en PDF del artículo de Appell en la Universidad de Goettingen
• Copia en PDF de un segundo artículo sobre las ecuaciones de Appell y el principio de Gauss